Kesir Ders Notu

Kesirler, bir bütünün eşit parçalara ayrılmasıyla oluşan bir veya birden fazla parçayı ifade eden sayılardır. Günlük hayatımızda bir pastanın dilimlerini, bir elmanın parçalarını veya bir yolun ne kadarını gittiğimizi anlatırken kesirleri kullanırız.

Kesir Nedir? ✨

Kesirler, üç temel bölümden oluşur:

• Pay: Kesir çizgisinin üstünde yer alan sayıdır. Bütünün kaç parçasını aldığımızı veya ifade ettiğimizi gösterir.
• Payda: Kesir çizgisinin altında yer alan sayıdır. Bütünün kaç eşit parçaya ayrıldığını gösterir. Payda sıfır olamaz.
• Kesir Çizgisi: Pay ile paydayı ayıran çizgidir. Aynı zamanda bölme işlemini ifade eder.

Örnek: Bir pizzayı 8 eşit dilime ayırdığımızda ve bu dilimlerden 3 tanesini yediğimizde, yediğimiz miktarı \( \frac{3}{8} \) kesri ile ifade ederiz. Burada 3 pay, 8 ise paydadır.

Birim Kesirler 📌

Payı 1 olan kesirlere birim kesir denir. Birim kesir, bir bütünün eşit parçalarından sadece birini gösterir.

• Örnekler: \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{5} \), \( \frac{1}{10} \)

Bir kesri oluşturan birim kesirleri bulabiliriz. Örneğin, \( \frac{3}{4} \) kesri üç tane \( \frac{1}{4} \) birim kesrinin toplamından oluşur.

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Kesir Çeşitleri 📚

Kesirler, pay ve payda arasındaki ilişkiye göre üçe ayrılır:

1. Basit Kesirler

Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Basit kesirler, bir bütünden daha az bir miktarı ifade ederler ve sayı doğrusunda 0 ile 1 arasındadır.

• Örnekler: \( \frac{1}{3} \), \( \frac{2}{5} \), \( \frac{7}{10} \)

2. Bileşik Kesirler

Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan kesirlere bileşik kesir denir. Bileşik kesirler, bir bütüne eşit veya bir bütünden daha fazla bir miktarı ifade ederler.

• Örnekler: \( \frac{5}{5} \), \( \frac{7}{4} \), \( \frac{12}{5} \)

Bir bileşik kesri tam sayılı kesre çevirebiliriz. Örneğin, \( \frac{7}{4} \) kesri için 7'yi 4'e böldüğümüzde bölüm 1, kalan 3 olur. Bu durumda:

\[ \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4} \]

3. Tam Sayılı Kesirler

Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlere tam sayılı kesir denir. Tam sayılı kesirler, bir bütünden daha fazla bir miktarı ifade ederler.

• Örnekler: \( 1 \frac{1}{2} \), \( 2 \frac{3}{4} \), \( 5 \frac{1}{3} \)

Bir tam sayılı kesri bileşik kesre çevirebiliriz. Örneğin, \( 2 \frac{3}{4} \) kesri için:

1. Tam sayı (2) ile paydayı (4) çarparız: \( 2 \times 4 = 8 \)
2. Çıkan sonuca payı (3) ekleriz: \( 8 + 3 = 11 \)
3. Yeni payı (11) eski paydanın (4) üzerine yazarız: \( \frac{11}{4} \)

\[ 2 \frac{3}{4} = \frac{(2 \times 4) + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4} \]

Denk Kesirler (Genişletme ve Sadeleştirme) 💡

Değeri aynı olan kesirlere denk kesirler denir. Bir kesrin pay ve paydasını aynı sıfırdan farklı bir sayı ile çarptığımızda veya böldüğümüzde, kesrin değeri değişmez ve denk bir kesir elde ederiz.

1. Kesirleri Genişletme

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayma sayısı ile çarparak o kesre denk yeni kesirler elde etmeye genişletme denir.

Örnek: \( \frac{1}{2} \) kesrini 3 ile genişletelim. \[ \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \] Yani, \( \frac{1}{2} \) ile \( \frac{3}{6} \) denk kesirlerdir.

2. Kesirleri Sadeleştirme

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayma sayısı ile bölerek o kesre denk yeni kesirler elde etmeye sadeleştirme denir. Bir kesrin pay ve paydası 1'den başka ortak böleni kalmayana kadar sadeleştirme yapılmasına en sade hâli denir.

