💡 5. Sınıf Matematik: Kesişen çemberler Çözümlü Örnekler

İki çemberin birbirini kesmesi için belirli şartlar vardır.

• Merkezleri arasındaki uzaklık (d) verilmiş olsun.
• Birinci çemberin yarıçapı \( r_1 \) ve ikinci çemberin yarıçapı \( r_2 \) olsun.
• Eğer \( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \) ise, çemberler iki farklı noktada kesişir.

Bu durumda, merkezleri arasındaki uzaklık, yarıçapların toplamından az ve yarıçapların farkının mutlak değerinden büyük olduğu için çemberler iki noktada kesişir. ✅

Öncelikle verilen değerleri belirleyelim:

• Birinci çemberin yarıçapı \( r_1 = 5 \) cm.
• İkinci çemberin yarıçapı \( r_2 = 3 \) cm.
• Merkezleri arasındaki uzaklık \( d = 7 \) cm.

Şimdi yarıçapların toplamını ve farkının mutlak değerini hesaplayalım:

• Yarıçapların toplamı: \( r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8 \) cm.
• Yarıçapların farkının mutlak değeri: \( |r_1 - r_2| = |5 - 3| = 2 \) cm.

Koşulumuzu kontrol edelim: \( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \)
\( 2 < 7 < 8 \)
Bu eşitsizlik doğrudur. Bu nedenle, çemberler iki noktada kesişir. 👉

Verilen bilgileri listeleyelim:

• \( r_1 = 4 \) cm
• \( r_2 = 6 \) cm
• \( d = 10 \) cm

Yarıçapların toplamını hesaplayalım: \( r_1 + r_2 = 4 + 6 = 10 \) cm.
Yarıçapların farkının mutlak değerini hesaplayalım: \( |r_1 - r_2| = |4 - 6| = |-2| = 2 \) cm.
Şimdi merkezler arasındaki uzaklığı (d) bu değerlerle karşılaştıralım:

• Eğer \( d = r_1 + r_2 \) ise, çemberler bir noktada (dıştan teğet) kesişir.
• Eğer \( d = |r_1 - r_2| \) ise, çemberler bir noktada (içten teğet) kesişir.
• Eğer \( d > r_1 + r_2 \) ise, çemberler kesişmez (birbirinden ayrıdır).
• Eğer \( d < |r_1 - r_2| \) ise, çemberler kesişmez (biri diğerinin içindedir).

Bizim durumumuzda \( d = 10 \) cm ve \( r_1 + r_2 = 10 \) cm'dir. Bu durum, çemberlerin bir noktada dıştan teğet olarak kesiştiğini gösterir. ✅

Bilgileri toplayalım:

• \( d = 15 \) cm
• \( r_1 = 8 \) cm
• \( r_2 = 5 \) cm

Yarıçapların toplamını bulalım: \( r_1 + r_2 = 8 + 5 = 13 \) cm.
Yarıçapların farkının mutlak değerini bulalım: \( |r_1 - r_2| = |8 - 5| = 3 \) cm.
Şimdi merkezler arasındaki uzaklığı (d) yarıçapların toplamı ve farkının mutlak değeri ile karşılaştıralım:

• Bizim durumumuzda \( d = 15 \) cm.
• \( r_1 + r_2 = 13 \) cm.

Görüyoruz ki \( d > r_1 + r_2 \) (yani \( 15 > 13 \)). Bu durum, çemberlerin hiçbir noktada kesişmediğini ve birbirlerinden ayrı olduklarını gösterir. 🙅‍♀️

Bu soruyu çözmek için çemberlerin kesişme kurallarını kullanacağız. Çapları yarıçapa çevirelim:

• Birinci havuzun yarıçapı: \( r_1 = 6 \text{ metre} / 2 = 3 \) metre.
• İkinci havuzun yarıçapı: \( r_2 = 4 \text{ metre} / 2 = 2 \) metre.
• Merkezleri arasındaki uzaklık: \( d = 5 \) metre.

Şimdi yarıçapların toplamını ve farkının mutlak değerini hesaplayalım:

• Yarıçapların toplamı: \( r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 \) metre.
• Yarıçapların farkının mutlak değeri: \( |r_1 - r_2| = |3 - 2| = 1 \) metre.

