💡 6. Sınıf Matematik: Cebirsel ifade sayı örüntüsü alan hesaplama Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan bir karenin alanı \( a \times a \) formülü ile hesaplanır.
Soru: Kenar uzunluğu \( x + 3 \) olan bir karenin, \( x = 5 \) için alanı kaç birimkaredir? 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için cebirsel ifadede değişkenin yerine verilen sayıyı yazmalıyız:
Adım 1: Karenin bir kenar uzunluğunu bulalım. Değişkenimiz \( x = 5 \) olarak verilmiş.
Adım 2: Kenar uzunluğu \( = x + 3 \) olduğuna göre, \( 5 + 3 = 8 \) birimdir. ✅
Adım 3: Karenin alanı, iki kenarının çarpımıdır: \( 8 \times 8 = 64 \) birimkaredir.
Cevap: Karenin alanı \( 64 \) birimkaredir.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir sayı örüntüsünün genel kuralı \( 3n + 2 \) olarak verilmiştir.
Soru: Bu örüntünün 4. adımındaki sayı, bir dikdörtgenin kısa kenarını; 6. adımındaki sayı ise bu dikdörtgenin uzun kenarını temsil etmektedir. Bu dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir? 📐
Adım 1: 4. adımdaki sayıyı (kısa kenar) bulmak için \( n = 4 \) yazalım: \( 3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \) birim.
Adım 2: 6. adımdaki sayıyı (uzun kenar) bulmak için \( n = 6 \) yazalım: \( 3 \times 6 + 2 = 18 + 2 = 20 \) birim.
Adım 3: Dikdörtgenin alanını hesaplayalım: Alan = Kısa Kenar \( \times \) Uzun Kenar Alan \( = 14 \times 20 = 280 \) birimkaredir. 💡
Cevap: Dikdörtgenin alanı \( 280 \) birimkaredir.
3
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Ali, bahçesine paralelkenar şeklinde bir çiçeklik yapmak istiyor. Bu paralelkenarın taban uzunluğu \( 2x \) metre, bu tabana ait yüksekliği ise \( 10 \) metredir.
Soru: \( x = 6 \) için Ali'nin hazırlayacağı çiçekliğin alanı kaç metrekaredir? 🌸
Çözüm ve Açıklama
Paralelkenarın alan formülünü hatırlayalım: Alan = Taban \( \times \) Yükseklik.
Adım 1: Taban uzunluğunu \( x = 6 \) değerine göre hesaplayalım: Taban \( = 2 \times 6 = 12 \) metre.
Adım 2: Yükseklik zaten sabit olarak \( 10 \) metre verilmiştir.
Adım 3: Alanı hesaplayalım: Alan \( = 12 \times 10 = 120 \) metrekaredir. 🏠
Cevap: Çiçekliğin alanı \( 120 \) metrekaredir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Aşağıda bir sayı örüntüsünün ilk dört terimi verilmiştir:
\( 5, 9, 13, 17, ... \)
Soru: Bu örüntünün genel kuralını bulunuz ve bu kuraldaki değişkenin \( n = 10 \) değeri için sonucunu hesaplayınız. 🔢
Çözüm ve Açıklama
Örüntünün kuralını bulmak için artış miktarını inceleyelim:
Adım 1: Sayılar arasındaki farka bakalım: \( 9 - 5 = 4 \), \( 13 - 9 = 4 \). Artış miktarı \( 4 \)'tür.
Adım 2: Genel kural \( 4n \) ile başlar. \( n = 1 \) (1. adım) için: \( 4 \times 1 = 4 \). İlk terim \( 5 \) olduğu için \( 1 \) eklemeliyiz. Genel Kural: \( 4n + 1 \). 📌
Adım 3: \( n = 10 \) için değeri hesaplayalım: \( 4 \times 10 + 1 = 40 + 1 = 41 \).
Cevap: Genel kural \( 4n + 1 \), 10. terim ise \( 41 \)'dir.
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir duvar ustası, her adımda kullanılan kare fayans sayısını bir örüntüye göre artırarak bir süsleme yapıyor.