Örnek: \( \frac{6}{12} \) kesrini 2 ile sadeleştirelim. \[ \frac{6 \div 2}{12 \div 2} = \frac{3}{6} \] \( \frac{3}{6} \) kesrini 3 ile tekrar sadeleştirebiliriz. \[ \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2} \] Yani, \( \frac{6}{12} \), \( \frac{3}{6} \) ve \( \frac{1}{2} \) denk kesirlerdir. \( \frac{1}{2} \) kesri, \( \frac{6}{12} \) kesrinin en sade hâlidir.

Kesirleri Karşılaştırma ve Sıralama 📊

Kesirleri karşılaştırırken veya sıralarken bazı kuralları kullanırız:

1. Paydaları Eşit Kesirleri Karşılaştırma

Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan kesir daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{3}{5} \) ve \( \frac{2}{5} \) kesirlerini karşılaştıralım. Paydalar aynı (5). Paylara baktığımızda 3 > 2 olduğu için, \[ \frac{3}{5} > \frac{2}{5} \]

2. Payları Eşit Kesirleri Karşılaştırma

Payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{1}{4} \) ve \( \frac{1}{7} \) kesirlerini karşılaştıralım. Paylar aynı (1). Paydalara baktığımızda 4 < 7 olduğu için, \[ \frac{1}{4} > \frac{1}{7} \] Çünkü bir bütün 4 parçaya ayrıldığında her bir parça, 7 parçaya ayrıldığındaki her bir parçadan daha büyüktür.

3. Pay ve Paydaları Farklı Kesirleri Karşılaştırma

Pay ve paydaları farklı olan kesirleri karşılaştırmak için öncelikle paydalarını eşitlememiz gerekir. Paydaları eşitledikten sonra paydaları eşit kesirleri karşılaştırma kuralını uygularız.

Örnek: \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{3}{4} \) kesirlerini karşılaştıralım. 3 ve 4'ün ortak katı 12'dir. \( \frac{2}{3} \) kesrini 4 ile genişletelim: \( \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \) \( \frac{3}{4} \) kesrini 3 ile genişletelim: \( \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \) Şimdi \( \frac{8}{12} \) ve \( \frac{9}{12} \) kesirlerini karşılaştırabiliriz. 9 > 8 olduğu için, \[ \frac{9}{12} > \frac{8}{12} \] Yani, \( \frac{3}{4} > \frac{2}{3} \).

Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri ➕➖

Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması şarttır.

1. Paydaları Eşit Kesirleri Toplama

Paydaları eşit olan kesirleri toplarken, paylar toplanır ve ortak payda aynen yazılır.

Örnek: \( \frac{2}{7} + \frac{3}{7} \) işlemini yapalım. \[ \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7} \]

Tam sayılı kesirlerde toplama yaparken, önce tam kısımlar, sonra kesir kısımları toplanabilir veya kesirler bileşik kesre çevrilerek işlem yapılabilir.

Örnek: \( 1 \frac{1}{4} + 2 \frac{2}{4} \) işlemini yapalım. Tam kısımlar: \( 1 + 2 = 3 \) Kesir kısımları: \( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \) Sonuç: \( 3 \frac{3}{4} \)

2. Paydaları Eşit Kesirleri Çıkarma

Paydaları eşit olan kesirleri çıkarırken, paylar çıkarılır ve ortak payda aynen yazılır.

Örnek: \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} \) işlemini yapalım. \[ \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5 - 2}{9} = \frac{3}{9} \] Bu kesri en sade hâline getirebiliriz: \( \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3} \)

Tam sayılı kesirlerde çıkarma yaparken, önce tam kısımlar, sonra kesir kısımları çıkarılabilir veya kesirler bileşik kesre çevrilerek işlem yapılabilir. Tam kısımdan sonra kesir kısmı yetersiz kalırsa, tam kısımdan 1 alınarak kesir kısmına eklenebilir.

Örnek: \( 3 \frac{3}{5} - 1 \frac{1}{5} \) işlemini yapalım. Tam kısımlar: \( 3 - 1 = 2 \) Kesir kısımları: \( \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \) Sonuç: \( 2 \frac{2}{5} \)

Bir Çokluğun Kesir Kadarını Bulma 🔢

Bir bütünün veya çokluğun belirli bir kesir kadarını bulmak için, çokluğu paydaya böler, çıkan sonucu pay ile çarparız.

Örnek: 20 kalemin \( \frac{2}{5} \)'sini bulalım.

1. Önce bütünü paydaya böleriz: \( 20 \div 5 = 4 \) (Her bir birim kesir kadarını bulduk)
2. Sonucu pay ile çarparız: \( 4 \times 2 = 8 \)

Yani, 20 kalemin \( \frac{2}{5} \)'si 8 kalemdir.