🎓 6. Sınıf
📚 6. Sınıf Matematik
💡 6. Sınıf Matematik: Çemberde merkez açı ve gördüğü yayın uzunluğu Çözümlü Örnekler
6. Sınıf Matematik: Çemberde merkez açı ve gördüğü yayın uzunluğu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir çemberde merkez açının ölçüsü \( 90^\circ \) ise, bu merkez açının gördüğü yayın ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- Merkez açı, çemberin merkezinde bulunan ve kenarları çemberin yarıçapları olan açıdır.
- Bir merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- Bu soruda merkez açının ölçüsü \( 90^\circ \) olarak verilmiştir.
- Dolayısıyla, gördüğü yayın ölçüsü de merkez açının ölçüsüne eşit olacaktır.
- Sonuç olarak, gördüğü yayın ölçüsü \( 90^\circ \) olur. ✅
Örnek 2:
Yarıçapı 6 cm olan bir çemberde, merkez açısı \( 180^\circ \) olan bir yayın uzunluğunu hesaplayalım. ( \( \pi \) yerine 3 alınız.) 📏
Çözüm:
- Çemberde yayın uzunluğu, çemberin çevresinin, yayın merkez açısının tam açıya oranına göre bulunur.
- Çemberin çevresi \( 2 \times \pi \times r \) formülü ile hesaplanır.
- Verilenler: Yarıçap \( r = 6 \) cm, \( \pi = 3 \), merkez açı \( 180^\circ \).
- Çemberin çevresi: \( 2 \times 3 \times 6 = 36 \) cm.
- Yayın uzunluğu: \( \text{Çevre} \times \frac{\text{Merkez Açı}}{360^\circ} \)
- Yayın uzunluğu: \( 36 \times \frac{180^\circ}{360^\circ} = 36 \times \frac{1}{2} = 18 \) cm.
- Yarıçapı 6 cm olan çemberde, \( 180^\circ \) merkez açılı yayın uzunluğu 18 cm'dir. 👉
Örnek 3:
Bir bisiklet tekerleğinin yarıçapı 35 cm'dir. Tekerlek, merkezinde \( 72^\circ \) 'lik bir açı tarayacak şekilde döndüğünde, tekerleğin lastiğinin yerle temas eden kısmında kaç cm'lik bir yol alınmış olur? ( \( \pi \) yerine \( \frac{22}{7} \) alınız.) 🚴
Çözüm:
- Bu soruda, tekerleğin dönerek aldığı yol, bir yayın uzunluğu olarak düşünülebilir.
- Verilenler: Yarıçap \( r = 35 \) cm, merkez açı \( 72^\circ \), \( \pi = \frac{22}{7} \).
- Öncelikle çemberin çevresini hesaplayalım: \( \text{Çevre} = 2 \times \pi \times r = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 \).
- Çevre: \( 2 \times 22 \times 5 = 220 \) cm.
- Şimdi \( 72^\circ \) 'lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulalım:
- Yayın uzunluğu: \( \text{Çevre} \times \frac{\text{Merkez Açı}}{360^\circ} = 220 \times \frac{72^\circ}{360^\circ} \).
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{72}{360} = \frac{1}{5} \).
- Yayın uzunluğu: \( 220 \times \frac{1}{5} = 44 \) cm.
- Tekerlek \( 72^\circ \) döndüğünde 44 cm'lik yol alır. ✅
Örnek 4:
Bir saatte yelkovan, merkezde \( 360^\circ \) 'lik bir tam tur atar. 15 dakikada ise merkezde \( 90^\circ \) 'lik bir açı tarar. Eğer saatin yelkovanının uzunluğu 10 cm ise, 15 dakikada yelkovanın ucu kaç cm yol alır? ( \( \pi \) yerine 3 alınız.) 🕰️
Çözüm:
- Yelkovanın ucu, saatin merkezini merkez kabul eden bir çember üzerinde hareket eder.
- Yelkovanın uzunluğu, bu çemberin yarıçapı olarak alınır: \( r = 10 \) cm.
