Kesirleri Farklı Şekilde Belirtme Ders Notu

Kesirler, bir bütünün eşit parçalara ayrılmasıyla oluşan parçaları ifade eder. Bir kesri farklı şekillerde belirterek, onu daha iyi anlayabilir ve çeşitli problemlerde kullanabiliriz. İşte kesirleri farklı şekillerde ifade etme yöntemleri:

Kesirleri Sayı Doğrusunda Gösterme 📍

Kesirleri sayı doğrusu üzerinde göstermek, onların hangi iki tam sayı arasında yer aldığını ve büyüklüklerini görsel olarak anlamamızı sağlar.

• Basit Kesirler: Payı paydasından küçük olan kesirlerdir. Sayı doğrusunda 0 ile 1 arasındadırlar.

Örnek: \( \frac{1}{2} \) kesrini sayı doğrusunda göstermek için 0 ile 1 arasını 2 eşit parçaya böleriz ve ilk çizgiyi işaretleriz.

• Bileşik Kesirler: Payı paydasından büyük veya payına eşit olan kesirlerdir. Sayı doğrusunda 1'den büyük veya 1'e eşittirler.

Örnek: \( \frac{7}{4} \) kesrini sayı doğrusunda göstermek için, bu kesrin \( 1 \) ile \( 2 \) arasında olduğunu anlarız (çünkü \( \frac{4}{4} = 1 \) ve \( \frac{8}{4} = 2 \)). 1 ile 2 arasını 4 eşit parçaya böler ve 1'den sonraki 3. çizgiyi işaretleriz.

• Tam Sayılı Kesirler: Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlerdir.

Örnek: \( 2\frac{1}{3} \) kesrini sayı doğrusunda göstermek için, 2 ile 3 arasını 3 eşit parçaya böleriz ve 2'den sonraki 1. çizgiyi işaretleriz.

Denk Kesirler ⚖️

Değeri aynı olan, ancak farklı sayılarla ifade edilen kesirlere denk kesirler denir. Denk kesirler elde etmek için kesirleri genişletebilir veya sadeleştirebiliriz.

Kesirleri Genişletme ➕

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayma sayısı ile çarparak, kesrin değerini değiştirmeden daha büyük sayılarla ifade etmeye kesir genişletme denir.

Kural: Bir kesri genişletmek için hem payını hem de paydasını aynı doğal sayı (0 hariç) ile çarparız.

\[ \frac{a}{b} = \frac{a \times c}{b \times c} \]

Burada \( c \) sıfırdan farklı bir doğal sayıdır.

• Örnek 1: \( \frac{1}{2} \) kesrini 3 ile genişletelim.
\[ \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \]

Yani \( \frac{1}{2} \) kesri ile \( \frac{3}{6} \) kesri denktir.

• Örnek 2: \( \frac{2}{5} \) kesrini 4 ile genişletelim.
\[ \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} \]

Yani \( \frac{2}{5} \) kesri ile \( \frac{8}{20} \) kesri denktir.

Kesirleri Sadeleştirme ➖

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayma sayısı ile bölerek, kesrin değerini değiştirmeden daha küçük sayılarla ifade etmeye kesir sadeleştirme denir.

Kural: Bir kesri sadeleştirmek için hem payını hem de paydasını aynı doğal sayı (1 hariç) ile böleriz. Bu sayı, hem payı hem de paydayı bölen ortak bir çarpan olmalıdır.

\[ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} \]

Burada \( c \) sıfırdan ve birden farklı bir doğal sayıdır ve hem \( a \)'yı hem de \( b \)'yi tam böler.

• Örnek 1: \( \frac{6}{9} \) kesrini 3 ile sadeleştirelim.
\[ \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} \]

Yani \( \frac{6}{9} \) kesri ile \( \frac{2}{3} \) kesri denktir.

• Örnek 2: \( \frac{10}{20} \) kesrini 5 ile sadeleştirelim.
\[ \frac{10 \div 5}{20 \div 5} = \frac{2}{4} \]

Bu kesri 2 ile bir daha sadeleştirebiliriz:

\[ \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2} \]

Yani \( \frac{10}{20} \) kesri \( \frac{2}{4} \) kesrine, o da \( \frac{1}{2} \) kesrine denktir.

Tam Sayılı Kesirleri Bileşik Kesre, Bileşik Kesirleri Tam Sayılı Kesre Çevirme 🔄

Kesirleri bazen tam sayılı kesir olarak, bazen de bileşik kesir olarak ifade etmemiz gerekebilir. Bu iki gösterim birbirine dönüştürülebilir.

Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme

Bir tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek için:

1. Tam sayı ile payda çarpılır.
2. Çıkan sonuca pay eklenir. Bu, yeni pay olur.
3. Payda aynı kalır.

Kural: \( A\frac{B}{C} \) tam sayılı kesri için,

\[ A\frac{B}{C} = \frac{(A \times C) + B}{C} \]

• Örnek: \( 3\frac{1}{4} \) tam sayılı kesrini bileşik kesre çevirelim.
\[ \frac{(3 \times 4) + 1}{4} = \frac{12 + 1}{4} = \frac{13}{4} \]

Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme

Bir bileşik kesri tam sayılı kesre çevirmek için:

1. Pay, paydaya bölünür.
2. Bölüm, tam sayı kısmını oluşturur.
3. Kalan, yeni pay olur.
4. Payda aynı kalır.

Kural: \( \frac{A}{B} \) bileşik kesri için \( A \div B \) işleminde bölüm \( Q \), kalan \( R \) ise,

\[ \frac{A}{B} = Q\frac{R}{B} \]

• Örnek: \( \frac{17}{5} \) bileşik kesrini tam sayılı kesre çevirelim.

\( 17 \div 5 = 3 \) (bölüm) ve kalan \( 2 \).

\[ \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} \]

Kesirleri Ondalık Gösterimle İfade Etme 🔟

Paydası 10, 100 veya 1000 olan kesirleri virgül kullanarak ifade etmeye ondalık gösterim denir. Ondalık gösterimde, tam sayı kısmı ile kesir kısmı arasına virgül konulur.

• Paydası 10 olan kesirler: Virgülden sonra bir basamak bulunur.

Örnek: \( \frac{3}{10} = 0.3 \)

Örnek: \( \frac{17}{10} = 1.7 \)

• Paydası 100 olan kesirler: Virgülden sonra iki basamak bulunur.

Örnek: \( \frac{25}{100} = 0.25 \)

Örnek: \( \frac{145}{100} = 1.45 \)

• Paydası 1000 olan kesirler: Virgülden sonra üç basamak bulunur.

Örnek: \( \frac{123}{1000} = 0.123 \)

Örnek: \( \frac{2005}{1000} = 2.005 \)

Paydası 10, 100 veya 1000 olmayan kesirleri ondalık gösterime çevirmek için, önce kesri genişleterek veya sadeleştirerek paydasını 10, 100 veya 1000 yaparız.

• Örnek 1: \( \frac{1}{2} \) kesrini ondalık gösterimle ifade edelim.

Paydayı 10 yapmak için 5 ile genişletiriz:

\[ \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = 0.5 \]
• Örnek 2: \( \frac{3}{4} \) kesrini ondalık gösterimle ifade edelim.

Paydayı 100 yapmak için 25 ile genişletiriz:

\[ \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75 \]
• Örnek 3: \( \frac{1}{8} \) kesrini ondalık gösterimle ifade edelim.

Paydayı 1000 yapmak için 125 ile genişletiriz:

\[ \frac{1 \times 125}{8 \times 125} = \frac{125}{1000} = 0.125 \]

Kesirleri Yüzde Olarak İfade Etme 💯

Paydası 100 olan kesirleri "yüzde" sembolü ( % ) kullanarak ifade etmeye yüzde gösterimi denir. Yüzde, bir bütünün 100 eşit parçasından kaç tanesinin alındığını belirtir.

Kural: Bir kesri yüzde olarak ifade etmek için, kesrin paydasını 100 yaparız. Pay, yüzde değerini gösterir.

\[ \frac{A}{100} = A% \]

• Örnek 1: \( \frac{40}{100} \) kesrini yüzde olarak ifade edelim.
\[ \frac{40}{100} = 40% \]
• Örnek 2: \( \frac{1}{2} \) kesrini yüzde olarak ifade edelim.

Paydayı 100 yapmak için 50 ile genişletiriz:

\[ \frac{1 \times 50}{2 \times 50} = \frac{50}{100} = 50% \]
• Örnek 3: \( \frac{3}{4} \) kesrini yüzde olarak ifade edelim.

Paydayı 100 yapmak için 25 ile genişletiriz:

\[ \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 75% \]
• Örnek 4: \( \frac{1}{10} \) kesrini yüzde olarak ifade edelim.

Paydayı 100 yapmak için 10 ile genişletiriz:

\[ \frac{1 \times 10}{10 \times 10} = \frac{10}{100} = 10% \]