Kesir Sayılar Ders Notu

Kesirler, bir bütünün eş parçalarından kaç tanesini aldığımızı veya kaç tanesine sahip olduğumuzu gösteren sayılardır. Günlük hayatımızda bir pastayı, pizzayı veya bir ekmeği paylaştırırken kesirleri kullanırız. Örneğin, bir elmayı iki eş parçaya ayırdığımızda her bir parçayı "yarım" olarak adlandırırız.

Kesrin Bölümleri Nelerdir?

Bir kesir üç temel bölümden oluşur:

• Pay: Kesir çizgisinin üstünde yer alır ve bütünün kaç eş parçasının alındığını gösterir.
• Payda: Kesir çizgisinin altında yer alır ve bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösterir.
• Kesir Çizgisi: Pay ile paydayı ayıran çizgidir. Bölme işlemini de ifade eder.

Örnek: \( \frac{3}{4} \) kesrinde, 3 pay, 4 payda ve aradaki çizgi kesir çizgisidir.

Birim Kesirler 🥇

Payı 1 olan kesirlere birim kesir denir. Birim kesir, bir bütünün eş parçalarından sadece bir tanesini ifade eder.

• Örnekler: \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8} \)

Birim kesirler sayı doğrusunda da gösterilebilir. Örneğin, \( \frac{1}{4} \) kesri 0 ile 1 arası 4 eş parçaya bölündüğünde, ilk çizgiye karşılık gelir.

\[ \frac{1}{4} \]

Kesir Çeşitleri 🧩

Kesirler üç farklı çeşide ayrılır:

1. Basit Kesirler

Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Basit kesirler, 0 ile 1 arasındadır.

• Örnekler: \( \frac{2}{3}, \frac{5}{7}, \frac{1}{4}, \frac{9}{10} \)

2. Bileşik Kesirler

Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan kesirlere bileşik kesir denir. Bileşik kesirler 1'e eşit veya 1'den büyüktür.

• Örnekler: \( \frac{5}{3}, \frac{7}{7}, \frac{9}{2}, \frac{12}{5} \)

3. Tam Sayılı Kesirler

Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlere tam sayılı kesir denir. Tam sayılı kesirler de 1'den büyüktür.

• Örnekler: \( 1\frac{1}{2}, 3\frac{2}{5}, 2\frac{3}{4} \)

Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme

Bir bileşik kesri tam sayılı kesre çevirmek için payı paydaya böleriz. Bölüm tam kısım, kalan pay ve payda aynı kalır.

Örnek: \( \frac{7}{3} \) kesrini tam sayılı kesre çevirelim.
7'yi 3'e böldüğümüzde bölüm 2, kalan 1 olur.
\[ \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \]

Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme

Bir tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek için tam kısım ile paydayı çarparız, çıkan sonuca payı ekleriz. Bu toplam yeni pay olur, payda ise aynı kalır.

Örnek: \( 2\frac{1}{4} \) kesrini bileşik kesre çevirelim.
\( (2 \times 4) + 1 = 8 + 1 = 9 \) yeni pay olur. Payda 4 aynı kalır.
\[ 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \]

Denk Kesirler (Eş Değer Kesirler) 🥳

Aynı miktarı gösteren kesirlere denk kesirler denir. Denk kesirleri elde etmek için bir kesri genişletebilir veya sadeleştirebiliriz.

Kesir Genişletme

Bir kesrin payını ve paydasını aynı doğal sayı ile çarpmaya kesir genişletme denir. Kesrin değeri değişmez.

Örnek: \( \frac{1}{2} \) kesrini 3 ile genişletelim.
\[ \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \] Yani \( \frac{1}{2} \) ile \( \frac{3}{6} \) denk kesirlerdir.

Kesir Sadeleştirme

Bir kesrin payını ve paydasını aynı doğal sayıya bölmeye kesir sadeleştirme denir. Kesrin değeri değişmez.

Örnek: \( \frac{6}{8} \) kesrini 2 ile sadeleştirelim.
\[ \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} \] Yani \( \frac{6}{8} \) ile \( \frac{3}{4} \) denk kesirlerdir.

