💡 6. Sınıf Matematik: Aralarında Asal Sayılar Çözümlü Örnekler

Öncelikle 12'nin çarpanlarını bulalım: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
İki sayının aralarında asal olması için en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olması gerekir.
Şimdi şıkları inceleyelim:

• a) 5 ve 12: 5'in çarpanları 1, 5. 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ortak bölenleri sadece 1'dir. Dolayısıyla 5 ile 12 aralarında asaldır. ✅
• b) 8 ve 12: 8'in çarpanları 1, 2, 4, 8. 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ortak bölenleri 1, 2, 4'tür. EBOB(8, 12) = 4'tür. Dolayısıyla aralarında asal değildir. ❌
• c) 9 ve 12: 9'un çarpanları 1, 3, 9. 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ortak bölenleri 1, 3'tür. EBOB(9, 12) = 3'tür. Dolayısıyla aralarında asal değildir. ❌
• d) 10 ve 12: 10'un çarpanları 1, 2, 5, 10. 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ortak bölenleri 1, 2'dir. EBOB(10, 12) = 2'dir. Dolayısıyla aralarında asal değildir. ❌

Sonuç olarak, sadece 5 ile 12 aralarında asaldır. 👉 Cevap: a) 5

15'in çarpanları 1, 3, 5, 15'tir.
15 ile aralarında asal olması için sayının 3 ve 5'e bölünmemesi gerekir. Yani sayının çarpanları arasında 3 veya 5 olmamalıdır.
İki basamaklı en küçük doğal sayı 10'dur.
10'un çarpanları 1, 2, 5, 10'dur. 15 ile ortak bölenleri 1 ve 5'tir. EBOB(10, 15) = 5'tir. Aralarında asal değiller.
Sıradaki sayılara bakalım:

• 11: Asal sayıdır. 15 ile ortak böleni sadece 1'dir. EBOB(11, 15) = 1. Aralarında asaldır. ✅

Bu nedenle, 15 sayısı ile aralarında asal olan iki basamaklı en küçük doğal sayı 11'dir. 👉 Cevap: 11

Öncelikle 72'nin asal çarpanlarını bulalım.
72 = 2 x 36 = 2 x 2 x 18 = 2 x 2 x 2 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = \(2^3 \times 3^2\)
72'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür.
Bir sayının 72 ile aralarında asal olması için o sayının hem 2'ye hem de 3'e bölünmemesi gerekir. Yani sayının tek olması ve 3'ün katı olmaması gerekir.
Şimdi 72'nin çarpanlarını listeleyelim ve aralarında asal olanları bulalım:
72'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
Bu çarpanlardan hangileri 72 ile aralarında asaldır?

• 1: EBOB(1, 72) = 1. Aralarında asaldır. ✅
• 2: EBOB(2, 72) = 2. Aralarında asal değildir. ❌
• 3: EBOB(3, 72) = 3. Aralarında asal değildir. ❌
• 4: EBOB(4, 72) = 4. Aralarında asal değildir. ❌
• 6: EBOB(6, 72) = 6. Aralarında asal değildir. ❌
• 8: EBOB(8, 72) = 8. Aralarında asal değildir. ❌
• 9: EBOB(9, 72) = 9. Aralarında asal değildir. ❌
• 12: EBOB(12, 72) = 12. Aralarında asal değildir. ❌
• 18: EBOB(18, 72) = 18. Aralarında asal değildir. ❌
• 24: EBOB(24, 72) = 24. Aralarında asal değildir. ❌
• 36: EBOB(36, 72) = 36. Aralarında asal değildir. ❌
• 72: EBOB(72, 72) = 72. Aralarında asal değildir. ❌

Görüldüğü üzere, 72'nin çarpanlarından sadece 1 sayısı 72 ile aralarında asaldır.
Bu tür sorularda, bir sayının kendisi dışındaki çarpanlarının hiçbiri o sayıyla aralarında asal olamaz. Sadece 1 sayısı her sayıyla aralarında asaldır.
Dolayısıyla, 72 sayısı ile aralarında asal olan çarpanı sadece 1'dir.
Cevap: 1

Soruyu adım adım inceleyelim:
1. Elma ve Portakal Sayısı İlişkisi: Elma sayısı = 3 x Portakal sayısı.
2. Elma Sayısı Artışı: Elma sayısı + 5.
3. Aralarında Asallık: (Elma sayısı + 5) ile Portakal sayısı aralarında asal.
4. Başlangıç Koşulu: Başlangıçtaki elma sayısı < 15.