Karşılaştırmayı yapalım:

• \( d = 5 \) metre.
• \( r_1 + r_2 = 5 \) metre.

Burada \( d = r_1 + r_2 \) eşitliği söz konusudur. Bu, iki çemberin (havuzun) bir noktada dıştan teğet olarak kesiştiği anlamına gelir. Yani, havuzlar birbirine sadece bir noktadan dokunmaktadır. 🤝

Bu soruda aslında iki farklı yarıçapı olan çemberleri karşılaştırıyoruz.

• Büyük çemberin yarıçapı (tekerleğin yarıçapı): \( r_1 = 30 \) cm.
• İçteki dairesel çizginin yarıçapı: \( r_2 = 30 \text{ cm} - 10 \text{ cm} = 20 \) cm.
• Bu iki çemberin merkezleri aynı olduğu için aralarındaki uzaklık \( d = 0 \) cm'dir.

Şimdi koşulları kontrol edelim:

• Yarıçapların toplamı: \( r_1 + r_2 = 30 + 20 = 50 \) cm.
• Yarıçapların farkının mutlak değeri: \( |r_1 - r_2| = |30 - 20| = 10 \) cm.

Merkezleri arasındaki uzaklık \( d = 0 \) cm'dir. Bu durum, \( d < |r_1 - r_2| \) (yani \( 0 < 10 \)) koşulunu sağlar. Bu, bir çemberin diğerinin içinde olduğu ve kesişmedikleri anlamına gelir. 🚫 Ancak soruda "bu iki çizgi arasındaki uzaklık 20 cm olursa" denmiş. Bu ifade, çemberlerin kesişme durumuyla değil, başka bir durumla ilgilidir. Eğer soru, iki çemberin birbirini kesmesi için merkezler arasındaki uzaklığın ne olması gerektiğini soruyorsa, farklı bir analiz gerekir. Mevcut haliyle, aynı merkezli çemberler kesişmez. Eğer soru, yarıçapları 30 cm ve 20 cm olan iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklığın 20 cm olması durumunu soruyorsa, o zaman:

• \( r_1 = 30 \) cm, \( r_2 = 20 \) cm, \( d = 20 \) cm.
• \( r_1 + r_2 = 50 \) cm.
• \( |r_1 - r_2| = 10 \) cm.

Bu durumda \( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \) (yani \( 10 < 20 < 50 \)) eşitsizliği sağlanır. Bu da çemberlerin iki noktada kesişeceği anlamına gelir. 💡

Bu soruyu çözmek için analitik geometri ve çemberlerin kesişme kurallarını birleştireceğiz.
Öncelikle iki şehir arasındaki mesafeyi (bu mesafenin çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık olacağını unutmayın) bulalım. İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

• Şehir 1: \( (x_1, y_1) = (3, 5) \)
• Şehir 2: \( (x_2, y_2) = (7, 2) \)
• Kapsama alanı 1 yarıçapı: \( r_1 = 2 \) birim
• Kapsama alanı 2 yarıçapı: \( r_2 = 3 \) birim

İki şehir arasındaki mesafeyi hesaplayalım:
\( d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (2 - 5)^2} \)
\( d = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \)
\( d = \sqrt{16 + 9} \)
\( d = \sqrt{25} \)
\( d = 5 \) birim.
Şimdi çemberlerin kesişme koşullarını kontrol edelim:

• Yarıçapların toplamı: \( r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5 \) birim.
• Yarıçapların farkının mutlak değeri: \( |r_1 - r_2| = |2 - 3| = |-1| = 1 \) birim.

Karşılaştırma: \( d = 5 \) birim ve \( r_1 + r_2 = 5 \) birim.
Burada \( d = r_1 + r_2 \) eşitliği söz konusudur. Bu, iki kapsama alanının bir noktada dıştan teğet olarak kesiştiği anlamına gelir. 📍

Bu soruyu çözmek için verilen çemberlerin denklemlerini ve kesişme koşullarını kullanacağız.
Birinci çemberin denklemi (merkezi orijinde, yarıçapı \( r \)):
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
İkinci çemberin denklemi (merkezi \( (r, 0) \), yarıçapı \( r-2 \)):
\( (x - r)^2 + (y - 0)^2 = (r-2)^2 \)
\( (x - r)^2 + y^2 = (r-2)^2 \)
Şimdi bu iki denklemin kesişim noktalarını bulmak için birbirine eşitleyebiliriz. Ancak daha kolay bir yol, çemberlerin kesişme koşullarını kullanmaktır.

