💡 5. Sınıf Matematik: Örüntülerde genel kural bulma Çözümlü Örnekler

Örüntünün kuralını bulmak için adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Sayılar arasındaki artış miktarını belirleyelim.
  \( 10 - 5 = 5 \)
  \( 15 - 10 = 5 \)
  Artış miktarı her adımda \( 5 \)'tir.
• 2. Adım: Artış miktarı \( 5 \) olduğu için kuralımızda \( 5 \times n \) (veya 5 tane n) ifadesi bulunmalıdır. Burada \( n \) harfi adım sayısını temsil eder.
• 3. Adım: 1. adımı kontrol edelim. \( n = 1 \) için; \( 5 \times 1 = 5 \). Örüntünün ilk terimi de \( 5 \) olduğu için herhangi bir ekleme veya çıkarma yapmamıza gerek yoktur.

✅ Genel Kural: \( 5 \times n \)

Bu örüntüdeki ilişkiyi keşfedelim:

• Artış Miktarı: Sayılar üçer üçer artmaktadır. \( 10 - 7 = 3 \). Bu durumda kuralımızda \( 3 \times n \) ifadesi yer alacaktır.
• Kontrol: 1. adımda \( n = 1 \) yazarsak; \( 3 \times 1 = 3 \) sonucuna ulaşırız.
• Düzenleme: Ancak örüntümüzün ilk sayısı \( 7 \)'dir. \( 3 \)'ten \( 7 \)'ye ulaşmak için \( 4 \) eklememiz gerekir.
• Sonuç: Kuralı \( 3 \times n + 4 \) şeklinde yazarız.

💡 Sağlama: 2. adım için \( n = 2 \) yazalım: \( 3 \times 2 + 4 = 6 + 4 = 10 \). Sonuç doğrudur!

✅ Genel Kural: \( 3 \times n + 4 \)

Örüntünün genel kuralı verildiğinde, istenen adımdaki sayıyı bulmak için \( n \) yerine adım sayısını yazarız:

• Verilen Kural: \( 4 \times n - 1 \)
• İstenen Adım: \( 10 \). adım.
• İşlem: \( n \) yerine \( 10 \) yazalım.
  \( 4 \times 10 - 1 \)
• Sonuç: \( 40 - 1 = 39 \)

👉 Bu örüntünün 10. terimi \( 39 \) sayısıdır.

Günlük hayattaki bu durumu bir örüntüye dönüştürelim:

• Başlangıç (0. Gün): \( 20 \) TL
• 1. Gün: \( 20 + 6 = 26 \) TL
• 2. Gün: \( 26 + 6 = 32 \) TL
• Artış Miktarı: Her gün \( 6 \) TL eklendiği için artış miktarı \( 6 \)'dır. Kuralda \( 6 \times n \) olmalıdır.
• Kontrol: 1. gün için \( 6 \times 1 = 6 \). Ancak 1. gün sonunda \( 26 \) TL olması gerekir. \( 26 - 6 = 20 \) olduğu için kurala \( 20 \) eklemeliyiz.

✅ Genel Kural: \( 6 \times n + 20 \)

Şekil örüntüsünü sayı örüntüsüne çevirelim:

• Sayı Dizisi: \( 3, 5, 7, ... \)
• Artış Miktarı: \( 5 - 3 = 2 \). Çubuk sayısı ikişer ikişer artıyor. Bu yüzden kuralda \( 2 \times n \) vardır.
• İlk Adım Ayarı: \( n = 1 \) için \( 2 \times 1 = 2 \). İlk adımda \( 3 \) çubuk olduğu için \( 1 \) eklememiz gerekir.
• Kural: \( 2 \times n + 1 \)

📌 Bu kural sayesinde örneğin 100. adımda kaç çubuk gerektiğini kolayca hesaplayabiliriz: \( 2 \times 100 + 1 = 201 \).

Öncelikle örüntünün genel kuralını bulalım, sonra hedef sayıya ulaşalım:

• Artış Miktarı: \( 21 - 13 = 8 \). Kuralda \( 8 \times n \) olmalı.
• Genel Kuralı Bulma: \( n = 1 \) için \( 8 \times 1 = 8 \). İlk sayı \( 13 \) olduğu için \( 13 - 8 = 5 \) eklemeliyiz.
  Genel Kural: \( 8 \times n + 5 \)
• Adımı Bulma: \( 8 \times n + 5 = 93 \) olmasını istiyoruz.
• Ters İşlem Yapalım:
  1) \( 93 - 5 = 88 \)
  2) \( 88 \div 8 = 11 \)

✅ Örüntünün 11. adımındaki sayı \( 93 \)'tür.

Ödenecek ücreti adım adım hesaplayalım:

• 0 km (Açılış): \( 15 \) TL
• 1 km sonunda: \( 15 + 8 = 23 \) TL
• 2 km sonunda: \( 23 + 8 = 31 \) TL
• Artış Miktarı: Her kilometrede \( 8 \) TL arttığı için kural \( 8 \times n \) ile başlar.
• Sabit Ücret: Hiç yol gitmeden (n=0 iken) ödenen \( 15 \) TL başlangıç miktarıdır.

✅ Genel Kural: \( 8 \times n + 15 \)

Masa sayısı ile kişi sayısı arasındaki ilişkiyi inceleyelim:

• Masa Sayısı (n): \( 1, 2, 3, ... \)
• Kişi Sayısı: \( 4, 6, 8, ... \)
• Artış Miktarı: Her yeni masa eklendiğinde kişi sayısı \( 2 \) artıyor. Kuralımızda \( 2 \times n \) vardır.
• Düzenleme: \( n = 1 \) için \( 2 \times 1 = 2 \). İlk durumda \( 4 \) kişi olması için \( 2 \) eklemeliyiz.
• Genel Kural: \( 2 \times n + 2 \)

💡 Örnek: 10 masa birleştirilirse \( 2 \times 10 + 2 = 22 \) kişi oturabilir.