Doğal Sayılar Ders Notu

Doğal sayılar, günlük hayatımızda sayma ve sıralama işlemlerinde kullandığımız sayılardır. Kümesi "N" harfi ile gösterilir ve sıfırdan başlayıp sonsuza kadar devam eder.

Doğal Sayılar Kümesi 🔢

• Doğal sayılar \( 0, 1, 2, 3, ... \) şeklinde sonsuza kadar gider.
• En küçük doğal sayı \( 0 \) (sıfır)dır.
• Negatif sayılar doğal sayı değildir.

Doğal Sayılarla İşlemler

1. Toplama İşlemi ➕

İki veya daha fazla doğal sayıyı bir araya getirme işlemidir.

Örnek: Bir kümeste \( 15 \) tavuk ve \( 23 \) horoz vardır. Kümesteki toplam hayvan sayısı kaçtır?
Çözüm: \( 15 + 23 = 38 \)

2. Çıkarma İşlemi ➖

Bir doğal sayıdan başka bir doğal sayıyı eksiltme işlemidir.

Örnek: Bir otobüste \( 45 \) yolcu vardı. Durakta \( 12 \) yolcu indi. Otobüste kaç yolcu kaldı?
Çözüm: \( 45 - 12 = 33 \)

3. Çarpma İşlemi ✖️

Tekrarlı toplama işleminin kısa yoludur.

Örnek: Tanesi \( 7 \) TL olan kalemlerden \( 5 \) tane alan bir öğrenci kaç TL öder?
Çözüm: \( 5 \times 7 = 35 \) TL

Üslü İfadeler (Kuvvetler)

Bir doğal sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa gösterimidir. Bir sayının kendisiyle kaç kere çarpıldığını gösteren sayıya üs (kuvvet), çarpılan sayıya ise taban denir.

• Örneğin, \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 \) ifadesi \( 3^4 \) şeklinde yazılır. Burada \( 3 \) taban, \( 4 \) üstür.
• \( 5^2 \) (beşin karesi veya beş üssü iki) demek \( 5 \times 5 = 25 \) demektir.
• \( 2^3 \) (ikinin küpü veya iki üssü üç) demek \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) demektir.

Örnek: \( 4^3 \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm: \( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64 \)

4. Bölme İşlemi ➗

Bir sayıyı eşit parçalara ayırma işlemidir. Bölme işleminde bölünen, bölen, bölüm ve kalan bulunur.

\[ \text{Bölünen} = (\text{Bölen} \times \text{Bölüm}) + \text{Kalan} \]

Bölme işleminde kalan, her zaman bölenden küçük olmak zorundadır. Yani, \( \text{Kalan} < \text{Bölen} \)

Örnek: \( 75 \) cevizi \( 6 \) arkadaşa eşit olarak paylaştırırsak, her birine kaç ceviz düşer ve kaç ceviz artar?
Çözüm:
\( 75 \div 6 \) işlemini yapalım.
\( 75 = (6 \times 12) + 3 \)
Her birine \( 12 \) ceviz düşer ve \( 3 \) ceviz artar.

İşlem Önceliği 🧮

Birden fazla işlemin olduğu durumlarda işlemlerin hangi sırayla yapılacağını belirten kurallardır:

1. Üslü İfadeler
2. Parantez İçindeki İşlemler
3. Çarpma veya Bölme (Soldan sağa doğru)
4. Toplama veya Çıkarma (Soldan sağa doğru)

Örnek: \( 20 - 3 \times (4 + 2) + 5^2 \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:

1. Üslü ifade: \( 5^2 = 25 \)
2. Parantez içi: \( 4 + 2 = 6 \)
3. İfade yeni hali: \( 20 - 3 \times 6 + 25 \)
4. Çarpma: \( 3 \times 6 = 18 \)
5. İfade yeni hali: \( 20 - 18 + 25 \)
6. Çıkarma (soldan sağa): \( 20 - 18 = 2 \)
7. İfade yeni hali: \( 2 + 25 \)
8. Toplama: \( 2 + 25 = 27 \)

Sonuç: \( 27 \)

Dağılma Özelliği ve Ortak Çarpan Parantezine Alma 💡

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır.

• Toplama Üzerine Dağılma: \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \)
• Çıkarma Üzerine Dağılma: \( a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c) \)

Örnek: \( 7 \times (10 + 3) \) işlemini dağılma özelliğini kullanarak yapınız.
Çözüm:
\( 7 \times (10 + 3) = (7 \times 10) + (7 \times 3) \)
\( = 70 + 21 \)
\( = 91 \)

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Dağılma özelliğinin tersidir. Ortak bir çarpanı olan toplama veya çıkarma işlemlerinde bu çarpanı parantez dışına alma işlemidir.

• \( (a \times b) + (a \times c) = a \times (b + c) \)
• \( (a \times b) - (a \times c) = a \times (b - c) \)

Örnek: \( (12 \times 8) - (12 \times 5) \) işlemini ortak çarpan parantezine alarak yapınız.
Çözüm:
\( (12 \times 8) - (12 \times 5) = 12 \times (8 - 5) \)
\( = 12 \times 3 \)
\( = 36 \)