💡 5. Sınıf Matematik: Değişme birleşme özelliği Çözümlü Örnekler

Toplama işleminde değişme özelliği, toplananların yerleri değiştirildiğinde sonucun değişmemesi demektir.
Yani, \( a + b = b + a \) şeklindedir.
Bu soruda:

• \( 35 + 17 \) işlemini yapabiliriz.
• Ya da değişme özelliğini kullanarak \( 17 + 35 \) işlemini yapabiliriz.

Her iki durumda da sonuç aynı olacaktır.
\( 35 + 17 = 52 \) ✅
\( 17 + 35 = 52 \) ✅

Çarpma işleminde değişme özelliği, çarpanların yerleri değiştirildiğinde sonucun değişmemesidir.
Yani, \( a \times b = b \times a \) şeklindedir.
Verilen işlem \( 23 \times 4 \) şeklindedir.
Değişme özelliğini kullanarak bu işlemi şu şekilde yazabiliriz:
\( 4 \times 23 \) 👈
Sonuç her iki durumda da aynı olacaktır: \( 23 \times 4 = 92 \) ve \( 4 \times 23 = 92 \).

Toplama işleminde birleşme özelliği, üç veya daha fazla sayıyı toplarken sayıları farklı şekillerde gruplandırabileceğimiz anlamına gelir.
Yani, \( (a + b) + c = a + (b + c) \) şeklindedir.
Soruda verilen işlem \( (15 + 25) + 10 \) şeklindedir.
Birleşme özelliğini kullanarak bu işlemi şu şekilde gruplandırabiliriz:

• \( 15 + (25 + 10) \)

Şimdi bu yeni gruplandırmayı çözelim:
\( 25 + 10 = 35 \) ➕
\( 15 + 35 = 50 \) ✅
İlk gruplandırmanın sonucu da \( (15 + 25) + 10 = 40 + 10 = 50 \) idi. Sonuç değişmedi! 💡

Çarpma işleminde birleşme özelliği, üç veya daha fazla sayıyı çarparken sayıları farklı şekillerde gruplandırabileceğimiz anlamına gelir.
Yani, \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \) şeklindedir.
Soruda verilen işlem \( 5 \times (6 \times 3) \) şeklindedir.
Birleşme özelliğini kullanarak bu işlemi şu şekilde gruplandırabiliriz:

• \( (5 \times 6) \times 3 \)

Şimdi bu yeni gruplandırmayı çözelim:
\( 5 \times 6 = 30 \) ✖️
\( 30 \times 3 = 90 \) ✅
İlk gruplandırmanın sonucu da \( 5 \times (6 \times 3) = 5 \times 18 = 90 \) idi. Sonuç değişmedi! 💯

Bu problemi çözmek için toplama ve çarpma işlemlerinin özelliklerini kullanabiliriz. 🍎🍐
Toplam meyve miktarını bulmak için öncelikle toplam kasa sayısını bulup sonra her kasadaki meyve miktarıyla çarpabiliriz veya her meyve türünün toplam ağırlığını bulup sonra toplayabiliriz.

Yol 1: Toplama ve Değişme Özelliği

• Toplam elma kasası: 3
• Toplam armut kasası: 5
• Toplam kasa sayısı: \( 3 + 5 \)
• Her kasada 12 kg meyve var.

Toplam meyve miktarı = \( (3 + 5) \times 12 \)
Toplama işleminde değişme özelliğini kullanarak: \( (5 + 3) \times 12 \)
\( 3 + 5 = 8 \) kasa
\( 8 \times 12 = 96 \) kilogram meyve. ✅

Yol 2: Çarpma ve Birleşme Özelliği

• Elmaların toplam ağırlığı: \( 3 \times 12 \)
• Armutların toplam ağırlığı: \( 5 \times 12 \)

