💡 5. Sınıf Matematik: Değişme, birleşme ve dağılma özelliği Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Değişme Özelliği Nedir?
Toplama ve çarpma işlemlerinde, sayıların yerlerini değiştirdiğimizde sonucun değişmemesidir. 💡
Örnek olarak:
Toplama: \( a + b = b + a \)
Çarpma: \( a \times b = b \times a \)
Şimdi bu özelliği kullanarak bir örnek yapalım:
Aşağıdaki toplama işleminin sonucunu, değişme özelliğini kullanarak bulunuz.
\( 25 + 37 \)
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda değişme özelliğini kullanacağız. Sayıların yerini değiştirebiliriz.
Sayıların Yerini Değiştirme: \( 25 + 37 \) işlemini, \( 37 + 25 \) olarak yazabiliriz.
Toplama İşlemini Yapma: Her iki durumda da sonuç aynı olacaktır.
\( 25 + 37 = 62 \)
\( 37 + 25 = 62 \)
Sonuç: Gördüğünüz gibi, sayıların yerini değiştirmemize rağmen sonuç değişmedi. ✅
Yani, \( 25 + 37 = 37 + 25 = 62 \)
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Birleşme Özelliği Nedir?
Toplama ve çarpma işlemlerinde, üç veya daha fazla sayıyla işlem yaparken sayıları hangi gruplara ayırırsak ayıralım sonucun değişmemesidir. 🤝
Örnek olarak:
Toplama: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
Çarpma: \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
Şimdi birleşme özelliğini kullanarak bir çarpma işlemi yapalım:
Aşağıdaki çarpma işlemini, birleşme özelliğini kullanarak kolayca yapınız.
\( (3 \times 5) \times 2 \)
Çözüm ve Açıklama
Birleşme özelliği sayesinde sayıları farklı gruplara ayırarak işlemi kolaylaştırabiliriz.
İlk Gruplama ile Hesaplama: Önce parantez içindeki işlemi yapalım: \( 3 \times 5 = 15 \).
Sonraki İşlem: Şimdi bulduğumuz sonucu diğer sayıyla çarpalım: \( 15 \times 2 = 30 \).
Farklı Gruplama ile Hesaplama (Kontrol): Birleşme özelliğine göre, sayıları farklı gruplasaydık da sonuç aynı olurdu. Örneğin, \( 3 \times (5 \times 2) \) şeklinde yapabilirdik.
Çarpma işleminin toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğidir. Bir sayının, iki sayının toplamı (veya farkı) ile çarpılması, o sayının her bir sayıyla ayrı ayrı çarpılıp sonuçların toplanmasına (veya çıkarılmasına) eşittir. 🎁
Örnek olarak:
Toplama Üzerine: \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \)
Çıkarma Üzerine: \( a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c) \)
Şimdi dağılma özelliğini kullanarak bir örnek yapalım:
Aşağıdaki çarpma işlemini, dağılma özelliğini kullanarak hesaplayınız.
\( 4 \times (10 + 3) \)
Çözüm ve Açıklama
Dağılma özelliği sayesinde parantez içindeki toplama işlemini yapmadan da sonuca ulaşabiliriz.
Çarpma İşlemini Dağıtma: 4 sayısını parantez içindeki her bir sayıyla ayrı ayrı çarpacağız.
İlk çarpma: \( 4 \times 10 = 40 \)
İkinci çarpma: \( 4 \times 3 = 12 \)
Sonuçları Toplama: Elde ettiğimiz çarpma sonuçlarını toplayacağız.
\( 40 + 12 = 52 \)
Kontrol (Parantez İçi Önce): Şimdi de önce parantez içini yapıp sonra çarpalım: \( 10 + 3 = 13 \). Sonra \( 4 \times 13 = 52 \). Sonuçlar aynı! 🎉
Anneniz marketten 3 paket bisküvi ve 3 paket süt alıyor. Her bir bisküvi paketi 5 TL ve her bir süt paketi 4 TL olduğuna göre, toplam kaç TL ödemeleri gerektiğini dağılma özelliğini kullanarak hesaplayalım.
Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz:
\( 3 \times (5 \text{ TL} + 4 \text{ TL}) \)
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi iki farklı yolla çözebiliriz:
Yöntem 1: Önce Toplama, Sonra Çarpma
Önce parantez içindeki toplam fiyatı bulalım: 5 TL + 4 TL = 9 TL (Bir paket bisküvi ve bir paket sütün toplam fiyatı).
Sonra bu toplam fiyatı alınan paket sayısıyla çarpalım: 3 paket \(\times\) 9 TL/paket = 27 TL.
Yöntem 2: Dağılma Özelliğini Kullanma
3 paket bisküvi için ödenecek toplam tutarı hesaplayalım: \( 3 \times 5 \text{ TL} = 15 \text{ TL} \).
3 paket süt için ödenecek toplam tutarı hesaplayalım: \( 3 \times 4 \text{ TL} = 12 \text{ TL} \).
Bu iki tutarı toplayarak toplam ödemeyi bulalım: \( 15 \text{ TL} + 12 \text{ TL} = 27 \text{ TL} \).
Sonuç: Gördüğünüz gibi, iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Dağılma özelliği, bu tür hesaplamaları kolaylaştırır. 💰
Aşağıdaki işlemde hem değişme hem de birleşme özelliğini kullanarak sonucu bulunuz.
\( (15 + 8) + 22 \)
Çözüm ve Açıklama
Bu işlemde toplama işleminin hem değişme hem de birleşme özelliğini kullanabiliriz. Amacımız işlemi kolaylaştırmak.
Birleşme Özelliği ile Gruplama: İşlemi \( 15 + (8 + 22) \) şeklinde gruplandırabiliriz. Bu, \( 8 + 22 \) işlemini kolaylaştırır.
Parantez İçini Hesaplama: \( 8 + 22 = 30 \).
Kalan İşlemi Yapma: Şimdi \( 15 + 30 \) işlemini yapalım.
Sonuç: \( 15 + 30 = 45 \).
Alternatif (Değişme Özelliği ile): İsterseniz önce \( 22 + 8 \) yapıp sonra 15 ile toplayabilirdiniz. Veya \( (15 + 22) + 8 \) şeklinde de gruplandırabilirdiniz. Sonuç her zaman 45 olacaktır. 💯
Bir oyunda kullanılan puanlama sistemi şu şekildedir: Her doğru cevap için 5 puan kazanılıyor. Yanlış cevaplar için ise puan silinmiyor ama doğru cevapların toplam puanından belirli bir indirim yapılıyor. Eğer bir oyuncu 8 doğru cevap yaparsa ve bu 8 doğru cevabın toplam puanından (her biri 5 puan olan) 3'er puanlık bir indirim uygulanırsa, oyuncunun toplam puanı kaç olur?
Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz:
\( 8 \times 5 - 8 \times 3 \)
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, hem çarpma işleminin hem de dağılma özelliğinin tersini (ortak çarpan parantezine alma) kullanabiliriz. Ancak dağılma özelliğini doğrudan kullanarak da çözebiliriz.
Dağılma Özelliğini Kullanma (Önce Çıkarma):
Önce parantez içindeki işlemleri ayrı ayrı hesaplayalım:
Doğru cevaplardan kazanılan toplam puan: \( 8 \times 5 = 40 \) puan.
Uygulanan toplam indirim: \( 8 \times 3 = 24 \) puan.
Toplam puanı bulmak için indirimleri çıkaralım: \( 40 - 24 = 16 \) puan.
Bir pastacı, 4 farklı pasta yapacaktır. Her bir pasta için 2 paket un ve 3 paket şeker kullanıyor. Pastacının toplam kaç paket un ve kaç paket şeker kullandığını dağılma özelliğini kullanarak hesaplayalım.