Kesirleri Karşılaştırma ve Sıralama ↔️

Kesirleri karşılaştırırken veya sıralarken farklı durumlar vardır:

1. Paydaları Eşit Kesirleri Karşılaştırma

Paydaları eşit kesirlerden payı büyük olan daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{3}{5} \) ile \( \frac{2}{5} \) kesirlerini karşılaştıralım.
Paydalar eşit (5). Paylara baktığımızda 3 > 2 olduğu için:
\[ \frac{3}{5} > \frac{2}{5} \]

2. Payları Eşit Kesirleri Karşılaştırma

Payları eşit kesirlerden paydası küçük olan daha büyüktür (çünkü bütün daha az parçaya bölünmüştür, dolayısıyla her parça daha büyüktür).

Örnek: \( \frac{1}{3} \) ile \( \frac{1}{5} \) kesirlerini karşılaştıralım.
Paylar eşit (1). Paydalara baktığımızda 3 < 5 olduğu için:
\[ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} \]

3. Pay ve Paydaları Farklı Kesirleri Karşılaştırma

Bu durumda kesirleri genişleterek veya sadeleştirerek paydalarını eşitlememiz gerekir. Paydalar eşitlendikten sonra paydaları eşit kesirler gibi karşılaştırılır.

Örnek: \( \frac{1}{2} \) ile \( \frac{3}{4} \) kesirlerini karşılaştıralım.
\( \frac{1}{2} \) kesrini 2 ile genişleterek paydasını 4 yapalım: \[ \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} \] Şimdi \( \frac{2}{4} \) ile \( \frac{3}{4} \) kesirlerini karşılaştırabiliriz. Paydalar eşit ve 3 > 2 olduğu için: \[ \frac{3}{4} > \frac{2}{4} \implies \frac{3}{4} > \frac{1}{2} \]

Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri ➕➖

1. Paydaları Eşit Kesirlerle Toplama ve Çıkarma

Paydaları eşit kesirleri toplarken veya çıkarırken, paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.

Örnek 1: Toplama işlemi \[ \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7} \] Örnek 2: Çıkarma işlemi \[ \frac{5}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5-1}{9} = \frac{4}{9} \]

2. Paydaları Farklı Kesirlerle Toplama ve Çıkarma

Paydaları farklı kesirleri toplarken veya çıkarırken, öncelikle kesirleri genişleterek veya sadeleştirerek paydalarını eşitlememiz gerekir. Paydalar eşitlendikten sonra paydaları eşit kesirler gibi işlem yaparız.

Örnek 1: Toplama işlemi
\( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \) kesirlerini toplayalım.
Önce \( \frac{1}{3} \) kesrini 2 ile genişleterek paydasını 6 yapalım: \[ \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \] Şimdi toplama işlemini yapabiliriz: \[ \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} \] Bu kesir sadeleştirilebilir: \[ \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2} \] Örnek 2: Çıkarma işlemi
\( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \) kesirlerini çıkaralım.
Önce \( \frac{1}{2} \) kesrini 2 ile genişleterek paydasını 4 yapalım: \[ \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} \] Şimdi çıkarma işlemini yapabiliriz: \[ \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3-2}{4} = \frac{1}{4} \]

Bir Doğal Sayı ile Bir Kesri Çarpma \times

Bir doğal sayı ile bir kesri çarpmak için doğal sayı ile kesrin payı çarpılır, payda aynen yazılır.

Örnek 1: \( 3 \times \frac{2}{5} \) işlemini yapalım.
\[ 3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5} \] Örnek 2: Bir pastanın \( \frac{1}{4} \)'ünü yediğimizde, 2 pastanın \( \frac{1}{4} \)'ü ne kadar eder?
\[ 2 \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{4} = \frac{2}{4} \] Bu kesir sadeleştirilebilir: \[ \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2} \] Yani 2 pastanın \( \frac{1}{4} \)'ü \( \frac{1}{2} \) pasta eder.