Toplam meyve miktarı = \( (3 \times 12) + (5 \times 12) \)
Bu ifadeyi birleşme özelliği ile şöyle de yazabiliriz (dağılma özelliğine benzer ama burada birleşme özelliğini vurguluyoruz):
Önce her bir meyve türünün ağırlığını bulalım:
\( 3 \times 12 = 36 \) kg elma 🍎
\( 5 \times 12 = 60 \) kg armut 🍐
Toplam: \( 36 + 60 = 96 \) kilogram meyve. ✅

Her iki yolla da aynı sonuca ulaştık! 💯

Ayşe'nin ödeyeceği toplam parayı bulmak için önce defterlerin toplam fiyatını, sonra da kalemlerin toplam fiyatını hesaplayıp bu iki tutarı toplamalıyız. 📝💰

Defterlerin Toplam Fiyatı:

• Tanesi 3 TL olan 4 defter.
• Fiyat: \( 4 \times 3 \) TL

Burada değişme özelliğini kullanarak \( 3 \times 4 \) şeklinde de düşünebiliriz. Sonuç her iki durumda da 12 TL olacaktır. 👈

Kalemlerin Toplam Fiyatı:

• Tanesi 2 TL olan 5 kalem.
• Fiyat: \( 5 \times 2 \) TL

Burada da değişme özelliğini kullanarak \( 2 \times 5 \) şeklinde düşünebiliriz. Sonuç her iki durumda da 10 TL olacaktır. 👈

Toplam Ödeme:
Toplam ödeme = Defterlerin Fiyatı + Kalemlerin Fiyatı
Toplam ödeme = \( (4 \times 3) + (5 \times 2) \) TL
Toplam ödeme = \( 12 + 10 \) TL
Toplam ödeme = 22 TL ✅

Birleşme Özelliği ile Farklı Bir Bakış Açısı:
Eğer şöyle düşünürsek:
Ayşe'nin toplam kaç tane ürün aldığını bulup, sonra her bir ürünün ortalama fiyatını düşünmek yerine, doğrudan toplam fiyatı hesaplıyoruz.
Bu örnekte doğrudan birleşme özelliğini kullanmak yerine, daha çok değişme özelliği ve temel toplama/çarpma işlemleri ön planda. Ancak, eğer farklı gruplamalar yapsaydık, örneğin:

• (4 defter + 5 kalem) şeklinde bir gruplama yapıp sonra fiyatlandırmak (bu durumda ortalama fiyat gibi karmaşık bir durum ortaya çıkar ki 5. sınıfta bu yoktur).

Bu örnekte en net görülen özellik, çarpma işlemindeki değişme özelliğidir. 💡

Bu soruda aslında dağılma özelliği (çarpmanın toplama üzerine dağılması) ile birleşme özelliğini bir arada kullanmış oluyoruz. Ancak biz istenen "birleşme özelliği"ni vurgulayarak çözeceğiz.

Verilen işlem: \( 15 \times (20 + 5) \)

1. Gruplandırma (Soruda Verildiği Gibi):
Önce parantez içindeki toplama yapılır:
\( 20 + 5 = 25 \) ➕
Sonra çarpma işlemi yapılır:
\( 15 \times 25 \)
Bu çarpma işlemini yaparsak: \( 15 \times 25 = 375 \) ✅

2. Farklı Gruplandırma (Birleşme Özelliği Vurgusu):
Burada birleşme özelliğini, sanki iki ayrı çarpma işleminin toplamı gibi düşünerek uygulayabiliriz. Ancak 5. sınıf müfredatında bu daha çok dağılma özelliği olarak ele alınır. Yine de birleşme özelliğini kullanarak bir gruplandırma yapalım:

Eğer \( 15 \times 20 \) ve \( 15 \times 5 \) işlemlerini ayrı ayrı hesaplayıp sonra toplarsak, bu aslında dağılma özelliğidir. Birleşme özelliğinde genellikle aynı işlem türündeki sayılar gruplanır (örn: \( a \times b \times c \)).