Başlangıçtaki elma sayısının 15'ten az olduğunu biliyoruz ve elma sayısı portakal sayısının 3 katı. Bu durumda olası elma sayıları şunlar olabilir:

• Elma = 3 ise Portakal = 1
• Elma = 6 ise Portakal = 2
• Elma = 9 ise Portakal = 3
• Elma = 12 ise Portakal = 4

Şimdi bu durumları elma sayısı 5 artırıldıktan sonraki aralarında asallık koşuluyla kontrol edelim:

• Durum 1: Elma = 3, Portakal = 1.
  Elma sayısı 5 artınca: 3 + 5 = 8.
  8 ile 1 aralarında asal mı? EBOB(8, 1) = 1. Evet, aralarında asaldır. ✅
• Durum 2: Elma = 6, Portakal = 2.
  Elma sayısı 5 artınca: 6 + 5 = 11.
  11 ile 2 aralarında asal mı? EBOB(11, 2) = 1. Evet, aralarında asaldır. ✅
• Durum 3: Elma = 9, Portakal = 3.
  Elma sayısı 5 artınca: 9 + 5 = 14.
  14 ile 3 aralarında asal mı? EBOB(14, 3) = 1. Evet, aralarında asaldır. ✅
• Durum 4: Elma = 12, Portakal = 4.
  Elma sayısı 5 artınca: 12 + 5 = 17.
  17 ile 4 aralarında asal mı? EBOB(17, 4) = 1. Evet, aralarında asaldır. ✅

Soruda "başlangıçtaki elma sayısı kaç olabilir?" diye sorulduğu için birden fazla olası cevap vardır. Bu durumda olası başlangıçtaki elma sayıları 3, 6, 9 ve 12'dir.
👉 Olası Cevaplar: 3, 6, 9, 12

Bu soruda müşteri, aldığı kurabiye paketlerinin sayısının 7 ile aralarında asal olmasını istiyor.
7 sayısı bir asal sayıdır.
Bir sayının asal bir sayıyla aralarında asal olması için, o sayının asal sayının katı olmaması gerekir.
Yani müşteri alacağı paket sayısının 7'nin katı olmamasını istiyor.
Örneğin, müşteri 1 paket kurabiye alabilir (EBOB(1, 7) = 1).
Müşteri 2 paket kurabiye alabilir (EBOB(2, 7) = 1).
Müşteri 3 paket kurabiye alabilir (EBOB(3, 7) = 1).
Müşteri 4 paket kurabiye alabilir (EBOB(4, 7) = 1).
Müşteri 5 paket kurabiye alabilir (EBOB(5, 7) = 1).
Müşteri 6 paket kurabiye alabilir (EBOB(6, 7) = 1).
Müşteri 7 paket kurabiye alamaz, çünkü EBOB(7, 7) = 7'dir ve aralarında asal olmazlar. ❌
Müşteri 8 paket kurabiye alabilir (EBOB(8, 7) = 1).

Kısacası, müşteri 7'nin katı olmayan herhangi bir sayıda paket kurabiye alabilir.
👉 Müşteri alabileceği paket sayıları: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ... (7'nin katları hariç)

İki sayının aralarında asal olup olmadığını anlamak için en büyük ortak bölenlerine (EBOB) bakarız. Eğer EBOB'ları 1 ise aralarında asaldırlar.
Şimdi 18 ve 25'in çarpanlarını bulalım:

• 18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 25'in çarpanları: 1, 5, 25

Bu iki sayının ortak bölenlerine baktığımızda, sadece 1'in ortak bölen olduğunu görüyoruz.
Dolayısıyla, EBOB(18, 25) = 1'dir.
Bu nedenle, 18 ile 25 sayıları aralarında asaldır. ✅

30'un asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
30 ile aralarında asal olması için bir sayının 2, 3 ve 5'in hiçbir katı olmaması gerekir. Yani sayı, 2, 3 ve 5'e bölünmemelidir.
İki basamaklı en büyük sayı 99'dur.
99'un çarpanları: 1, 3, 9, 11, 33, 99.
EBOB(99, 30) = 3'tür (çünkü ikisi de 3'e bölünüyor). Bu yüzden 99 ile 30 aralarında asal değildir. ❌
Sıradaki sayılara bakalım:

