💡 5. Sınıf Matematik: Değişme birleşme ve dağılma özellikleri Çözümlü Örnekler

Toplama işleminde sayıların gruplandırılmasının sonucu değiştirmediğini gösterir.

• İşlemde (15 + 20) önce yapılmış, sonra 25 eklenmiş.
• Diğer tarafta ise (20 + 25) önce yapılmış, sonra 15 eklenmiş.
• Her iki durumda da sonuç aynıdır.

Yani, \( (a + b) + c = a + (b + c) \) şeklinde gösterilir. ✅

Çarpma işleminde çarpanların yerlerinin değiştirilmesinin sonucu değiştirmediğini ifade eder.

• Yani, \( a \times b = b \times a \) şeklinde gösterilir.
• Örneğin, \( 35 \times 10 = 350 \) ve \( 10 \times 35 = 350 \) olur.

Sayıların sırasının önemi yoktur! 👍

Bu özellik, çarpma işleminin toplama (veya çıkarma) işlemi üzerine dağılmasını sağlar.

• Parantezin dışındaki 5 sayısı, parantezin içindeki hem 10 ile hem de 2 ile çarpılacaktır.
• Yani, \( 5 \times (10 + 2) = (5 \times 10) + (5 \times 2) \) şeklinde yazılır.

Bu sayede işlem daha kolay hale gelir. 💪

Ali'nin aldığı ürünlerin toplam fiyatını bulmak için önce paket sayısını, sonra paket fiyatını kullanabiliriz.

• Ali'nin aldığı toplam paket sayısı: \( 3 + 2 = 5 \) paket.
• Her paketin ortalama fiyatını bulmak yerine, dağılma özelliğini kullanacağız.
• Toplam ödeme: \( (3 \times 4 \text{ TL}) + (2 \times 6 \text{ TL}) \)
• Dağılma özelliğini kullanarak: \( 3 \times (4 \text{ TL} + 6 \text{ TL}) \) şeklinde düşünebiliriz, ancak bu soruda doğrudan dağılma özelliği sorulmuş.
• Doğru dağılma özelliği uygulaması:
• Bisküviler için ödenen: \( 3 \times 4 \text{ TL} = 12 \text{ TL} \)
• Çikolatalar için ödenen: \( 2 \times 6 \text{ TL} = 12 \text{ TL} \)
• Toplam ödeme: \( 12 \text{ TL} + 12 \text{ TL} = 24 \text{ TL} \)

Alternatif olarak, eğer soru \( 3 \times (4+6) \) şeklinde olsaydı, dağılma özelliği \( (3 \times 4) + (3 \times 6) \) olurdu. Bu soruda ise \( (3 \times 4) + (2 \times 6) \) işlemini ayrı ayrı hesaplayıp topluyoruz, bu da dağılma özelliğinin bir sonucudur. ✅

Toplama işleminde sayıların gruplandırılma şeklinin sonucu değiştirmediğini gösterir.

• İlk ifadede 50 ve 75 önce toplanmış, sonra 125 eklenmiş.
• İkinci ifadede ise 125 ve 50 önce toplanmış, sonra 75 eklenmiş.
• Her iki durumda da sonuç aynı olacaktır.

Yani, \( a + (b + c) = (a + b) + c \) şeklinde ifade edilir. 💯

Çarpma işleminde çarpanların yerlerinin değiştirilmesinin sonucu etkilemediğini belirtir.

• \( 7 \times 8 = 56 \)
• \( 8 \times 7 = 56 \)

Gördüğünüz gibi, sayılar yer değiştirse de sonuç değişmemiştir. Bu özellik, çarpma işleminin temel kurallarından biridir. 👍

Çiftçinin diktiği toplam fide sayısını bulmak için domates ve biber fidelerini ayrı ayrı hesaplayıp toplayabiliriz.

• Domates fidelerinin toplam sayısı: \( 5 \text{ sıra} \times 10 \text{ fide/sıra} = 50 \text{ fide} \)
• Biber fidelerinin toplam sayısı: \( 4 \text{ sıra} \times 12 \text{ fide/sıra} = 48 \text{ fide} \)
• Toplam fide sayısı: \( 50 + 48 = 98 \text{ fide} \)

Şimdi bu işlemi dağılma özelliği ile ifade edelim:

Toplam fide sayısı = (Domates sıraları x Domates fide sayısı) + (Biber sıraları x Biber fide sayısı)

Toplam fide sayısı = \( (5 \times 10) + (4 \times 12) \)

Bu ifadeyi doğrudan dağılma özelliği ile birleştirerek yazmak yerine, sorunun mantığını dağılma özelliği ile kuruyoruz. Eğer soru \( 5 \times (10+?) \) veya \( (5+4) \times ? \) gibi olsaydı daha net bir dağılma özelliği gösterimi olurdu.

Ancak, sorunun mantığı gereği, her bir grup için ayrı ayrı çarpma yapıp sonra toplama işlemi yaptığımız için, bu dolaylı yoldan dağılma özelliğinin kullanımına örnektir. ✅

Önce her ürün grubunun toplam fiyatını bulalım:

• Sütlerin toplam fiyatı: \( 2 \text{ paket} \times 3 \text{ TL/paket} = 6 \text{ TL} \)
• Yoğurtların toplam fiyatı: \( 3 \text{ paket} \times 5 \text{ TL/paket} = 15 \text{ TL} \)
• Toplam ödeme: \( 6 \text{ TL} + 15 \text{ TL} = 21 \text{ TL} \)

Şimdi bu işlemi özelliklerle gösterelim:

Toplam Ödeme = (Süt sayısı x Süt fiyatı) + (Yoğurt sayısı x Yoğurt fiyatı)

Toplam Ödeme = \( (2 \times 3) + (3 \times 5) \)

Değişme Özelliği Kullanımı:

Çarpma işlemlerinde sayıların yerini değiştirebiliriz:

\( (3 \times 2) + (5 \times 3) \)

Birleşme Özelliği Kullanımı:

Eğer farklı bir gruplandırma olsaydı (örneğin, tüm ürünlerin toplam fiyatını tek seferde hesaplamaya çalışsaydık), birleşme özelliği devreye girerdi. Ancak bu soruda doğrudan birleşme özelliği uygulaması çok belirgin değil.

Daha çok, toplam ödemeyi \( 6 + 15 \) olarak bulduktan sonra, bu iki sayıyı toplarken birleşme özelliği (eğer daha fazla sayı olsaydı) kullanılabilirdi.

Örneğin, eğer \( 6 + 15 + 10 \) gibi bir işlem olsaydı, \( (6+15)+10 \) veya \( 6+(15+10) \) şeklinde gruplandırabilirdik.

Bu soruda en belirgin kullanılan özellik, her ürün grubunun kendi içinde çarpma işlemiyle fiyatının bulunması ve sonra bu fiyatların toplanmasıdır. ✅