Soru: Her bir fayansın alanı \( 4 \) birimkare olduğuna göre, bu örüntünün \( n \). adımında kullanılan toplam fayans alanını veren cebirsel ifadeyi yazınız. 🧱
Çözüm ve Açıklama
Önce fayans sayısının genel kuralını bulalım, sonra alanla çarpalım:
Adım 1: Fayans sayısı \( 3 \)'er \( 3 \)'er artıyor. Genel kural \( 3n \) ile başlar.
Adım 2: 1. adımda \( 2 \) fayans olması için: \( 3 \times 1 - 1 = 2 \). Fayans Sayısı Kuralı: \( 3n - 1 \).
Adım 3: Her bir fayansın alanı \( 4 \) birimkare ise, toplam alan: Toplam Alan \( = 4 \times (3n - 1) \) birimkaredir. 💡
Adım 4: Bu ifadeyi dağıtırsak: \( 12n - 4 \) sonucuna ulaşırız.
Cevap: Toplam alanı veren cebirsel ifade \( 12n - 4 \)'tür.
6
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir üçgenin taban uzunluğu bir sayı örüntüsünün \( n \). adımındaki değere eşittir. Örüntü \( 7, 12, 17, 22, ... \) şeklinde devam etmektedir. Üçgenin yüksekliği ise sabit ve \( 12 \) birimdir.
Soru: Bu üçgenin alanını \( n = 5 \) için hesaplayınız. 🔺
Adım 1: Örüntünün kuralını bulalım. Artış miktarı \( 5 \). 1. terim \( 7 \) olduğu için: \( 5 \times 1 + 2 = 7 \). Genel Kural: \( 5n + 2 \).
Adım 2: \( n = 5 \) için taban uzunluğunu bulalım: Taban \( = 5 \times 5 + 2 = 25 + 2 = 27 \) birim.
Adım 3: Alanı hesaplayalım: Alan \( = (27 \times 12) \div 2 \) Alan \( = 324 \div 2 = 162 \) birimkaredir. ✅
Cevap: Üçgenin alanı \( 162 \) birimkaredir.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir halı yıkama firması, yıkanan halının alanı için şu ücret tarifesini uygulamaktadır: Sabit servis ücreti: \( 20 \) TL Metrekare başına yıkama ücreti: \( 15 \) TL
Soru: Yıkanacak halının alanı \( A \) metrekare ise, ödenecek toplam tutarı veren cebirsel ifadeyi yazınız ve \( 4 \) metrekarelik bir halı için ödenecek tutarı bulunuz. 🧼
Çözüm ve Açıklama
Toplam ücreti adım adım kurgulayalım:
Adım 1: Değişkenimiz halının alanı olan \( A \) olsun.
Adım 2: Metrekare başına \( 15 \) TL ise, yıkama maliyeti \( 15 \times A \) olur.
Adım 3: Üzerine sabit servis ücretini ekleyelim: Toplam Ücret \( = 15A + 20 \).
Adım 4: \( A = 4 \) için hesaplayalım: \( 15 \times 4 + 20 = 60 + 20 = 80 \) TL. 💰
Cevap: Cebirsel ifade \( 15A + 20 \); 4 metrekare için ücret \( 80 \) TL'dir.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarının \( 3 \) katından \( 2 \) birim fazladır. Kısa kenar uzunluğu \( y \) birimdir.
Soru: Bu dikdörtgenin çevresini veren cebirsel ifadeyi en sade haliyle yazınız. Eğer \( y = 4 \) ise çevre kaç birimdir? 📏
Çözüm ve Açıklama
Dikdörtgenin kenarlarını belirleyelim:
Adım 1: Kısa kenar \( = y \).
Adım 2: Uzun kenar \( = 3y + 2 \).
Adım 3: Çevre formülü: \( 2 \times \) (Kısa Kenar + Uzun Kenar) Çevre \( = 2 \times (y + 3y + 2) \) Çevre \( = 2 \times (4y + 2) \) Çevre \( = 8y + 4 \). ✨
Adım 4: \( y = 4 \) için çevreyi hesaplayalım: \( 8 \times 4 + 4 = 32 + 4 = 36 \) birim.
Cevap: Cebirsel ifade \( 8y + 4 \), çevre ise \( 36 \) birimdir.
