💡 5. Sınıf Matematik: Kesir Sayılar Çözümlü Örnekler

Kesirleri türlerine göre sınıflandıralım:

• 👉 Basit Kesir: Payı paydasından küçük olan kesirlerdir.
• 👉 Bileşik Kesir: Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan kesirlerdir.
• 👉 Tam Sayılı Kesir: Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlerdir.

Şimdi örneklerimize bakalım:

• a) \( \frac{3}{5} \) 👉 Pay (3), payda (5)'ten küçüktür. Bu bir Basit Kesir'dir. ✅
• b) \( \frac{7}{4} \) 👉 Pay (7), payda (4)'ten büyüktür. Bu bir Bileşik Kesir'dir. ✅
• c) \( 2\frac{1}{3} \) 👉 Bir tam sayı (2) ve bir basit kesir (\( \frac{1}{3} \)) içerir. Bu bir Tam Sayılı Kesir'dir. ✅
• d) \( \frac{9}{9} \) 👉 Pay (9), payda (9)'a eşittir. Bu da bir Bileşik Kesir'dir. (Unutmayın: Payı paydasına eşit olanlar da bileşik kesirdir!) ✅

Bir kesri sayı doğrusunda göstermek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:

• 1. Kesir türünü belirle: \( \frac{3}{4} \) bir basit kesirdir. Bu, kesrin 0 ile 1 arasında bir yerde olduğunu gösterir.
• 2. Tam aralığı belirle: 0 ile 1 arasını baz alacağız.
• 3. Payda kadar parçaya böl: Payda 4 olduğu için, 0 ile 1 arasını 4 eşit parçaya böleriz.
• 4. Pay kadar ilerle: Pay 3 olduğu için, 0'dan başlayarak 3. çizginin olduğu yeri işaretleriz.

İşte gösterimi:

\[ 0 \text{-----} \frac{1}{4} \text{-----} \frac{2}{4} \text{-----} \mathbf{\frac{3}{4}} \text{-----} 1 \]

Yukarıdaki sayı doğrusunda, 0 ile 1 arası 4 eşit parçaya bölünmüş ve 3. parça işaretlenmiştir. İşte \( \frac{3}{4} \) kesri! ✅

Bir çokluğun kesir kadarını bulmak için iki adım izleriz:

• 1. Paydaya böl: Önce toplam sayıyı payda ile böleriz. Bu bize birim kesir (\( \frac{1}{5} \)) kadarının kaç olduğunu verir.
• 2. Pay ile çarp: Sonra bulduğumuz sonucu pay ile çarparız.

Şimdi problemi çözelim:

• Adım 1: Toplam öğrenci sayısını (30) payda (5) ile bölelim:

  \[ 30 \div 5 = 6 \]

  Bu, öğrencilerin \( \frac{1}{5} \) 'inin 6 kişi olduğu anlamına gelir. Yani her 5 öğrenciden biri 6 kişiye denk geliyor. 💡

• Adım 2: Bulduğumuz sonucu (6) pay (2) ile çarpalım:

  \[ 6 \times 2 = 12 \]

  Demek ki sınıfta 12 tane gözlüklü öğrenci vardır. ✅

Denk kesirler, farklı yazılışlara sahip olsalar da aynı değeri ifade eden kesirlerdir. Denk kesir oluşturmak için kesrin payını ve paydasını aynı sayıyla çarparız (genişletme) veya aynı sayıya böleriz (sadeleştirme).

Bu soruda kesri genişletmemiz gerekiyor:

• Adım 1: Verilen kesrin paydası 3, istenen kesrin paydası ise 12'dir. 3'ü hangi sayıyla çarparsak 12 elde ederiz?

  \[ 3 \times x = 12 \implies x = 4 \]

  Demek ki kesri 4 ile genişletmeliyiz. 👉

• Adım 2: Kesrin hem payını hem de paydasını 4 ile çarpalım:

  \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \]

  Yani, \( \frac{2}{3} \) kesrine denk olan ve paydası 12 olan kesir \( \frac{8}{12} \)'dir. ✅

Bir kesrin en sade halini bulmak için, kesrin payını ve paydasını ikisini de bölen en büyük ortak sayıya (EBOB) böleriz. Buna sadeleştirme denir.

Şimdi \( \frac{15}{20} \) kesrini sadeleştirelim:

• Adım 1: Pay (15) ve payda (20) için ortak bölenleri düşünelim. Her iki sayı da 5 ile bölünebilir.

• Adım 2: Hem payı hem de paydayı 5'e bölelim:

  \[ \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} \]

  Şimdi elde ettiğimiz \( \frac{3}{4} \) kesrinin payı (3) ve paydası (4) arasında 1'den başka ortak bölen var mı? Yok. Bu durumda kesir en sade halindedir. 💡

\( \frac{15}{20} \) kesrinin en sade hali \( \frac{3}{4} \)'tür. ✅

Kesirleri sıralarken öncelikle paydalarına bakarız:

• 👉 Eğer paydalar eşitse, payı büyük olan kesir daha büyüktür.
• 👉 Eğer paylar eşitse, paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

Bu soruda tüm kesirlerin paydaları 9'dur, yani paydalar eşittir. Bu durumda paylara bakarak sıralama yaparız. Payı en küçük olan kesir en küçük, payı en büyük olan kesir en büyük olacaktır.

Verilen kesirlerin payları: 4, 1, 7, 2.

Bu payları küçükten büyüğe sıralarsak: 1, 2, 4, 7 olur.

O zaman kesirlerin sıralaması şu şekilde olacaktır: \[ \frac{1}{9} < \frac{2}{9} < \frac{4}{9} < \frac{7}{9} \]

Kesirlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı: \( \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{7}{9} \)'dir. ✅

Bu bir kesirlerle toplama işlemidir. İki kesri toplarken aşağıdaki adımları izleriz:

• 1. Paydaların eşit olup olmadığını kontrol et: Eğer paydalar eşitse, toplama işlemine devam edebiliriz.
• 2. Payları topla: Paydaları aynı kalacak şekilde sadece payları toplarız.

Şimdi Ahmet'in yediği pizza miktarını hesaplayalım:

• Adım 1: Ahmet'in öğle yemeğinde yediği miktar \( \frac{2}{6} \), akşam yemeğinde yediği miktar ise \( \frac{3}{6} \).

  Her iki kesrin de paydası 6'dır. Paydalar eşit olduğu için toplama yapabiliriz. 💡

• Adım 2: Payları toplayalım:

  \[ \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \]

  Ahmet pizzanın toplamda \( \frac{5}{6} \)'sını yemiştir. ✅

Bu problemde önce satılan elma miktarını bulup, ardından toplam elma miktarından çıkararak kalan miktarı bulacağız.

• Adım 1: Satılan elma miktarını bulalım.
  Toplam 60 kg elmanın \( \frac{3}{4} \) 'ü satılmış. Bir çokluğun kesir kadarını bulmak için çokluğu paydaya böler, sonra pay ile çarparız.

  • 60 kg'ı 4'e bölelim (payda):

    \[ 60 \div 4 = 15 \]

    Bu, elmaların \( \frac{1}{4} \) 'ünün 15 kg olduğu anlamına gelir. 👉

  • Şimdi 15 kg'ı 3 ile çarpalım (pay):

    \[ 15 \times 3 = 45 \]

    Demek ki manavda 45 kilogram elma satılmıştır. 💡

• Adım 2: Geriye kalan elma miktarını bulalım.
  Toplam elma miktarından satılan elma miktarını çıkarırız.

  \[ 60 - 45 = 15 \]

  Manavda geriye 15 kilogram elma kalmıştır. ✅