• Birinci çemberin yarıçapı: \( r_1 = r \)
• İkinci çemberin yarıçapı: \( r_2 = r - 2 \)
• Merkezleri arasındaki uzaklık: Birinci çemberin merkezi \( (0, 0) \), ikinci çemberin merkezi \( (r, 0) \). İki nokta arasındaki uzaklık formülünden: \( d = \sqrt{(r - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{r^2} = |r| \). Çap pozitif olacağı için \( d = r \) olur.

Şimdi kesişme koşullarını kontrol edelim:

• Yarıçapların toplamı: \( r_1 + r_2 = r + (r - 2) = 2r - 2 \)
• Yarıçapların farkının mutlak değeri: \( |r_1 - r_2| = |r - (r - 2)| = |r - r + 2| = |2| = 2 \)

Çemberlerin kesişmesi için \( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \) olmalıdır.
Yani, \( 2 < r < 2r - 2 \) olmalıdır.
Bu eşitsizliği iki parçaya ayıralım:
1. \( 2 < r \)
2. \( r < 2r - 2 \Rightarrow 2 < r \)
Her iki eşitsizlik de \( r > 2 \) sonucunu verir. Bu durumda çemberler iki noktada kesişir. Eğer \( d = r_1 + r_2 \) ise (yani \( r = 2r - 2 \Rightarrow r = 2 \)), çemberler bir noktada (dıştan teğet) kesişir. Eğer \( d = |r_1 - r_2| \) ise (yani \( r = 2 \)), çemberler bir noktada (içten teğet) kesişir. Bu durumda, \( r > 2 \) için çemberler iki noktada kesişir. 🌟

Bu soruda, iç içe geçmiş çemberlerin başlangıç çizgilerinin kesişimini inceliyoruz. Aslında bu, iki çemberin kesiştiği noktaları bulmakla aynıdır.

• İç çemberin yarıçapı: \( r_1 = 10 \) metre.
• Dış çemberin yarıçapı: \( r_2 = 15 \) metre.
• Her iki çemberin merkezi aynı noktadadır (pist merkezi). Bu nedenle merkezler arasındaki uzaklık \( d = 0 \) metredir.

Şimdi kesişme koşullarını kontrol edelim:

• Yarıçapların toplamı: \( r_1 + r_2 = 10 + 15 = 25 \) metre.
• Yarıçapların farkının mutlak değeri: \( |r_1 - r_2| = |10 - 15| = |-5| = 5 \) metre.

Merkezler arasındaki uzaklık \( d = 0 \) metredir. Bu durum, \( d < |r_1 - r_2| \) (yani \( 0 < 5 \)) koşulunu sağlar.
Bu, bir çemberin diğerinin içinde olduğu ve kesişmedikleri anlamına gelir. ❌ Soruda "başlangıç çizgileri, pistin merkezinden 5 metre uzaklıkta, aynı doğrultudadır" ifadesi kafa karıştırıcı olabilir. Eğer bu, çemberlerin kesişme durumuyla ilgili değil de, pistin başka bir özelliğini belirtiyorsa, o zaman çemberlerin kendisi kesişmez. Ancak, eğer "başlangıç çizgileri" ile kastedilen, her iki çember üzerinde de, merkezden 5 metre uzaklıkta olan noktalar ise ve bu noktaların kesişimi soruluyorsa, bu durum farklıdır. Fakat standart çember kesişme problemleri bağlamında, aynı merkezli çemberler kesişmez. Eğer soru, yarıçapları 10 metre ve 15 metre olan iki çemberin, merkezleri arasındaki uzaklığın 5 metre olduğu bir durumda kaç noktada kesişeceğini soruyorsa:

• \( r_1 = 10 \) m, \( r_2 = 15 \) m, \( d = 5 \) m.
• \( r_1 + r_2 = 25 \) m.
• \( |r_1 - r_2| = 5 \) m.

Bu durumda \( d = |r_1 - r_2| \) eşitliği söz konusudur. Bu, iki çemberin bir noktada içten teğet olarak kesiştiği anlamına gelir. Bu noktada başlangıç çizgileri kesişir. 🎯