📝 5. Sınıf Matematik: Kesir, Ondalık Gösterim Ve Karşılaştırma Ders Notu
Kesirler, bir bütünün eşit parçalara ayrıldığını ve bu parçalardan kaç tanesinin alındığını gösteren matematiksel ifadelerdir. Ondalık gösterimler ise kesirlerin farklı bir yazılış biçimi olup, özellikle paydası 10, 100, 1000 gibi sayıların katı olan kesirleri ifade etmek için kullanılır. Bu konuda kesirlerin çeşitlerini, sayı doğrusunda gösterimini, ondalık gösterimlere çevrilmesini ve her ikisinin karşılaştırılmasını öğreneceğiz.
Kesirler ve Çeşitleri 🍕
Bir bütünün eş parçalara ayrılmasıyla oluşan bir veya birkaç parçayı gösteren ifadelere kesir denir. Kesirler bir kesir çizgisi ile ayrılan pay ve paydadan oluşur.
- Pay: Kesir çizgisinin üstündeki sayıdır. Bütünün kaç parçasının alındığını gösterir.
- Payda: Kesir çizgisinin altındaki sayıdır. Bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösterir.
- Kesir Çizgisi: Payı paydadan ayıran çizgidir. Bölme işlemi anlamına da gelir.
Örnek: \( \frac{3}{4} \) kesrinde 3 pay, 4 payda ve aradaki çizgi kesir çizgisidir.
Kesir Çeşitleri 🤔
Kesirler, pay ve paydanın büyüklüğüne göre farklı türlere ayrılır:
- Birim Kesir: Payı 1 olan kesirlere birim kesir denir. Bir bütünün eş parçalarından bir tanesini ifade eder.
Örnekler: \( \frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{10} \) - Basit Kesir: Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Bu kesirlerin değeri 1'den küçüktür.
Örnekler: \( \frac{2}{3}, \frac{4}{7}, \frac{9}{10} \) - Bileşik Kesir: Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan kesirlere bileşik kesir denir. Bu kesirlerin değeri 1'e eşit veya 1'den büyüktür.
Örnekler: \( \frac{5}{5}, \frac{7}{4}, \frac{12}{5} \) - Tam Sayılı Kesir: Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlere tam sayılı kesir denir.
Örnekler: \( 1\frac{1}{2}, 3\frac{2}{5}, 5\frac{1}{4} \)
Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme 🔄
Bir bileşik kesri tam sayılı kesre çevirmek için payı paydaya böleriz. Bölüm tam kısım, kalan pay, payda ise aynı kalır.
Örnek: \( \frac{7}{3} \) kesrini tam sayılı kesre çevirelim.
7'yi 3'e böldüğümüzde bölüm 2, kalan 1 olur.
Bu durumda \( \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \) şeklinde yazılır.
Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme 🔄
Bir tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek için tam kısım ile paydayı çarpar, çıkan sonuca payı ekleriz. Bu toplam yeni pay olur, payda ise aynı kalır.
Örnek: \( 3\frac{2}{5} \) kesrini bileşik kesre çevirelim.
Tam kısım (3) ile payda (5) çarpılır: \( 3 \times 5 = 15 \).
Çıkan sonuca pay (2) eklenir: \( 15 + 2 = 17 \).
Bu durumda \( 3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} \) şeklinde yazılır.
Kesirleri Sayı Doğrusunda Gösterme 📏
Kesirleri sayı doğrusunda göstermek için önce tam sayıların yerini belirleriz. Ardından, kesrin paydası kadar iki tam sayı arasını eş parçalara böleriz ve pay kadar ilerleriz.
- Basit Kesirler: 0 ile 1 arasındadır.
Örnek: \( \frac{3}{4} \) kesrini sayı doğrusunda gösterirken, 0 ile 1 arasını 4 eş parçaya böleriz ve 0'dan başlayarak 3. noktayı işaretleriz. - Bileşik ve Tam Sayılı Kesirler: 1 veya 1'den büyük sayılar arasında yer alır.
Örnek: \( 1\frac{2}{3} \) kesrini sayı doğrusunda gösterirken, 1 ile 2 arasını 3 eş parçaya böleriz ve 1'den başlayarak 2. noktayı işaretleriz.
Kesirleri Karşılaştırma ve Sıralama ⚖️
Kesirleri karşılaştırırken veya sıralarken bazı kuralları takip ederiz:
- Paydaları Eşit Kesirler: Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan daha büyüktür.
Örnek: \( \frac{5}{8} > \frac{3}{8} \) çünkü \( 5 > 3 \). - Payları Eşit Kesirler: Payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan daha büyüktür. (Çünkü bütün daha az parçaya bölünmüştür.)
Örnek: \( \frac{3}{4} > \frac{3}{7} \) çünkü \( 4 < 7 \). - Paydaları Eşit Olmayan Kesirler: Paydaları eşit olmayan kesirleri karşılaştırmak için önce paydaları eşitlememiz gerekir. Paydalar, kesirlerin ortak bir katına genişletilerek veya sadeleştirilerek eşitlenir.
Örnek: \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{3}{4} \) kesirlerini karşılaştıralım.
3 ve 4'ün ortak katı 12'dir.
