💡 6. Sınıf Matematik: Bilinen ve bilinmeyen nicelikler Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için bilinmeyenleri belirleyelim:

• Tavuk sayısı: \( t \)
• Koyun sayısı: \( k \)

Bize verilen bilgiler şunlardır:

• Toplam hayvan sayısı: \( t + k = 25 \)
• Toplam ayak sayısı: Tavukların 2 ayağı, koyunların 4 ayağı vardır. Bu durumda: \( 2t + 4k = 80 \)

Şimdi bu iki denklemi kullanarak tavuk sayısını bulalım:

1. İlk denklemden \( t \) veya \( k \) yalnız bırakılabilir. \( t = 25 - k \) diyelim.
2. Bu \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım: \( 2(25 - k) + 4k = 80 \)
3. Denklemi çözelim: \( 50 - 2k + 4k = 80 \)
4. \( 50 + 2k = 80 \)
5. \( 2k = 80 - 50 \)
6. \( 2k = 30 \)
7. \( k = 15 \) (Yani 15 tane koyun var.)
8. Şimdi tavuk sayısını bulmak için \( t = 25 - k \) denklemine geri dönelim: \( t = 25 - 15 \)
9. \( t = 10 \)

Sonuç olarak, çiftlikte 10 tane tavuk vardır. ✅

Bu soruda bilinmeyen başlangıçtaki elma sayısıdır. Adım adım çözelim:

1. Başlangıçtaki elma sayısına \( x \) diyelim.
2. Manav önce elmaların \( \frac{1}{3} \) 'ünü satıyor. Satılan elma sayısı: \( \frac{1}{3}x \)
3. Kalan elma sayısı: \( x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x \)
4. Sonra kalan elmaların \( \frac{1}{2} \) 'sini satıyor. Satılan ikinci kısım: \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x \)
5. Toplam satılan elma sayısı: \( \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x \)
6. Manavın elinde kalan elma sayısı: \( x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x \)
7. Bize elinde 20 elma kaldığı söyleniyor. O halde: \( \frac{1}{3}x = 20 \)
8. Bu denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım: \( x = 20 \times 3 \)
9. \( x = 60 \)

Manav başlangıçta 60 elma ile işe başlamıştır. 💡

Bu tür problemler, işçi problemleri veya ters orantı problemleri olarak da düşünülebilir. Bilinmeyen, günde çalışılması gereken saat sayısıdır.

1. Toplam iş miktarını bulalım. İş miktarı = (Gün sayısı) \( \times \) (Günlük çalışma saati)
2. Toplam iş miktarı = \( 5 \text{ gün} \times 8 \text{ saat/gün} = 40 \text{ saatlik iş} \)
3. Şimdi bu 40 saatlik işi 4 günde bitirmesi gerekiyor.
4. Yeni günlük çalışma saatini bulmak için toplam iş miktarını gün sayısına böleriz:
5. Günlük çalışma saati = \( \frac{40 \text{ saatlik iş}}{4 \text{ gün}} = 10 \text{ saat/gün} \)

İşçinin duvarı 4 günde örmesi için günde 10 saat çalışması gerekirdi. ⏳

Bu problemde bilinmeyen, sınıftaki öğrenci sayısıdır. Adım adım ilerleyelim:

1. En küçük öğrencinin yaşı: 11
2. En büyük öğrencinin yaşı: \( (11 \times 2) + 3 = 22 + 3 = 25 \)
3. Sınıftaki öğrencilerin yaşları ardışık tek sayılardır. Bu şu demektir: 11, 13, 15, ..., 25
4. Bu ardışık tek sayı dizisindeki terim sayısını bulmalıyız.
5. Terim sayısı formülü (ardışık sayılar için): \( \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 \)
6. Burada artış miktarı 2'dir (tek sayılar arasındaki fark).
7. Öğrenci sayısı = \( \frac{25 - 11}{2} + 1 \)
8. Öğrenci sayısı = \( \frac{14}{2} + 1 \)
9. Öğrenci sayısı = \( 7 + 1 \)
10. Öğrenci sayısı = 8

Bu sınıfta toplam 8 öğrenci vardır. 👍

Bilinmeyenler elma ve portakal sayısıdır.

• Elma sayısı: \( e \)
• Portakal sayısı: \( p \)

Verilenler:

• \( p = 3e \) (Portakal sayısı elma sayısının 3 katı)
• \( e + p = 24 \) (Toplam meyve sayısı)

Çözüm adımları:

1. \( p = 3e \) ifadesini ikinci denklemde yerine koyalım: \( e + 3e = 24 \)
2. Denklemi çözelim: \( 4e = 24 \)
3. \( e = \frac{24}{4} \)
4. \( e = 6 \) (Yani 6 tane elma var.)
5. Şimdi portakal sayısını bulalım: \( p = 3e \)
6. \( p = 3 \times 6 \)
7. \( p = 18 \)

Sepette 18 tane portakal vardır. 🧡

Bu soruda bilinmeyen, fırıncının toplam yaptığı kek sayısıdır.