• 98: Çift sayıdır, 2'ye bölünür. EBOB(98, 30) = 2. Aralarında asal değildir. ❌
• 97: 97 asal bir sayıdır. 30'un asal çarpanları (2, 3, 5) 97'yi bölmez.
  EBOB(97, 30) = 1. Aralarında asaldır. ✅

Bu nedenle, 30 sayısının aralarında asal olduğu en büyük iki basamaklı sayı 97'dir. 👉 Cevap: 97

Ali'nin topladığı sayfa sayısı 12 ile aralarında asal olmalıdır.
12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ali'nin topladığı sayfa sayısının 12 ile aralarında asal olması için, bu sayının 2 ve 3'e bölünmemesi gerekir.
Yani, sayfa sayısının hem tek olması hem de 3'ün katı olmaması gerekir.
Örnekler:

• Ali 1 sayfa numarası toplamış olabilir. EBOB(1, 12) = 1. Aralarında asal. ✅
• Ali 5 sayfa numarası toplamış olabilir. EBOB(5, 12) = 1. Aralarında asal. ✅
• Ali 7 sayfa numarası toplamış olabilir. EBOB(7, 12) = 1. Aralarında asal. ✅
• Ali 11 sayfa numarası toplamış olabilir. EBOB(11, 12) = 1. Aralarında asal. ✅
• Ali 13 sayfa numarası toplamış olabilir. EBOB(13, 12) = 1. Aralarında asal. ✅
• Ali 17 sayfa numarası toplamış olabilir. EBOB(17, 12) = 1. Aralarında asal. ✅

Ali'nin topladığı sayfa sayısı, 12'nin çarpanları olan 2, 3, 4, 6, 12'yi ortak bölen olarak bulundurmamalıdır.
👉 Ali'nin topladığı sayfa sayısı 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, ... gibi sayılar olabilir.

Bu örnek, aralarında asal kavramının bölünebilme ve çarpanlarla ilişkisini günlük bir senaryo üzerinden gösteriyor.
Senaryo 1: Toplam 28 Öğrenci
28 öğrenciyi gruplara ayırırken olası grup sayıları ve her gruptaki öğrenci sayıları 28'in çarpanlarıdır:

• 1 grup x 28 öğrenci
• 2 grup x 14 öğrenci
• 4 grup x 7 öğrenci
• 7 grup x 4 öğrenci
• 14 grup x 2 öğrenci
• 28 grup x 1 öğrenci

Bu durumlarda, grup sayısı ile gruptaki öğrenci sayısı arasındaki EBOB'a bakalım:

• EBOB(1, 28) = 1 (Aralarında asal) ✅
• EBOB(2, 14) = 2 (Aralarında asal değil) ❌
• EBOB(4, 7) = 1 (Aralarında asal) ✅
• EBOB(7, 4) = 1 (Aralarında asal) ✅
• EBOB(14, 2) = 2 (Aralarında asal değil) ❌
• EBOB(28, 1) = 1 (Aralarında asal) ✅

Soruda "aralarında asal olamaz" denmiş. Bu ifade, "her zaman aralarında asal olamaz" veya "bazı durumlarda aralarında asal olmaz" şeklinde yorumlanabilir. Yukarıdaki analizde 2 ve 14 ile 14 ve 2 durumlarında aralarında asal olmadıklarını görüyoruz.

Senaryo 2: Toplam 29 Öğrenci
29 öğrenciyi gruplara ayırırken olası grup sayıları ve her gruptaki öğrenci sayıları 29'un çarpanlarıdır. 29 asal bir sayıdır.

• 1 grup x 29 öğrenci
• 29 grup x 1 öğrenci

Bu durumlarda EBOB'a bakalım:

• EBOB(1, 29) = 1 (Aralarında asal) ✅
• EBOB(29, 1) = 1 (Aralarında asal) ✅

29 sayısı asal olduğu için, çarpanları sadece 1 ve 29'dur. Bu nedenle, grup sayısı ve gruptaki öğrenci sayısı her zaman aralarında asal olacaktır (1 ve kendisi hariç).

Sonuç:
Aralarında asal kavramı, iki sayının 1'den başka ortak böleninin olmamasıdır. 28 gibi bileşik sayılarda, çarpanlar arasında ortak bölenler bulunabilir (örneğin 2 ve 14). 29 gibi asal sayılarda ise, çarpanlar sadece 1 ve kendisi olduğu için, farklı çarpan kombinasyonları her zaman aralarında asal olur. 👉 Bu, sayının asal olup olmamasının aralarında asal olma durumunu nasıl etkilediğini gösterir.