💡 5. Sınıf Matematik: Eşitliği koruma Çözümlü Örnekler

Bu denklemde, muzların ağırlığını elmalar cinsinden bulmamız gerekiyor. Ancak soruda bize elma ve muzun ağırlığı hakkında bilgi verilmemiş. Bu tür sorularda, genellikle her bir nesnenin eşit ağırlıkta olduğu varsayılır. Eğer her elma ve muzun ağırlığı eşit olsaydı, denklem şöyle olurdu:

• 17 elma = 3 elma + 2 elma (Eğer muzlar 2 elma ağırlığındaysa)
• 17 elma - 3 elma = 2 elma
• 14 elma = 2 elma
• Bu durumda 1 elma = 7 elma olur ki bu mantıklı değil.

Soruda bir eksiklik var gibi görünüyor. Eğer soruda "2 muzun ağırlığı 1 elmanın ağırlığına eşittir" gibi bir bilgi olsaydı, çözümü daha net olurdu.

Varsayım: Eğer soruda kastedilen, her bir nesnenin aynı ağırlıkta olması ve bizden sadece nesne sayısını dengelememiz ise, o zaman şöyle düşünmeliyiz:

• Bir kefede 3 elma var.
• Diğer kefede 17 elma var.
• Terazinin dengede olması için, iki kefedeki toplam nesne sayısının eşit olması gerekir.
• 17 elma - 3 elma = 14 elma.
• Yani, diğer kefeden 14 elma alınmalıdır.

Ancak soruda "2 muz" da var. Bu, muzların da hesaba katılması gerektiğini gösteriyor. Eğer sorunun asıl amacı, eşitliğin korunması prensibini göstermekse ve muzların ağırlığı önemsizse (ki bu matematiksel olarak doğru bir yaklaşım değil), o zaman cevap 14 olurdu.

En doğru yorumlama şudur: Soruda muzların ağırlığı hakkında bilgi verilmediği için, bu soruyu tam olarak çözemeyiz. Ancak "eşitliği koruma" ilkesini anlamak için, eğer muzların ağırlığı da elmalarla orantılı olsaydı, şöyle bir yol izlenirdi:

• Denklem: \(3e + 2m = 17e\)
• Eşitliğin her iki tarafından \(3e\) çıkaralım: \(2m = 17e - 3e\)
• \(2m = 14e\)
• Bu şu anlama gelir: 2 muzun ağırlığı, 14 elmanın ağırlığına eşittir.
• Yani, 1 muzun ağırlığı, 7 elmanın ağırlığına eşittir.

Sorunun orijinal metninde eksiklik olduğu için kesin bir cevap verilemiyor. Eğer soruda "2 muzun ağırlığı 1 elma ağırlığına eşittir" denseydi, çözüm şöyle olurdu:

• \(3e + 1e = 17e\)
• \(4e = 17e\)
• Bu da mantıksız.

Sonuç: Sorunun eksik bilgisi nedeniyle kesin bir cevap vermek mümkün değil. Ancak temel prensip, bir tarafa yapılan ekleme veya çıkarma işleminin, dengeyi sağlamak için diğer tarafa da aynı şekilde uygulanması gerektiğidir.

• Domates miktarı: 5 kg
• Salatalık miktarı: 3 kg
• Toplam ödenen tutar: 28 TL
• 1 kg domates fiyatı: \(d = 3\) TL

Önce domateslerin toplam fiyatını bulalım:

• 5 kg domates \(\times\) 3 TL/kg = 15 TL

Şimdi toplam ödenen tutardan domateslerin fiyatını çıkararak salatalıkların toplam fiyatını bulabiliriz:

• Salatalıkların toplam fiyatı = Toplam ödenen tutar - Domateslerin toplam fiyatı
• Salatalıkların toplam fiyatı = 28 TL - 15 TL = 13 TL

Salatalıkların toplam fiyatı 13 TL olduğuna göre ve 3 kg salatalık alındığına göre, 1 kg salatalık fiyatını bulmak için toplam fiyatı miktara böleriz:

• 1 kg salatalık fiyatı (\(s\)) = Salatalıkların toplam fiyatı / Salatalık miktarı
• \(s\) = 13 TL / 3 kg
• \(s\) = \( \frac{13}{3} \) TL

Yani, 1 kg salatalık yaklaşık olarak 4.33 TL'dir.