6. Sınıf Matematik: Cebirsel ifade sayı örüntüsü alan hesaplama Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan bir karenin alanı \( a \times a \) formülü ile hesaplanır.
Soru: Kenar uzunluğu \( x + 3 \) olan bir karenin, \( x = 5 \) için alanı kaç birimkaredir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için cebirsel ifadede değişkenin yerine verilen sayıyı yazmalıyız:
Adım 1: Karenin bir kenar uzunluğunu bulalım. Değişkenimiz \( x = 5 \) olarak verilmiş.
Adım 2: Kenar uzunluğu \( = x + 3 \) olduğuna göre, \( 5 + 3 = 8 \) birimdir. ✅
Adım 3: Karenin alanı, iki kenarının çarpımıdır: \( 8 \times 8 = 64 \) birimkaredir.
Cevap: Karenin alanı \( 64 \) birimkaredir.
Örnek 2:
Bir sayı örüntüsünün genel kuralı \( 3n + 2 \) olarak verilmiştir.
Soru: Bu örüntünün 4. adımındaki sayı, bir dikdörtgenin kısa kenarını; 6. adımındaki sayı ise bu dikdörtgenin uzun kenarını temsil etmektedir. Bu dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir? 📐
Adım 1: 4. adımdaki sayıyı (kısa kenar) bulmak için \( n = 4 \) yazalım: \( 3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \) birim.
Adım 2: 6. adımdaki sayıyı (uzun kenar) bulmak için \( n = 6 \) yazalım: \( 3 \times 6 + 2 = 18 + 2 = 20 \) birim.
Adım 3: Dikdörtgenin alanını hesaplayalım: Alan = Kısa Kenar \( \times \) Uzun Kenar Alan \( = 14 \times 20 = 280 \) birimkaredir. 💡
Cevap: Dikdörtgenin alanı \( 280 \) birimkaredir.
Örnek 3:
Ali, bahçesine paralelkenar şeklinde bir çiçeklik yapmak istiyor. Bu paralelkenarın taban uzunluğu \( 2x \) metre, bu tabana ait yüksekliği ise \( 10 \) metredir.
Soru: \( x = 6 \) için Ali'nin hazırlayacağı çiçekliğin alanı kaç metrekaredir? 🌸
Çözüm:
Paralelkenarın alan formülünü hatırlayalım: Alan = Taban \( \times \) Yükseklik.
Adım 1: Taban uzunluğunu \( x = 6 \) değerine göre hesaplayalım: Taban \( = 2 \times 6 = 12 \) metre.
Adım 2: Yükseklik zaten sabit olarak \( 10 \) metre verilmiştir.
Adım 3: Alanı hesaplayalım: Alan \( = 12 \times 10 = 120 \) metrekaredir. 🏠
Cevap: Çiçekliğin alanı \( 120 \) metrekaredir.
Örnek 4:
Aşağıda bir sayı örüntüsünün ilk dört terimi verilmiştir:
\( 5, 9, 13, 17, ... \)
Soru: Bu örüntünün genel kuralını bulunuz ve bu kuraldaki değişkenin \( n = 10 \) değeri için sonucunu hesaplayınız. 🔢
Çözüm:
Örüntünün kuralını bulmak için artış miktarını inceleyelim:
Adım 1: Sayılar arasındaki farka bakalım: \( 9 - 5 = 4 \), \( 13 - 9 = 4 \). Artış miktarı \( 4 \)'tür.
Adım 2: Genel kural \( 4n \) ile başlar. \( n = 1 \) (1. adım) için: \( 4 \times 1 = 4 \). İlk terim \( 5 \) olduğu için \( 1 \) eklemeliyiz. Genel Kural: \( 4n + 1 \). 📌
Adım 3: \( n = 10 \) için değeri hesaplayalım: \( 4 \times 10 + 1 = 40 + 1 = 41 \).
Cevap: Genel kural \( 4n + 1 \), 10. terim ise \( 41 \)'dir.
Örnek 5:
Bir duvar ustası, her adımda kullanılan kare fayans sayısını bir örüntüye göre artırarak bir süsleme yapıyor.