Soruyu tam olarak birleşme özelliği çerçevesinde ele alırsak, bu genellikle \( a \times b \times c \) gibi üçlü çarpımlarda kullanılır.

Ancak, eğer soruyu şöyle anlarsak:
\( 15 \times (20 + 5) \) ifadesini, sanki \( 15 \times 20 \) ve \( 15 \times 5 \) işlemlerinin birleşimi gibi düşünerek, bu iki çarpımın sonucunu toplayabiliriz. Bu aslında dağılma özelliğinin kendisidir.

Dağılma Özelliği ile Çözüm (Birleşme Özelliği ile İlişkilendirme):

• \( 15 \times 20 = 300 \)
• \( 15 \times 5 = 75 \)

Şimdi bu iki sonucu toplayalım: \( 300 + 75 = 375 \) ✅

Gördüğünüz gibi, farklı gruplandırmalarla (veya dağılma özelliği ile) sonuca ulaşabiliyoruz. 💡

Bu problemi çözmek için bölme işleminin temel mantığını ve çarpma ile toplama özelliklerini kullanabiliriz. 🧐

Toplam kitap sayısı = 120
Raf sayısı = 3
Bir raftaki kitap sayısı = Toplam kitap sayısı / Raf sayısı
Bir raftaki kitap sayısı = \( 120 \div 3 \)

Bu işlemi çarpma işlemiyle ilişkilendirebiliriz:
Bir raftaki kitap sayısı \( \times \) Raf sayısı = Toplam kitap sayısı
\( x \times 3 = 120 \)
Burada \( x \) bir raftaki kitap sayısıdır.

Bu soruda doğrudan değişme veya birleşme özelliği kullanılmaz. Ancak, bu özelliklerin temelini oluşturan çarpma ve toplama işlemlerinin mantığı kullanılır.

Eğer kitaplar farklı sayılarda olsaydı, örneğin:

• 1. rafta \( a \) kitap
• 2. rafta \( b \) kitap
• 3. rafta \( c \) kitap

Toplam = \( a + b + c \)
Bu durumda birleşme özelliğini \( (a + b) + c = a + (b + c) \) şeklinde kullanabilirdik.

Eğer her rafta eşit sayıda kitap olsaydı ve bu sayıyı \( x \) olarak bilseydik, toplam kitap sayısı \( x \times 3 \) olurdu. Burada değişme özelliğini \( 3 \times x \) şeklinde de yazabilirdik. 👈

Dolayısıyla, bu problemde doğrudan değişme veya birleşme özelliği kullanılmasa da, bu özelliklerin üzerine kurulduğu temel matematiksel mantık (toplama ve çarpma) kullanılmaktadır. 💡

Toplama işleminde birleşme özelliği, sayıları farklı şekillerde gruplandırarak toplama yapmamızı sağlar.
Yani, \( a + (b + c) = (a + b) + c \) şeklindedir.
Soruda verilen işlem \( 50 + (25 + 15) \) şeklindedir.
Birleşme özelliğini kullanarak bu işlemi şu şekilde gruplandırabiliriz:

• \( (50 + 25) + 15 \)

Şimdi bu yeni gruplandırmayı çözelim:
\( 50 + 25 = 75 \) ➕
\( 75 + 15 = 90 \) ✅
İlk gruplandırmanın sonucu da \( 50 + (25 + 15) = 50 + 40 = 90 \) idi. Sonuç değişmedi! 💯

Çarpma işleminde değişme özelliği, çarpanların yerleri değiştirildiğinde sonucun değişmemesidir.
Yani, \( a \times b = b \times a \) şeklindedir.
Verilen işlem \( 7 \times 8 \) şeklindedir.
Değişme özelliğini kullanarak bu işlemi şu şekilde yazabiliriz:
\( 8 \times 7 \) 👈
Sonuç her iki durumda da aynı olacaktır: \( 7 \times 8 = 56 \) ve \( 8 \times 7 = 56 \). ✅