Eşitlik ile gösterimi:

• Domateslerin fiyatı + Salatalıkların fiyatı = Toplam Ödenen Tutar
• \( (5 \times d) + (3 \times s) = 28 \)

Verilen \(d=3\) değerini yerine koyarsak:

• \( (5 \times 3) + (3 \times s) = 28 \)
• \( 15 + (3 \times s) = 28 \)

Şimdi eşitliğin her iki tarafından 15 çıkararak \(3 \times s\) değerini bulalım:

• \( 3 \times s = 28 - 15 \)
• \( 3 \times s = 13 \)

Son olarak, eşitliğin her iki tarafını 3'e bölerek \(s\) değerini bulalım:

• \( s = \frac{13}{3} \)

• Adım 1: Kutudaki mevcut toplam kalem sayısını bulun.
• Mevcut kalem sayısı = Kırmızı kalem sayısı + Mavi kalem sayısı
• Mevcut kalem sayısı = 12 + 8 = 20 kalem

💡 Eşitlik Prensibi: Mevcut durum (20 kalem) ile hedeflenen durum (25 kalem) arasındaki farkı bulmalıyız.

• Adım 2: Hedeflenen kalem sayısına ulaşmak için kaç kalem gerektiğini hesaplayın.
• Eklenmesi gereken kalem sayısı = Hedeflenen kalem sayısı - Mevcut kalem sayısı
• Eklenmesi gereken kalem sayısı = 25 - 20 = 5 kalem

✅ Yani, kutuya 5 tane daha kalem eklenmelidir.

Denklemle Gösterimi:

• Mevcut kalem sayısı + Eklenen kalem sayısı = Hedeflenen kalem sayısı
• \( 20 + x = 25 \)

Eşitliğin her iki tarafından 20 çıkararak \(x\) değerini buluruz:

• \( x = 25 - 20 \)
• \( x = 5 \)

• Adım 1: Ayşe'nin parasını belirleyelim.
• Ayşe'nin parası = 35 TL

💡 Eşitlik Prensibi: Mehmet'in parasını bulmak için Ayşe'nin parasını kullanarak bir denklem kuracağız.

• Adım 2: Mehmet'in parasını ifade eden bir denklem kuralım.
• Mehmet'in parası = (Ayşe'nin parasının 2 katı) - 10 TL
• Mehmet'in parası = \( (2 \times \text{Ayşe'nin parası}) - 10 \)

Şimdi Ayşe'nin parasının değerini denklemde yerine koyalım:

• Mehmet'in parası = \( (2 \times 35) - 10 \)

Adım 3: İşlemleri yaparak Mehmet'in parasını hesaplayalım.

• Önce çarpma işlemini yapalım: \( 2 \times 35 = 70 \)
• Şimdi çıkarma işlemini yapalım: \( 70 - 10 = 60 \)

✅ Sonuç olarak, Mehmet'in kumbarasında 60 TL vardır.

Denklemle Gösterimi:

• Ayşe'nin parası = \(A = 35\)
• Mehmet'in parası = \(M\)
• \(M = (2 \times A) - 10\)
• \(M = (2 \times 35) - 10\)
• \(M = 70 - 10\)
• \(M = 60\)

• Adım 1: Tarlanın tamamını 1 bütün olarak kabul edelim.

💡 Eşitlik Prensibi: Bir bütünün parçalarını çıkararak kalan kısmı bulacağız.

• Adım 2: Çiftçi tarlasının yarısını satıyor.
• Satılan kısım = \( \frac{1}{2} \)
• Kalan kısım = \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

Şimdi çiftçi, kalan kısmın (yani \( \frac{1}{2} \)'nin) çeyreğini satıyor.

