Çokgenler: İç ve Dış Açıları, Düzgün Çokgenler Ders Notu

Çokgenler: İç ve Dış Açıları, Düzgün Çokgenler

Bu dersimizde, temel geometrik şekillerden olan çokgenleri ve bu çokgenlerin iç ve dış açıları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Ayrıca, kenar uzunlukları ve iç açıları eşit olan özel çokgenler olan düzgün çokgenleri tanıyacağız. Çokgenler, düzlemde ardışık en az üç doğru parçasının birleşmesiyle oluşan kapalı şekillerdir. Üçgenler, dörtgenler, beşgenler gibi tanıdığımız birçok şekil birer çokgendir.

Çokgenlerin İç Açıları ve Dış Açıları

Bir çokgenin iç açısı, çokgenin bir köşesinde, komşu iki kenarı arasında kalan açıdır. Dış açısı ise, bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasında kalan açıdır. Herhangi bir çokgende, bir köşedeki iç açı ile o köşedeki dış açının toplamı her zaman \( 180^\circ \) olur. Bu durum, bir doğru açı oluşturmalarından kaynaklanır.

Kural: Bir çokgenin herhangi bir köşesindeki iç açı ile dış açısının toplamı \( 180^\circ \)'dir.

İç Açı + Dış Açı = \( 180^\circ \)

Bir çokgenin tüm dış açılarının toplamı ise, çokgenin kenar sayısından bağımsız olarak her zaman \( 360^\circ \)'dir.

Kural: Bir konveks çokgenin tüm dış açılarının toplamı \( 360^\circ \)'dir.

Örnek 1: Dörtgenin Açıları

Kenar uzunlukları ve açıları farklı bir dörtgen düşünelim. Bu dörtgenin bir köşesindeki iç açısı \( 70^\circ \) ise, o köşedeki dış açısı kaç derecedir?

İç Açı = \( 70^\circ \)
İç Açı + Dış Açı = \( 180^\circ \)
\( 70^\circ \) + Dış Açı = \( 180^\circ \)
Dış Açı = \( 180^\circ - 70^\circ \)
Dış Açı = \( 110^\circ \)

Bu dörtgenin tüm dış açılarının toplamı ise \( 360^\circ \) olacaktır.

Örnek 2: Beşgenin Dış Açıları

Bir beşgenin üç dış açısı sırasıyla \( 70^\circ \), \( 80^\circ \) ve \( 90^\circ \) olarak verilmiştir. Geriye kalan iki dış açının toplamı kaç derecedir?

Beşgenin tüm dış açılarının toplamı = \( 360^\circ \)
Bilinen dış açılar toplamı = \( 70^\circ + 80^\circ + 90^\circ = 240^\circ \)
Geriye kalan iki dış açının toplamı = \( 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \)

Düzgün Çokgenler

Düzgün çokgenler, hem tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan hem de tüm iç açıları birbirine eşit olan çokgenlerdir. Örneğin, eşkenar üçgen ve kare düzgün çokgenlerdir.

Düzgün Üçgen (Eşkenar Üçgen): 3 kenarı ve 3 iç açısı vardır. Tüm iç açıları \( 60^\circ \)'dir.
Düzgün Dörtgen (Kare): 4 kenarı ve 4 iç açısı vardır. Tüm iç açıları \( 90^\circ \)'dir.
Düzgün Beşgen: 5 kenarı ve 5 iç açısı vardır. Tüm iç açıları \( 108^\circ \)'dir.
Düzgün Altıgen: 6 kenarı ve 6 iç açısı vardır. Tüm iç açıları \( 120^\circ \)'dir.

Bir düzgün n-genin bir iç açısının ölçüsünü bulmak için şu formülü kullanabiliriz:

Bir İç Açı = \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \)

Burada \( n \), çokgenin kenar sayısıdır.

Bir düzgün n-genin bir dış açısının ölçüsünü bulmak için ise:

Bir Dış Açı = \( \frac{360^\circ}{n} \)

Örnek 3: Düzgün Sekizgenin İç Açısı

Düzgün bir sekizgenin bir iç açısı kaç derecedir?

Sekizgenin kenar sayısı \( n = 8 \).
Bir İç Açı = \( \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} \)
Bir İç Açı = \( \frac{6 \times 180^\circ}{8} \)
Bir İç Açı = \( \frac{1080^\circ}{8} \)
Bir İç Açı = \( 135^\circ \)

Ayrıca, düzgün sekizgenin bir dış açısı \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \) olur. İç açı ile dış açının toplamı \( 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ \) olmalıdır, bu da doğrudur.

Örnek 4: Düzgün Bir Çokgenin Kenar Sayısı

Bir düzgün çokgenin bir iç açısı \( 144^\circ \) olarak verilmiştir. Bu çokgenin kaç kenarı vardır?

Bir İç Açı = \( 144^\circ \)
Bir İç Açı = \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \)
\( 144^\circ = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \)
\( 144n = 180(n-2) \)
\( 144n = 180n - 360 \)
\( 360 = 180n - 144n \)
\( 360 = 36n \)
\( n = \frac{360}{36} \)
\( n = 10 \)

Bu çokgen bir düzgün ongendir.