- 15 dakikada yelkovanın taradığı merkez açı \( 90^\circ \) olarak verilmiş.
- \( \pi \) yerine 3 almamız isteniyor.
- Önce çemberin çevresini hesaplayalım: \( \text{Çevre} = 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 10 = 60 \) cm.
- Şimdi \( 90^\circ \) 'lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulalım:
- Yayın uzunluğu: \( \text{Çevre} \times \frac{\text{Merkez Açı}}{360^\circ} = 60 \times \frac{90^\circ}{360^\circ} \).
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{90}{360} = \frac{1}{4} \).
- Yayın uzunluğu: \( 60 \times \frac{1}{4} = 15 \) cm.
- 15 dakikada yelkovanın ucu 15 cm yol alır. 💡
Örnek 5:
Bir pizzacı, yuvarlak pizzaları keserken her bir dilimin merkez açısını eşit tutmaktadır. Eğer bir pizzadan 8 eşit dilim çıkıyorsa, bir dilimin merkez açısı kaç derecedir? Bu dilimlerden birinin taban kenarının (yay uzunluğunun) yaklaşık olarak 15 cm olduğunu biliyorsak, pizzanın yarıçapı yaklaşık kaç cm'dir? ( \( \pi \) yerine 3 alınız.) 🍕
Çözüm:
- Bir tam çember \( 360^\circ \) 'dir.
- Pizzadan 8 eşit dilim çıkıyorsa, her bir dilimin merkez açısı \( \frac{360^\circ}{8} \) olur.
- Bir dilimin merkez açısı: \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \).
- Şimdi pizzanın yarıçapını bulalım. Bir dilimin taban kenarı (yay uzunluğu) 15 cm verilmiş.
- Yayın uzunluğu formülü: \( \text{Yayın Uzunluğu} = 2 \times \pi \times r \times \frac{\text{Merkez Açı}}{360^\circ} \).
- Verilenler: Yayın Uzunluğu = 15 cm, Merkez Açı = \( 45^\circ \), \( \pi = 3 \).
- Denklem: \( 15 = 2 \times 3 \times r \times \frac{45^\circ}{360^\circ} \).
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{45}{360} = \frac{1}{8} \).
- Denklem: \( 15 = 6 \times r \times \frac{1}{8} \).
- Denklem: \( 15 = \frac{6r}{8} \).
- Denklem: \( 15 = \frac{3r}{4} \).
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 15 \times 4 = 3r \).
- \( 60 = 3r \).
- Yarıçap \( r = \frac{60}{3} = 20 \) cm.
- Pizzanın yarıçapı yaklaşık 20 cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir parkta bulunan dairesel bir havuzun kenarında, merkezden 5 metre uzaklıkta bir bank bulunmaktadır. Bu bankın oturduğu alan, havuzun merkezine göre \( 60^\circ \) 'lik bir açıya denk gelmektedir. Bankın havuz kenarında kapladığı yayın uzunluğu yaklaşık kaç metredir? ( \( \pi \) yerine 3 alınız.) 🌳
Çözüm:
- Bu durumda, bankın oturduğu alan havuzun kenarında bir yay oluşturur.
- Havuzun yarıçapı bankın merkezden uzaklığıdır: \( r = 5 \) metre.
- Bankın kapladığı alanın merkez açısı \( 60^\circ \) olarak verilmiş.
- \( \pi \) yerine 3 almamız isteniyor.
- Önce havuzun çevresini hesaplayalım: \( \text{Çevre} = 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 5 = 30 \) metre.
- Şimdi \( 60^\circ \) 'lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulalım:
- Yayın uzunluğu: \( \text{Çevre} \times \frac{\text{Merkez Açı}}{360^\circ} = 30 \times \frac{60^\circ}{360^\circ} \).
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \).
- Yayın uzunluğu: \( 30 \times \frac{1}{6} = 5 \) metre.