1. Toplam kek sayısına \( k \) diyelim.
2. Sabah satılan kek sayısı: \( \frac{2}{5}k \)
3. Sabah satıldıktan sonra kalan kek sayısı: \( k - \frac{2}{5}k = \frac{3}{5}k \)
4. Öğleden sonra satılan kek sayısı, kalanların \( \frac{1}{3} \) 'üdür: \( \frac{1}{3} \times \frac{3}{5}k = \frac{1}{5}k \)
5. Bize öğleden sonra 30 kek satıldığı söyleniyor. Bu durumda: \( \frac{1}{5}k = 30 \)
6. Denklemi çözerek \( k \) değerini bulalım: \( k = 30 \times 5 \)
7. \( k = 150 \)

Fırıncı toplam 150 kek yapmıştır. 😋

Bu soruda bilinmeyen, toplam yolculuk süresidir. Süreyi bulmak için her bir bölüm için ayrı ayrı hesap yapmalıyız.

• Zaman = \( \frac{\text{Mesafe}}{\text{Hız}} \)

İlk bölüm için süre:

• Mesafe = 40 km
• Hız = 10 km/saat
• Süre1 = \( \frac{40 \text{ km}}{10 \text{ km/saat}} = 4 \text{ saat} \)

İkinci bölüm için süre:

• Mesafe = 60 km
• Hız = 15 km/saat
• Süre2 = \( \frac{60 \text{ km}}{15 \text{ km/saat}} = 4 \text{ saat} \)

Toplam yolculuk süresi:

• Toplam Süre = Süre1 + Süre2
• Toplam Süre = 4 saat + 4 saat = 8 saat

Bisikletli toplamda 8 saat yolculuk yapmıştır. 🛣️

Bu problemde iki bilinmeyenimiz var: başlangıçtaki kırmızı bilye sayısı ve başlangıçtaki mavi bilye sayısı.

• Başlangıçtaki kırmızı bilye sayısı: \( k \)
• Başlangıçtaki mavi bilye sayısı: \( m \)

Bize verilen bilgiler:

• \( k + m = 50 \) (Toplam bilye sayısı)

Bu ilk denklemimiz. Şimdi ikinci duruma bakalım:

• Kırmızı bilyeler 5 artırılırsa: \( k + 5 \)
• Mavi bilyeler 5 azaltılırsa: \( m - 5 \)
• Bu durumda, kırmızı bilyelerin sayısı mavi bilyelerin sayısının 3 katı oluyor: \( k + 5 = 3(m - 5) \)

Bu da ikinci denklemimiz. Şimdi bu iki denklemi kullanarak \( k \) değerini bulalım:

1. İkinci denklemi açalım: \( k + 5 = 3m - 15 \)
2. \( k = 3m - 15 - 5 \)
3. \( k = 3m - 20 \)
4. Şimdi bu \( k \) değerini ilk denklemde \( k + m = 50 \) yerine koyalım: \( (3m - 20) + m = 50 \)
5. Denklemi çözelim: \( 4m - 20 = 50 \)
6. \( 4m = 50 + 20 \)
7. \( 4m = 70 \)
8. \( m = \frac{70}{4} \)
9. \( m = 17.5 \)

Burada bir sorun var, bilye sayısı tam sayı olmalı. Soruyu tekrar kontrol edelim. "Eğer kırmızı bilyelerin sayısı 5 artırılıp, mavi bilyelerin sayısı 5 azaltılırsa..." Bu ifadeyi doğru anlamışız. Ancak bilye sayısı bu durumda tam sayı çıkmıyor. Bu tür sorularda bazen verilen sayılar tam sonuç vermeyebilir veya sorunun kendisinde bir hata olabilir. Ancak müfredat sınırları içinde kalarak, bu tür bir problemde tam sayı çıkması beklenir. Eğer soruyu tam sayı çıkacak şekilde düzenlersek, örneğin toplam bilye sayısını 52 yaparsak:
Düzeltilmiş Soru Örneği: Bir sepetteki kırmızı ve mavi bilyelerin toplam sayısı 52'dir. Eğer kırmızı bilyelerin sayısı 5 artırılıp, mavi bilyelerin sayısı 5 azaltılırsa, kırmızı bilyelerin sayısı mavi bilyelerin sayısının 3 katı oluyor. Başlangıçta sepette kaç tane kırmızı bilye vardır? 🔴🔵
Düzeltilmiş Çözüm:

• \( k + m = 52 \)
• \( k + 5 = 3(m - 5) \implies k = 3m - 20 \)
• \( (3m - 20) + m = 52 \)
• \( 4m - 20 = 52 \)
• \( 4m = 72 \)
• \( m = \frac{72}{4} = 18 \) (Mavi bilye sayısı)
• \( k = 52 - m = 52 - 18 = 34 \) (Kırmızı bilye sayısı)

Başlangıçta sepette 34 tane kırmızı bilye vardır. ✅