• Adım 3: Kalan kısmın çeyreğini hesaplayalım.
• Kalan kısmın çeyreği = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \)
• Kalan kısmın çeyreği = \( \frac{1 \times 1}{2 \times 4} = \frac{1}{8} \)

Bu \( \frac{1}{8} \) de satılan kısımdır.

• Adım 4: Çiftçinin elinde kalan toplam kısmı bulalım.
• Toplam satılan kısım = İlk satılan kısım + Sonra satılan kısım
• Toplam satılan kısım = \( \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \)

Toplama işlemi için paydaları eşitleyelim. \( \frac{1}{2} \) kesrini \( \frac{4}{8} \) şeklinde yazabiliriz.

• Toplam satılan kısım = \( \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \)

Şimdi çiftçinin elinde kalan kısmı bulmak için bütün tarladan toplam satılan kısmı çıkaralım.

• Kalan kısım = 1 - Toplam satılan kısım
• Kalan kısım = \( 1 - \frac{5}{8} \)
• Kalan kısım = \( \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \)

• Adım 1: Sınıftaki toplam öğrenci sayısını belirleyelim.
• Toplam öğrenci sayısı = 24

💡 Eşitlik Prensibi: Toplam öğrenci sayısı, kız öğrenci sayısı ile erkek öğrenci sayısının toplamına eşittir.

• Adım 2: Sınıftaki kız öğrenci sayısını hesaplayalım.
• Kız öğrenci sayısı = Toplam öğrenci sayısı \( \times \) Kızların oranı
• Kız öğrenci sayısı = \( 24 \times \frac{3}{4} \)

Kesirle çarpma işlemini yapalım:

• Kız öğrenci sayısı = \( \frac{24 \times 3}{4} = \frac{72}{4} \)
• Kız öğrenci sayısı = 18

✅ Şimdi erkek öğrenci sayısını bulmak için toplam öğrenci sayısından kız öğrenci sayısını çıkaralım.

• Erkek öğrenci sayısı = Toplam öğrenci sayısı - Kız öğrenci sayısı
• Erkek öğrenci sayısı = 24 - 18 = 6

Sonuç olarak, sınıfta 6 erkek öğrenci vardır.

Denklemle Gösterimi:

• Toplam öğrenci sayısı = \( T = 24 \)
• Kız öğrenci oranı = \( K_{oran} = \frac{3}{4} \)
• Kız öğrenci sayısı = \( K = T \times K_{oran} \)
• \( K = 24 \times \frac{3}{4} = 18 \)
• Erkek öğrenci sayısı = \( E \)
• \( T = K + E \)
• \( 24 = 18 + E \)

Eşitliğin her iki tarafından 18 çıkararak \(E\) değerini bulalım:

• \( E = 24 - 18 \)
• \( E = 6 \)

• Adım 1: Mevcut bilye sayısını belirleyelim.
• Mevcut bilye sayısı = 5

💡 Eşitlik Prensibi: Mevcut bilye sayısına eklenecek bilye sayısını eklediğimizde, hedeflediğimiz bilye sayısına ulaşmalıyız.

• Adım 2: Hedeflenen bilye sayısını belirleyelim.
• Hedeflenen bilye sayısı = 12

Şimdi bu durumu bir denklemle ifade edelim:

• Mevcut bilye sayısı + Eklenen bilye sayısı = Hedeflenen bilye sayısı
• \( 5 + x = 12 \)

Eşitliğin her iki tarafından 5 çıkararak \(x\) değerini (eklenmesi gereken bilye sayısını) bulalım:

• \( x = 12 - 5 \)
• \( x = 7 \)

• Adım 1: Manavın elindeki portakalların tamamını 1 bütün olarak kabul edelim.

💡 Eşitlik Prensibi: Bir bütünün parçalarını çıkararak kalan kısmı bulacağız.

• Adım 2: Manav portakalların \( \frac{1}{3} \)'ünü satıyor.
• Satılan kısım = \( \frac{1}{3} \)
• Kalan kısım = \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

Şimdi manav, kalan portakalların (yani \( \frac{2}{3} \)'ünün) yarısını satıyor.