5. Sınıf Matematik: Değişme, birleşme ve dağılma özelliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Değişme Özelliği Nedir?
Toplama ve çarpma işlemlerinde, sayıların yerlerini değiştirdiğimizde sonucun değişmemesidir. 💡
Örnek olarak:
Toplama: \( a + b = b + a \)
Çarpma: \( a \times b = b \times a \)
Şimdi bu özelliği kullanarak bir örnek yapalım:
Aşağıdaki toplama işleminin sonucunu, değişme özelliğini kullanarak bulunuz.
\( 25 + 37 \)
Çözüm:
Bu soruda değişme özelliğini kullanacağız. Sayıların yerini değiştirebiliriz.
Sayıların Yerini Değiştirme: \( 25 + 37 \) işlemini, \( 37 + 25 \) olarak yazabiliriz.
Toplama İşlemini Yapma: Her iki durumda da sonuç aynı olacaktır.
\( 25 + 37 = 62 \)
\( 37 + 25 = 62 \)
Sonuç: Gördüğünüz gibi, sayıların yerini değiştirmemize rağmen sonuç değişmedi. ✅
Yani, \( 25 + 37 = 37 + 25 = 62 \)
Örnek 2:
Birleşme Özelliği Nedir?
Toplama ve çarpma işlemlerinde, üç veya daha fazla sayıyla işlem yaparken sayıları hangi gruplara ayırırsak ayıralım sonucun değişmemesidir. 🤝
Örnek olarak:
Toplama: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
Çarpma: \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
Şimdi birleşme özelliğini kullanarak bir çarpma işlemi yapalım:
Aşağıdaki çarpma işlemini, birleşme özelliğini kullanarak kolayca yapınız.
\( (3 \times 5) \times 2 \)
Çözüm:
Birleşme özelliği sayesinde sayıları farklı gruplara ayırarak işlemi kolaylaştırabiliriz.
İlk Gruplama ile Hesaplama: Önce parantez içindeki işlemi yapalım: \( 3 \times 5 = 15 \).
Sonraki İşlem: Şimdi bulduğumuz sonucu diğer sayıyla çarpalım: \( 15 \times 2 = 30 \).
Farklı Gruplama ile Hesaplama (Kontrol): Birleşme özelliğine göre, sayıları farklı gruplasaydık da sonuç aynı olurdu. Örneğin, \( 3 \times (5 \times 2) \) şeklinde yapabilirdik.
Çarpma işleminin toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğidir. Bir sayının, iki sayının toplamı (veya farkı) ile çarpılması, o sayının her bir sayıyla ayrı ayrı çarpılıp sonuçların toplanmasına (veya çıkarılmasına) eşittir. 🎁
Örnek olarak:
Toplama Üzerine: \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \)
Çıkarma Üzerine: \( a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c) \)
Şimdi dağılma özelliğini kullanarak bir örnek yapalım:
Aşağıdaki çarpma işlemini, dağılma özelliğini kullanarak hesaplayınız.
\( 4 \times (10 + 3) \)
Çözüm:
Dağılma özelliği sayesinde parantez içindeki toplama işlemini yapmadan da sonuca ulaşabiliriz.
Çarpma İşlemini Dağıtma: 4 sayısını parantez içindeki her bir sayıyla ayrı ayrı çarpacağız.
İlk çarpma: \( 4 \times 10 = 40 \)
İkinci çarpma: \( 4 \times 3 = 12 \)
Sonuçları Toplama: Elde ettiğimiz çarpma sonuçlarını toplayacağız.
\( 40 + 12 = 52 \)
Kontrol (Parantez İçi Önce): Şimdi de önce parantez içini yapıp sonra çarpalım: \( 10 + 3 = 13 \). Sonra \( 4 \times 13 = 52 \). Sonuçlar aynı! 🎉
Anneniz marketten 3 paket bisküvi ve 3 paket süt alıyor. Her bir bisküvi paketi 5 TL ve her bir süt paketi 4 TL olduğuna göre, toplam kaç TL ödemeleri gerektiğini dağılma özelliğini kullanarak hesaplayalım.
Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz:
\( 3 \times (5 \text{ TL} + 4 \text{ TL}) \)
Çözüm:
Bu problemi iki farklı yolla çözebiliriz:
Yöntem 1: Önce Toplama, Sonra Çarpma
Önce parantez içindeki toplam fiyatı bulalım: 5 TL + 4 TL = 9 TL (Bir paket bisküvi ve bir paket sütün toplam fiyatı).
Sonra bu toplam fiyatı alınan paket sayısıyla çarpalım: 3 paket \(\times\) 9 TL/paket = 27 TL.
Yöntem 2: Dağılma Özelliğini Kullanma
3 paket bisküvi için ödenecek toplam tutarı hesaplayalım: \( 3 \times 5 \text{ TL} = 15 \text{ TL} \).
3 paket süt için ödenecek toplam tutarı hesaplayalım: \( 3 \times 4 \text{ TL} = 12 \text{ TL} \).
Bu iki tutarı toplayarak toplam ödemeyi bulalım: \( 15 \text{ TL} + 12 \text{ TL} = 27 \text{ TL} \).
Sonuç: Gördüğünüz gibi, iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Dağılma özelliği, bu tür hesaplamaları kolaylaştırır. 💰
Aşağıdaki işlemde hem değişme hem de birleşme özelliğini kullanarak sonucu bulunuz.
\( (15 + 8) + 22 \)
Çözüm:
Bu işlemde toplama işleminin hem değişme hem de birleşme özelliğini kullanabiliriz. Amacımız işlemi kolaylaştırmak.
Birleşme Özelliği ile Gruplama: İşlemi \( 15 + (8 + 22) \) şeklinde gruplandırabiliriz. Bu, \( 8 + 22 \) işlemini kolaylaştırır.
Parantez İçini Hesaplama: \( 8 + 22 = 30 \).
Kalan İşlemi Yapma: Şimdi \( 15 + 30 \) işlemini yapalım.
Sonuç: \( 15 + 30 = 45 \).
Alternatif (Değişme Özelliği ile): İsterseniz önce \( 22 + 8 \) yapıp sonra 15 ile toplayabilirdiniz. Veya \( (15 + 22) + 8 \) şeklinde de gruplandırabilirdiniz. Sonuç her zaman 45 olacaktır. 💯
Bir oyunda kullanılan puanlama sistemi şu şekildedir: Her doğru cevap için 5 puan kazanılıyor. Yanlış cevaplar için ise puan silinmiyor ama doğru cevapların toplam puanından belirli bir indirim yapılıyor. Eğer bir oyuncu 8 doğru cevap yaparsa ve bu 8 doğru cevabın toplam puanından (her biri 5 puan olan) 3'er puanlık bir indirim uygulanırsa, oyuncunun toplam puanı kaç olur?
Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz:
\( 8 \times 5 - 8 \times 3 \)
Çözüm:
Bu soruda, hem çarpma işleminin hem de dağılma özelliğinin tersini (ortak çarpan parantezine alma) kullanabiliriz. Ancak dağılma özelliğini doğrudan kullanarak da çözebiliriz.
Dağılma Özelliğini Kullanma (Önce Çıkarma):
Önce parantez içindeki işlemleri ayrı ayrı hesaplayalım:
Doğru cevaplardan kazanılan toplam puan: \( 8 \times 5 = 40 \) puan.
Uygulanan toplam indirim: \( 8 \times 3 = 24 \) puan.
Toplam puanı bulmak için indirimleri çıkaralım: \( 40 - 24 = 16 \) puan.
Bir pastacı, 4 farklı pasta yapacaktır. Her bir pasta için 2 paket un ve 3 paket şeker kullanıyor. Pastacının toplam kaç paket un ve kaç paket şeker kullandığını dağılma özelliğini kullanarak hesaplayalım.