7. Tema Ders Notu

7. Tema: Kesirlerle İşlemler

6. Sınıf Matematik müfredatının 7. temasında kesirlerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini öğreneceğiz. Kesirler, bir bütünün parçalarını ifade etmek için kullanılır ve günlük hayatımızın pek çok alanında karşımıza çıkar. Örneğin, bir pastanın dilimleri, bir pizzanın parçaları veya bir yolun tamamlanan kısmı kesirlerle ifade edilebilir.

1. Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemi

Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemi yaparken paydaların eşit olması gerekir. Eğer paydalar eşitse, paylar toplanır veya çıkarılır ve ortak payda sonucun paydası olarak yazılır.

Paydaları Eşit Kesirlerle Toplama ve Çıkarma

Paydaları eşit olan kesirleri toplarken veya çıkarırken, paydalar aynı kalır, paylar toplanır veya çıkarılır.

• Toplama: \( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
• Çıkarma: \( \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Örnek 1: \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} \) işlemini yapalım.

Paydalar eşit olduğu için payları toplarız:

\[ \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7} \]

Örnek 2: \( \frac{5}{9} - \frac{1}{9} \) işlemini yapalım.

Paydalar eşit olduğu için payları çıkarırız:

\[ \frac{5}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5-1}{9} = \frac{4}{9} \]

Paydaları Farklı Kesirlerle Toplama ve Çıkarma

Paydaları farklı olan kesirlerle toplama veya çıkarma işlemi yapmadan önce, kesirlerin paydalarını eşitlememiz gerekir. Bunun için paydaların en küçük ortak katını (EKOK) buluruz ve kesirleri bu EKOK'a göre genişletiriz.

Örnek 3: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \) işlemini yapalım.

2 ve 3'ün EKOK'u 6'dır. Bu yüzden kesirleri 6 paydasına eşitleyeceğiz.

• \( \frac{1}{2} \) kesrini 3 ile genişletirsek: \( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)
• \( \frac{1}{3} \) kesrini 2 ile genişletirsek: \( \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)

Şimdi paydalar eşitlendi, toplayabiliriz:

\[ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \]

Örnek 4: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \) işlemini yapalım.

4 ve 6'nın EKOK'u 12'dir.

• \( \frac{3}{4} \) kesrini 3 ile genişletirsek: \( \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \)
• \( \frac{1}{6} \) kesrini 2 ile genişletirsek: \( \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \)

Şimdi paydalar eşitlendi, çıkarabiliriz:

\[ \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} \]

2. Kesirlerle Çarpma İşlemi

Kesirlerle çarpma işlemi yaparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

• \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \)

Örnek 5: \( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \) işlemini yapalım.

Payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarparız:

\[ \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} \]

Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda 2'ye bölünebilir:

\[ \frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{3}{10} \]

Örnek 6: Bir çiftçi tarlasının \( \frac{3}{5} \) 'üne buğday ekmiştir. Buğday ekili alanın \( \frac{1}{2} \) 'si kadar da sebze ekmiştir. Çiftçinin tarlasının ne kadarını sebze ekmiştir?

Tarlanın \( \frac{3}{5} \) 'ine buğday ekilmiş ve bu alanın \( \frac{1}{2} \) 'si kadar sebze ekilmiş. Bu, \( \frac{3}{5} \) 'in \( \frac{1}{2} \) 'si demektir. Çarpma işlemi yaparız:

\[ \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{5 \times 2} = \frac{3}{10} \]

Çiftçi tarlasının \( \frac{3}{10} \) 'üne sebze ekmiştir.

3. Kesirlerle Bölme İşlemi

Kesirlerle bölme işlemi yaparken, birinci kesir aynı kalır, ikinci kesir ters çevrilir (çarpmaya göre tersi alınır) ve bu iki kesir çarpılır.

• \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \)

Örnek 7: \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \) işlemini yapalım.

Birinci kesir \( \frac{3}{4} \) aynı kalır, ikinci kesir \( \frac{1}{2} \) ters çevrilerek \( \frac{2}{1} \) olur ve çarpılır:

\[ \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3 \times 2}{4 \times 1} = \frac{6}{4} \]

Bu kesri sadeleştirebiliriz:

\[ \frac{6 \div 2}{4 \div 2} = \frac{3}{2} \]

Örnek 8: Bir kurabiye hamurundan \( \frac{1}{4} \) kg'lık paketler yapılıyor. Elimizde \( \frac{7}{8} \) kg hamur olduğuna göre kaç paket kurabiye hamuru elde edilebilir?

Toplam hamur miktarını bir paketin miktarına böleriz:

\[ \frac{7}{8} \div \frac{1}{4} \]

Birinci kesir \( \frac{7}{8} \) aynı kalır, ikinci kesir \( \frac{1}{4} \) ters çevrilerek \( \frac{4}{1} \) olur ve çarpılır:

\[ \frac{7}{8} \times \frac{4}{1} = \frac{7 \times 4}{8 \times 1} = \frac{28}{8} \]

Bu kesri sadeleştirelim:

\[ \frac{28 \div 4}{8 \div 4} = \frac{7}{2} \]

Bu da \( 3 \frac{1}{2} \) paket demektir. Yani 3 tam paket ve yarım paket elde edilebilir.

Kesir Problemlerinde Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Problemi dikkatlice okuyarak hangi işlemin yapılması gerektiğini belirleyin.
• Paydaların eşit olup olmadığını kontrol edin. Eşit değilse EKOK bularak eşitleyin.
• Çarpma ve bölme işlemlerinde kurallara uygun hareket edin.
• Elde ettiğiniz sonucu sadeleştirmeyi unutmayın.