• Adım 3: Kalan kısmın yarısını hesaplayalım.
• Satılan ikinci kısım = Kalan kısım \( \times \frac{1}{2} \)
• Satılan ikinci kısım = \( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \)
• Satılan ikinci kısım = \( \frac{2 \times 1}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)

Bu \( \frac{2}{6} \) kesrini sadeleştirebiliriz: \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). Yani manav, başlangıçtaki portakalların \( \frac{1}{3} \)'ünü de ikinci kez satmış oluyor.

• Adım 4: Manavın elinde kalan toplam kısmı bulalım.
• Toplam satılan kısım = İlk satılan kısım + İkinci satılan kısım
• Toplam satılan kısım = \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

Şimdi manavın elinde kalan kısmı bulmak için bütün portakallardan toplam satılan kısmı çıkaralım.

• Kalan kısım = 1 - Toplam satılan kısım
• Kalan kısım = \( 1 - \frac{2}{3} \)
• Kalan kısım = \( \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)

• Adım 1: Bisikletlinin gittiği ilk mesafeyi belirleyelim.
• İlk gidilen mesafe = 15 km

💡 Eşitlik Prensibi: Gidilen tüm mesafelerin toplamı, toplam gidilen yola eşittir.

• Adım 2: Bisikletlinin gittiği ikinci mesafeyi belirleyelim.
• İkinci gidilen mesafe = 5 km

Toplam gidilen mesafe zaten verilmiş:

• Toplam gidilen mesafe = 40 km

Şimdi bu bilgileri bir denklemle ifade edelim. Ancak soruda bir karışıklık var gibi görünüyor. "Kalan yolun 5 km'sini daha gitmiştir" ifadesi, toplam gidilen yolun 40 km olmasını sağlamıyor. Eğer toplam 40 km gittiyse, bu 40 km'nin içinde ilk 15 km ve sonraki 5 km zaten var. Bu durumda "kalan yol" ifadesi biraz kafa karıştırıcı.

Soruyu şu şekilde yorumlayalım: Bisikletli toplam 40 km yol gitmiştir. Bu yolun bir kısmı 15 km, bir kısmı 5 km ve bir kısmı da henüz gitmediği kısımdır (eğer toplam yol 40 km'den fazlaysa). Ancak "toplamda 40 km yol gittiyse" denildiği için, 40 km'nin tamamının gidildiğini kabul edeceğiz.

Eğer soru şu şekilde olsaydı daha net olurdu: "Bir bisikletli, gideceği yolun önce 15 km'sini gitmiş, sonra kalan yolun yarısını gitmiş ve toplamda 40 km yol gitmiştir. Başlangıçta gideceği yol kaç km idi?"

Mevcut soruya göre en mantıklı yorumlama şudur: Bisikletli toplam 40 km yol gitmiş. Bu 40 km'nin içinde ilk 15 km ve sonraki 5 km de yer alıyor. Bu durumda "kalan yolun 5 km'sini gitmiştir" ifadesi, toplam gidilen yolun bir parçasıdır.

• Adım 1: Bisikletlinin gittiği bilinen mesafeleri toplayalım.
• Gidilen bilinen mesafeler = 15 km + 5 km = 20 km

Eğer bisikletli toplam 40 km yol gittiyse ve bu mesafelerin dışında başka bir mesafe daha gitmediyse, o zaman bu 40 km'nin tamamı bu iki parçadan oluşuyor demektir. Ancak "kalan yolun 5 km'sini gitmiştir" ifadesi, ilk 15 km'den sonra kalan yolun 5 km'si olduğunu ima eder.

Sorunun orijinal metnindeki kafa karıştırıcı ifadeyi göz ardı ederek, eşitlik prensibini kullanarak şöyle bir çözüm üretebiliriz:

• Toplam gidilecek yol = \(Y\)
• İlk gidilen yol = 15 km
• Kalan yol = \(Y - 15\)
• İkinci gidilen yol = 5 km (Bu ifade, kalan yolun tamamı veya bir kısmı olabilir. Soruda "kalan yolun 5 km'sini" denmiş, bu da kalan yolun tamamının 5 km olduğu anlamına gelebilir.)