\( \frac{2}{3} \) kesrini 4 ile genişletiriz: \( \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)
\( \frac{3}{4} \) kesrini 3 ile genişletiriz: \( \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \)
Şimdi paydaları eşit olduğu için payları karşılaştırırız: \( \frac{9}{12} > \frac{8}{12} \).
O halde \( \frac{3}{4} > \frac{2}{3} \).
Ondalık Gösterimler 🔢
Paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvveti olan kesirleri virgül kullanarak ifade etmeye ondalık gösterim denir. Ondalık gösterimler bir tam kısım ve bir ondalık kısımdan oluşur. Bu iki kısım virgül ile ayrılır.
Örnek: \( \frac{3}{10} \) kesri \( 0,3 \) şeklinde gösterilir. Burada 0 tam kısım, 3 ise ondalık kısımdır.
Ondalık Gösterimdeki Basamak Değerleri 📍
Ondalık gösterimlerde virgülün solundaki kısım tam sayılar gibidir (birler, onlar, yüzler...). Virgülün sağındaki kısım ise ondalık kısımdır ve basamak adları değişir:
- Virgülden sonraki ilk basamak: onda birler basamağı
- Virgülden sonraki ikinci basamak: yüzde birler basamağı
- Virgülden sonraki üçüncü basamak: binde birler basamağı
Örnek: \( 12,345 \) ondalık gösterimini inceleyelim:
| Basamak Adı | Rakam | Basamak Değeri |
|---|---|---|
| Onlar Basamağı | 1 | \( 1 \times 10 = 10 \) |
| Birler Basamağı | 2 | \( 2 \times 1 = 2 \) |
| Onda Birler Basamağı | 3 | \( 3 \times 0,1 = 0,3 \) |
| Yüzde Birler Basamağı | 4 | \( 4 \times 0,01 = 0,04 \) |
| Binde Birler Basamağı | 5 | \( 5 \times 0,001 = 0,005 \) |
Ondalık Gösterimleri Okuma ve Yazma 🗣️✍️
Ondalık gösterimleri okurken önce tam kısım okunur, sonra "tam" kelimesi kullanılır ve ardından ondalık kısım ile son basamağın adı söylenir.
- \( 0,3 \): Sıfır tam onda üç
- \( 1,25 \): Bir tam yüzde yirmi beş
- \( 15,007 \): On beş tam binde yedi
Kesirleri Ondalık Gösterime Çevirme ➡️
Paydası 10, 100 veya 1000 olan kesirleri ondalık gösterime çevirmek kolaydır.
- Paydada kaç sıfır varsa, ondalık kısımda o kadar basamak olur.
- Tam sayılı kesirlerde tam kısım virgülün soluna, basit kesirlerde 0 virgülün soluna yazılır.
Örnekler:
\( \frac{7}{10} = 0,7 \) (Sıfır tam onda yedi)
\( \frac{45}{100} = 0,45 \) (Sıfır tam yüzde kırk beş)
\( \frac{123}{1000} = 0,123 \) (Sıfır tam binde yüz yirmi üç)
\( 2\frac{3}{10} = 2,3 \) (İki tam onda üç)
\( 5\frac{17}{100} = 5,17 \) (Beş tam yüzde on yedi)
Paydası 10, 100 veya 1000 olmayan kesirleri ondalık gösterime çevirmek için, kesri genişleterek veya sadeleştirerek paydasını 10, 100 veya 1000 yaparız.
Örnekler:
\( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = 0,5 \)
\( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75 \)
\( \frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0,2 \)
\( \frac{12}{25} = \frac{12 \times 4}{25 \times 4} = \frac{48}{100} = 0,48 \)
\( \frac{2}{50} = \frac{2 \times 2}{50 \times 2} = \frac{4}{100} = 0,04 \)
Ondalık Gösterimleri Karşılaştırma ve Sıralama 📊
Ondalık gösterimleri karşılaştırırken veya sıralarken şu adımları izleriz:
- Önce tam kısımlar karşılaştırılır. Tam kısmı büyük olan ondalık gösterim daha büyüktür.
Örnek: \( 5,23 > 3,89 \) çünkü \( 5 > 3 \). - Tam kısımlar eşitse, virgülden sonraki ilk basamak (onda birler basamağı) karşılaştırılır. Onda birler basamağı büyük olan daha büyüktür.
Örnek: \( 4,71 > 4,56 \) çünkü tam kısımlar eşit (4), onda birler basamağı \( 7 > 5 \). - Onda birler basamağı da eşitse, virgülden sonraki ikinci basamak (yüzde birler basamağı) karşılaştırılır.
Örnek: \( 2,38 > 2,35 \) çünkü tam kısımlar eşit (2), onda birler basamağı eşit (3), yüzde birler basamağı \( 8 > 5 \). - Eğer ondalık basamak sayıları farklıysa, basamak sayılarını eşitlemek için ondalık kısmın sonuna sıfır ekleyebiliriz. Sıfır eklemek ondalık gösterimin değerini değiştirmez.
Örnek: \( 0,5 \) ve \( 0,45 \) sayılarını karşılaştıralım.
\( 0,5 = 0,50 \) olarak yazılabilir.
Şimdi \( 0,50 \) ve \( 0,45 \) sayılarını karşılaştırırız. Tam kısımlar eşit (0). Onda birler basamağı \( 5 > 4 \).
O halde \( 0,5 > 0,45 \).