Kesirlerin farklı gösterimlerinin karşılaştırılması Ders Notu

Kesirler, bir bütünün parçalarını göstermenin farklı yollarıdır. Bu derste, kesirlerin sayı doğrusunda gösterilmesi, ondalık gösterimlerle ilişkisi ve bu farklı gösterimlerin nasıl karşılaştırılacağı üzerinde duracağız.

Kesirlerin Farklı Gösterimleri

1. Sayı Doğrusunda Gösterme 📏

Kesirler, sayı doğrusu üzerinde belirli noktalara karşılık gelir. Bir kesri sayı doğrusunda göstermek için, önce kesrin tam kısmına karşılık gelen tam sayı bulunur. Ardından, kesrin paydası kadar eşit parçaya bölünmüş aralıkta, payı kadar ilerlenir.

• Örneğin, \( \frac{3}{4} \) kesrini sayı doğrusunda göstermek için, 0 ile 1 arasındaki aralığı 4 eşit parçaya böleriz. Bu parçalardan 3. olan nokta \( \frac{3}{4} \) kesrini gösterir.
• Bileşik kesirler (örneğin \( \frac{7}{3} \)) 1'den büyük sayılara karşılık gelir.

2. Ondalık Gösterimlerle İlişkisi 🔢

Kesirler, ondalık gösterimlere çevrilebilir. Bir kesri ondalık olarak göstermek için, payı paydaya böleriz.

• \( \frac{1}{2} \) kesrini ondalık olarak göstermek için 1'i 2'ye böleriz: \( 1 \div 2 = 0.5 \).
• \( \frac{3}{4} \) kesrini ondalık olarak göstermek için 3'ü 4'e böleriz: \( 3 \div 4 = 0.75 \).
• Kesirlerin paydasını 10, 100, 1000 gibi onun kuvvetleri olacak şekilde genişleterek de ondalık gösterime çevirebiliriz. Örneğin \( \frac{3}{5} \) kesrini \( \frac{6}{10} \) şeklinde yazarak 0.6 olarak gösterebiliriz.

Farklı Gösterimleri Karşılaştırma ⚖️

Kesirlerin farklı gösterimlerini karşılaştırırken dikkat etmemiz gereken bazı noktalar vardır:

1. Aynı Paydaya Sahip Kesirleri Karşılaştırma

Eğer iki kesrin paydaları eşitse, payı büyük olan kesir daha büyüktür.

• Örneğin, \( \frac{5}{8} \) ve \( \frac{7}{8} \) kesirlerini karşılaştıralım. Her ikisinin de paydası 8'dir. 7, 5'ten büyük olduğu için \( \frac{7}{8} > \frac{5}{8} \)'dir.

2. Aynı Payda Sahip Kesirleri Karşılaştırma

Eğer iki kesrin payları eşitse, paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

• Örneğin, \( \frac{3}{5} \) ve \( \frac{3}{7} \) kesirlerini karşılaştıralım. Her ikisinin de payı 3'tür. 5, 7'den küçük olduğu için \( \frac{3}{5} > \frac{3}{7} \)'dir.

3. Farklı Payda ve Paylara Sahip Kesirleri Karşılaştırma

Bu durumda kesirleri karşılaştırmanın birkaç yolu vardır:

• Ortak Payda Bulma: İki kesrin paydalarını eşitleyerek karşılaştırma yapabiliriz. Bunun için paydaların en küçük ortak katı (EKOK) bulunur ve kesirler bu paydaya genişletilir.
  • Örneğin, \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{3}{4} \) kesirlerini karşılaştıralım. 3 ve 4'ün EKOK'u 12'dir.
  • \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)
  • \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \)
  • Şimdi paydalar eşit olduğu için payları karşılaştırabiliriz: \( \frac{9}{12} > \frac{8}{12} \), yani \( \frac{3}{4} > \frac{2}{3} \)'tür.
• Ondalık Gösterimlere Çevirme: Her iki kesri de ondalık gösterime çevirerek karşılaştırma yapabiliriz.
  • \( \frac{2}{3} \approx 0.66 \)
  • \( \frac{3}{4} = 0.75 \)
  • 0.75, 0.66'dan büyük olduğu için \( \frac{3}{4} > \frac{2}{3} \)'tür.
• Sayı Doğrusunda Gösterme: Kesirleri sayı doğrusunda göstererek hangisinin daha sağda kaldığını gözlemleyebiliriz. Daha sağda kalan kesir daha büyüktür.

4. Kesirleri ve Tam Sayıları Karşılaştırma

Eğer kesir basit kesir ise (payı paydasından küçükse) ve tam sayı pozitif ise, kesir her zaman o tam sayıdan küçüktür. Örneğin, \( \frac{1}{2} < 1 \).

Eğer kesir bileşik kesir ise (payı paydasına eşit veya büyükse), tam sayı ile karşılaştırma yapmak için kesrin tam sayılı kesir olarak yazılması faydalı olabilir. Örneğin, \( \frac{7}{3} \) kesri \( 2 \frac{1}{3} \)'tür. Bu durumda \( 2 \frac{1}{3} > 2 \)'dir.