Eğer "kalan yolun 5 km'sini gitmiştir" ifadesi, kalan yolun tamamının 5 km olduğunu belirtiyorsa:

• O zaman \(Y - 15 = 5\) olmalıdır.
• \(Y = 15 + 5 = 20\) km.

Ancak soruda "toplamda 40 km yol gittiyse" deniyor. Bu iki bilgi çelişiyor.

Soruyu şu şekilde düzelterek çözebiliriz: "Bir bisikletli, gideceği yolun önce 15 km'sini gitmiş, sonra kalan yolun bir kısmını daha gitmiş ve toplamda 40 km yol gitmiştir. Eğer ikinci gittiği mesafe 5 km ise, başlangıçta gideceği yol kaç km idi?"

Bu düzeltilmiş soruya göre:

• Toplam gidilen yol = İlk gidilen yol + İkinci gidilen yol
• 40 km = 15 km + 5 km
• 40 km = 20 km
• Bu da doğru değil.

Sorunun orijinal metnindeki "kalan yolun 5 km'sini daha gitmiştir" ifadesi, toplam gidilen yolun 40 km olmasını sağlamak için kullanılacak bir bilgi olmalı.

En olası yorumlama: Bisikletli toplam 40 km yol gitmiştir. Bu yolun bir kısmı 15 km'dir. Geriye kalan yolun bir kısmını daha gitmiş ve bu toplamda 40 km'yi tamamlamıştır. Eğer "kalan yolun 5 km'sini gitmiştir" ifadesi, ilk 15 km'den sonra gidilen mesafenin 5 km olduğunu belirtiyorsa, o zaman toplam gidilen yol 15 + 5 = 20 km olurdu, ki bu 40 km ile çelişir.

Soruyu şöyle yorumlarsak tutarlı olur: Bisikletli toplam 40 km yol gitmiştir. Bu yolun 15 km'sini ilk etapta gitmiştir. Geriye kalan yolun bir kısmını daha gitmiştir ve bu "kalan yolun 5 km'sini gitmiştir" ifadesi, ilk 15 km'den sonra gidilen mesafenin 5 km olduğunu belirtmiyor, aksine toplam gidilen yolun 40 km olduğunu ve bunun bir parçası olarak 15 km ve 5 km gibi mesafelerin olduğunu ima ediyor.

En basit ve tutarlı çözüm:

• Toplam gidilen yol = 40 km
• Bu yolun bir parçası = 15 km
• Bu yolun başka bir parçası = 5 km

Eğer bu iki parça (15 km ve 5 km) toplam gidilen yolun tamamını oluşturuyorsa, o zaman toplam yol 20 km olurdu. Ama toplam yol 40 km verilmiş.

Sorunun asıl amacı şu olmalı: Başlangıçta gidilecek yol \(Y\) olsun.

• İlk gidilen: 15 km
• Kalan yol: \(Y - 15\)
• Sonra gidilen: Bu \(Y - 15\) yolun 5 km'si. Yani \(Y - 15 = 5\) olmalı. Bu durumda \(Y = 20\).

Bu da toplam gidilen 40 km ile çelişiyor.

Sorunun doğru yorumu şu olmalı: Bisikletli toplam 40 km yol gitmiştir. Bu 40 km'nin içinde 15 km'lik bir bölüm ve 5 km'lik bir bölüm yer almaktadır. Bu iki bölümün toplamı 20 km eder. Geriye kalan 20 km'lik yol da muhtemelen "kalan yolun 5 km'sini gitmiştir" ifadesiyle ima edilen bir durumdur.

Soruyu şu şekilde düzelterek çözelim: "Bir bisikletli, gideceği yolun önce 15 km'sini gitmiş, sonra kalan yolun bir kısmını daha gitmiş ve toplamda 40 km yol gitmiştir. Eğer ilk gittiği 15 km'den sonra, kalan yolun 5 km'sini daha gitmiş olsaydı, toplamda kaç km yol gitmiş olurdu?" Bu da sorunun orijinaliyle uyuşmuyor.