Soru: Her bir fayansın alanı \( 4 \) birimkare olduğuna göre, bu örüntünün \( n \). adımında kullanılan toplam fayans alanını veren cebirsel ifadeyi yazınız. 🧱
Çözüm:
Önce fayans sayısının genel kuralını bulalım, sonra alanla çarpalım:
Adım 1: Fayans sayısı \( 3 \)'er \( 3 \)'er artıyor. Genel kural \( 3n \) ile başlar.
Adım 2: 1. adımda \( 2 \) fayans olması için: \( 3 \times 1 - 1 = 2 \). Fayans Sayısı Kuralı: \( 3n - 1 \).
Adım 3: Her bir fayansın alanı \( 4 \) birimkare ise, toplam alan: Toplam Alan \( = 4 \times (3n - 1) \) birimkaredir. 💡
Adım 4: Bu ifadeyi dağıtırsak: \( 12n - 4 \) sonucuna ulaşırız.
Cevap: Toplam alanı veren cebirsel ifade \( 12n - 4 \)'tür.
Örnek 6:
Bir üçgenin taban uzunluğu bir sayı örüntüsünün \( n \). adımındaki değere eşittir. Örüntü \( 7, 12, 17, 22, ... \) şeklinde devam etmektedir. Üçgenin yüksekliği ise sabit ve \( 12 \) birimdir.
Soru: Bu üçgenin alanını \( n = 5 \) için hesaplayınız. 🔺
Adım 1: Örüntünün kuralını bulalım. Artış miktarı \( 5 \). 1. terim \( 7 \) olduğu için: \( 5 \times 1 + 2 = 7 \). Genel Kural: \( 5n + 2 \).
Adım 2: \( n = 5 \) için taban uzunluğunu bulalım: Taban \( = 5 \times 5 + 2 = 25 + 2 = 27 \) birim.
Adım 3: Alanı hesaplayalım: Alan \( = (27 \times 12) \div 2 \) Alan \( = 324 \div 2 = 162 \) birimkaredir. ✅
Cevap: Üçgenin alanı \( 162 \) birimkaredir.
Örnek 7:
Bir halı yıkama firması, yıkanan halının alanı için şu ücret tarifesini uygulamaktadır: Sabit servis ücreti: \( 20 \) TL Metrekare başına yıkama ücreti: \( 15 \) TL
Soru: Yıkanacak halının alanı \( A \) metrekare ise, ödenecek toplam tutarı veren cebirsel ifadeyi yazınız ve \( 4 \) metrekarelik bir halı için ödenecek tutarı bulunuz. 🧼
Çözüm:
Toplam ücreti adım adım kurgulayalım:
Adım 1: Değişkenimiz halının alanı olan \( A \) olsun.
Adım 2: Metrekare başına \( 15 \) TL ise, yıkama maliyeti \( 15 \times A \) olur.
Adım 3: Üzerine sabit servis ücretini ekleyelim: Toplam Ücret \( = 15A + 20 \).
Adım 4: \( A = 4 \) için hesaplayalım: \( 15 \times 4 + 20 = 60 + 20 = 80 \) TL. 💰
Cevap: Cebirsel ifade \( 15A + 20 \); 4 metrekare için ücret \( 80 \) TL'dir.
Örnek 8:
Bir dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarının \( 3 \) katından \( 2 \) birim fazladır. Kısa kenar uzunluğu \( y \) birimdir.
Soru: Bu dikdörtgenin çevresini veren cebirsel ifadeyi en sade haliyle yazınız. Eğer \( y = 4 \) ise çevre kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Dikdörtgenin kenarlarını belirleyelim:
Adım 1: Kısa kenar \( = y \).
Adım 2: Uzun kenar \( = 3y + 2 \).
Adım 3: Çevre formülü: \( 2 \times \) (Kısa Kenar + Uzun Kenar) Çevre \( = 2 \times (y + 3y + 2) \) Çevre \( = 2 \times (4y + 2) \) Çevre \( = 8y + 4 \). ✨
Adım 4: \( y = 4 \) için çevreyi hesaplayalım: \( 8 \times 4 + 4 = 32 + 4 = 36 \) birim.
Cevap: Cebirsel ifade \( 8y + 4 \), çevre ise \( 36 \) birimdir.