- Bankın havuz kenarında kapladığı yayın uzunluğu yaklaşık 5 metredir. 💡
Örnek 7:
Yarıçapı 8 cm olan bir çemberde, merkez açısı \( 45^\circ \) olan bir yayın uzunluğu kaç cm'dir? ( \( \pi \) yerine 3 alınız.) 📏
Çözüm:
- Yayın uzunluğunu hesaplamak için çemberin çevresini ve merkez açıyı kullanacağız.
- Verilenler: Yarıçap \( r = 8 \) cm, Merkez Açı \( = 45^\circ \), \( \pi = 3 \).
- Çemberin çevresi: \( 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 8 = 48 \) cm.
- Yayın uzunluğu formülü: \( \text{Yayın Uzunluğu} = \text{Çevre} \times \frac{\text{Merkez Açı}}{360^\circ} \).
- Yayın uzunluğu: \( 48 \times \frac{45^\circ}{360^\circ} \).
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{45}{360} = \frac{1}{8} \).
- Yayın uzunluğu: \( 48 \times \frac{1}{8} = 6 \) cm.
- Bu yayın uzunluğu 6 cm'dir. ✅
Örnek 8:
Bir lunaparkta dönen atlıkarıncadaki bir atın zeminden yüksekliği, merkezden 12 metre uzaklıkta sabitlenmiş bir noktaya göre değişmektedir. Atlıkarınca \( 270^\circ \) döndüğünde, atın aldığı yol kaç metre olur? ( \( \pi \) yerine 3 alınız.) 🎠
Çözüm:
- Atlıkarıncadaki atın aldığı yol, merkezden uzaklığına bağlı bir yayın uzunluğudur.
- Burada atlıkarıncanın yarıçapı, merkezden atın uzaklığıdır: \( r = 12 \) metre.
- Atlıkarıncanın dönme açısı \( 270^\circ \) olarak verilmiş.
- \( \pi \) yerine 3 almamız isteniyor.
- Önce atlıkarıncanın tam tur çevresini hesaplayalım: \( \text{Çevre} = 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 12 = 72 \) metre.
- Şimdi \( 270^\circ \) 'lik dönme açısının oluşturduğu yayın uzunluğunu bulalım:
- Yayın uzunluğu: \( \text{Çevre} \times \frac{\text{Dönme Açısı}}{360^\circ} = 72 \times \frac{270^\circ}{360^\circ} \).
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{270}{360} = \frac{3}{4} \).
- Yayın uzunluğu: \( 72 \times \frac{3}{4} = 18 \times 3 = 54 \) metre.
- Atlıkarınca \( 270^\circ \) döndüğünde at 54 metre yol alır. 👉
Örnek 9:
Bir teknoloji fuarında sergilenen dairesel bir ekranın yarıçapı 5 metredir. Ekranın bir bölümü, merkezde \( 120^\circ \) 'lik bir açı ile aydınlatılmaktadır. Bu aydınlatılan bölümün ekran kenarındaki uzunluğu (yay uzunluğu) kaç metredir? ( \( \pi \) yerine 3 alınız.) 🖥️
Çözüm:
- Bu soruda, aydınlatılan bölümün ekran kenarındaki uzunluğu, bir yayın uzunluğu olarak hesaplanacaktır.
- Ekranın yarıçapı \( r = 5 \) metre olarak verilmiş.
- Aydınlatılan bölümün merkez açısı \( 120^\circ \).
- \( \pi \) yerine 3 almamız isteniyor.
- Öncelikle ekranın tam çevresini hesaplayalım: \( \text{Çevre} = 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 5 = 30 \) metre.
- Şimdi \( 120^\circ \) 'lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulalım:
- Yayın uzunluğu: \( \text{Çevre} \times \frac{\text{Merkez Açı}}{360^\circ} = 30 \times \frac{120^\circ}{360^\circ} \).
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \).
- Yayın uzunluğu: \( 30 \times \frac{1}{3} = 10 \) metre.
- Aydınlatılan bölümün ekran kenarındaki uzunluğu 10 metredir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/6-sinif-matematik-cemberde-merkez-aci-ve-gordugu-yayin-uzunlugu/sorular