çarpanlar ve katlar maarif modele uygun yeni nesil soru Ders Notu

Bir doğal sayıyı tam olarak bölen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları veya bölenleri denir. Bir sayının çarpanı aynı zamanda o sayının kalansız bir bölenidir. Bir doğal sayıyı kalansız bölen sayılar, o sayının çarpanlar kümesini oluşturur. Günlük yaşamda bir alandaki karoların diziliminden raf düzenlemelerine kadar pek çok problem durumunda çarpanlar ve katlar ilişkisinden yararlanılır.

🎯 Bir Doğal Sayının Çarpanları ve Katları

Bir doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazıldığında, bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bir doğal sayının katları ise o sayının sırasıyla \(1, 2, 3, 4, ...\) gibi doğal sayılarla çarpılmasıyla elde edilir.

Örnek: \(24\) sayısının çarpanlarını ve ilk dört katını bulalım.

• Çarpanlar (Bölenler): \(24 = 1 \times 24\), \(24 = 2 \times 12\), \(24 = 3 \times 8\), \(24 = 4 \times 6\)
• \(24\)'ün çarpanları sırasıyla: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\) sayılarıdır.
• Katlar: \(24 \times 1 = 24\), \(24 \times 2 = 48\), \(24 \times 3 = 72\), \(24 \times 4 = 96\) şeklindedir.

⭐️ Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar

Sadece \(1\)'e ve kendisine bölünebilen, \(1\)'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı \(2\)'dir ve \(2\) dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır.

İlk asal sayılar: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...\)

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir. Asal çarpanlar iki temel yöntemle bulunabilir:

• Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması): Sayı en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür.
• Çarpan Ağacı: Sayı iki çarpanın çarpımı şeklinde yazılır ve asal çarpanlar elde edilene kadar dallandırılır.

Örnek: \(60\) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\(60 \div 2 = 30\)
\(30 \div 2 = 15\)
\(15 \div 3 = 5\)
\(5 \div 5 = 1\)

Buna göre \(60\) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali:

\[ 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \]

\(60\) sayısının farklı asal çarpanları \(2, 3\) ve \(5\)'tir.

🧩 Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli'ne Uygun Yeni Nesil Çözümlü Sorular

💡 Bilgi Notu: Yeni nesil matematik sorularında verilen bilgileri modellemek, çarpan ilişkilerini alan veya çevre uzunluklarıyla ilişkilendirmek önemlidir.

Örnek Soru 1

Bir mimar, alanı \(36 \text{ m}^2\) olan dikdörtgen şeklindeki bir hobi bahçesinin etrafını telle çevirecektir. Bahçenin kenar uzunlukları metre cinsinden birer doğal sayıdır.

Buna göre bu hobi bahçesinin çevresi en fazla kaç metre olabilir?

Çözüm:

Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. Alanı \(36 \text{ m}^2\) olduğuna göre, kenar uzunlukları \(36\)'nın pozitif çarpanları olmalıdır.

\(36\)'nın çarpan çiftleri:

• \(1 \times 36 = 36\) (Kısa kenar = \(1 \text{ m}\), Uzun kenar = \(36 \text{ m}\))
• \(2 \times 18 = 36\) (Kısa kenar = \(2 \text{ m}\), Uzun kenar = \(18 \text{ m}\))
• \(3 \times 12 = 36\) (Kısa kenar = \(3 \text{ m}\), Uzun kenar = \(12 \text{ m}\))
• \(4 \times 9 = 36\) (Kısa kenar = \(4 \text{ m}\), Uzun kenar = \(9 \text{ m}\))
• \(6 \times 6 = 36\) (Kare durumu: Kısa kenar = \(6 \text{ m}\), Uzun kenar = \(6 \text{ m}\))

Dikdörtgenin çevre formülü: Çevre = \(2 \times (a + b)\)

Çevrenin en büyük değeri alması için birbirine en uzak çarpan çifti seçilmelidir:

\[ \text{Çevre} = 2 \times (1 + 36) = 2 \times 37 = 74 \text{ m} \]

Bahçenin çevresi en fazla \(74\text{ m}\) bulunur.

Örnek Soru 2

Aşağıda üzerlerinde birer doğal sayı yazan kartlar verilmiştir:

Kart A	Kart B	Kart C
\(45\)	\(60\)	\(75\)

Ahmet, bu kartlardan asal çarpan sayısı en fazla olanı seçecektir. Eğer asal çarpan sayıları eşit olan kartlar varsa, asal çarpanlarının toplamı daha büyük olan kartı tercih edecektir.

Buna göre Ahmet hangi kartı seçmelidir?

Çözüm:

Kartlardaki sayıların asal çarpanlarını tek tek belirleyelim:

• Kart A (\(45\)): \(45 = 3^2 \times 5\). Asal çarpanları: \(3\) ve \(5\) (Toplam \(2\) adet asal çarpan). Asal çarpanlar toplamı: \(3 + 5 = 8\).
• Kart B (\(60\)): \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\). Asal çarpanları: \(2, 3\) ve \(5\) (Toplam \(3\) adet asal çarpan). Asal çarpanlar toplamı: \(2 + 3 + 5 = 10\).
• Kart C (\(75\)): \(75 = 3 \times 5^2\). Asal çarpanları: \(3\) ve \(5\) (Toplam \(2\) adet asal çarpan). Asal çarpanlar toplamı: \(3 + 5 = 8\).

Asal çarpan sayısı en fazla olan sayı \(60\) olduğu için Ahmet Kart B'yi seçmelidir.