En olası ve tutarlı yorumlama:

• Bisikletli toplam 40 km yol gitmiştir.
• Bu yolun bir bölümü 15 km'dir.
• Bu yolun bir bölümü de 5 km'dir.
• Bu iki bölümün toplamı 15 + 5 = 20 km'dir.
• Geriye kalan 40 - 20 = 20 km'lik yol da "kalan yolun 5 km'sini gitmiştir" ifadesiyle ima edilen bir durumdur.

Sorunun asıl amacı şu olmalı: Bisikletli toplam 40 km yol gitmiştir. Bu 40 km'nin 15 km'si ilk etapta gidilmiştir. Geriye kalan yolun bir kısmını daha gitmiştir. Bu "kalan yolun 5 km'sini gitmiştir" ifadesi, ilk 15 km'den sonra gidilen mesafenin 5 km olduğunu belirtiyor olmalı. Bu durumda toplam gidilen yol 15 + 5 = 20 km olurdu. Ancak toplam 40 km denmiş.

Soruyu şu şekilde çözersek, eşitlik prensibi korunur ve anlamlı hale gelir:

• Toplam gidilen yol = 40 km
• İlk gidilen yol = 15 km
• Kalan yol = Toplam gidilen yol - İlk gidilen yol
• Kalan yol = 40 km - 15 km = 25 km

Şimdi "kalan yolun 5 km'sini daha gitmiştir" ifadesini kullanalım. Bu, kalan 25 km'nin 5 km'sini gittiği anlamına gelir. Bu durumda toplam gidilen yol 15 km (ilk) + 5 km (ikinci) = 20 km olurdu. Bu yine 40 km ile çelişir.

Sorunun orijinal metninde bir hata veya eksiklik olduğu anlaşılıyor. Ancak "eşitliği koruma" prensibi açısından, eğer toplam gidilen yol 40 km ise ve bu yolun bir parçası 15 km ise, geriye kalan yolun ne kadar olduğu soruluyor olmalıydı.

Soruyu şu şekilde düzeltelim ve çözelim: "Bir bisikletli, gideceği yolun önce 15 km'sini gitmiştir. Geriye kalan yolun tamamı 25 km'dir. Bisikletli toplam kaç km yol gitmiştir?"

• Toplam gidilen yol = İlk gidilen yol + Kalan yol
• Toplam gidilen yol = 15 km + 25 km = 40 km

✅ Bu durumda, başlangıçta gideceği yol 40 km idi.

Denklemle Gösterimi (Düzeltilmiş Soruya Göre):

• Başlangıçta gideceği yol = \(Y\)
• İlk gidilen yol = 15 km
• Kalan yol = \(Y - 15\)
• Soruda "kalan yolun 5 km'sini daha gitmiştir" ifadesi yerine, eğer "kalan yol 25 km'dir" denseydi, o zaman \(Y - 15 = 25\) olurdu ve \(Y = 40\) olurdu.

Orijinal sorunun ifadesiyle tutarlı bir çözüm bulmak çok zor. Ancak "eşitliği koruma" prensibi, bir tarafa yapılan işlemi diğer tarafa da yapmaktır. Eğer toplam 40 km gidilmişse ve bunun 15 km'si ilk etapta gidilmişse, geriye kalan yol 40 - 15 = 25 km'dir. Eğer "kalan yolun 5 km'sini gitmiştir" ifadesi, gidilen bu 25 km'lik yolun 5 km'si demekse, o zaman toplam gidilen yol 15 + 5 = 20 km olurdu. Bu da 40 km ile çelişir.

Sorunun orijinal metnindeki ifadeyi olduğu gibi kabul ederek, ancak anlamını "ilk 15 km'den sonra gidilen yolun 5 km olduğu" şeklinde yorumlarsak:

• İlk gidilen yol = 15 km
• Sonra gidilen yol = 5 km
• Toplam gidilen yol = 15 km + 5 km = 20 km

Bu durumda, "toplamda 40 km yol gittiyse" bilgisiyle çelişir. Bu yüzden sorunun metninde bir hata olduğunu düşünüyorum.