Bursluluk Hazırlığı Ders Notu

5. Sınıf Matematik: Bursluluk Hazırlığı - Kesirler

Kesirler, bir bütünün eş parçalara ayrılmasıyla oluşan sayılardır. 5. sınıfta kesirlerin temel kavramlarını, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini öğreniriz. Bursluluk sınavına hazırlık sürecinde bu konuları iyi anlamak büyük önem taşır.

1. Kesir Çeşitleri

Kesirler paylarına ve paydalarına göre farklılık gösterir:

• Basit Kesirler: Payı paydasından küçük olan kesirlerdir. Örneğin, \( \frac{1}{2} \), \( \frac{3}{4} \). Bu kesirlerin değeri 1'den küçüktür.
• Bileşik Kesirler: Payı paydasına eşit veya payı paydasından büyük olan kesirlerdir. Örneğin, \( \frac{5}{3} \), \( \frac{7}{7} \). Bu kesirlerin değeri 1'e eşit veya 1'den büyüktür.
• Tam Sayılı Kesirler: Bir tam sayı ile bir basit kesrin birleşimidir. Örneğin, \( 2 \frac{1}{3} \). Bu, 2 tam ve \( \frac{1}{3} \) birim anlamına gelir.

2. Denk Kesirler

Değerleri birbirine eşit olan kesirlere denk kesirler denir. Bir kesrin pay ve paydasını aynı sayı ile çarparak veya bölerek denk kesirler elde edebiliriz.

Örnek:

\( \frac{1}{2} \) kesrine denk kesirler bulalım:

• \( \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} \)
• \( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)
• \( \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} \)

Yani, \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10} \) denk kesirlerdir.

3. Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kesirlerle toplama ve çıkarma yaparken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, öncelikle paydaları eşitlemek için denk kesirler kullanılır.

• Paydalar Eşitse: Paylar toplanır veya çıkarılır, payda aynı kalır.
• Paydalar Farklıysa: Önce paydalar eşitlenir, sonra paylar toplanır veya çıkarılır.

Örnek:

\( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} \)

\( \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3-1}{5} = \frac{2}{5} \)

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \) işlemini yapalım:

Önce paydaları eşitleriz. 2 ve 3'ün en küçük ortak katı 6'dır.

\( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)

\( \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)

Şimdi toplama işlemini yapabiliriz: \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)

4. Kesirlerle Çarpma İşlemi

Kesirlerle çarpma işlemi yapılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

Örnek:

\( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \)

Bir tam sayıyı kesirle çarpmak için tam sayıyı payda 1 olan bir kesir gibi düşünebiliriz.

Örnek:

\( 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{3 \times 1}{1 \times 4} = \frac{3}{4} \)

5. Kesirlerle Bölme İşlemi

Kesirlerle bölme işlemi yapılırken, birinci kesir aynı kalır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.

Örnek:

\( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} \)

Bu kesir sadeleştirilebilir: \( \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} \)

Bir tam sayıyı kesre bölmek veya bir kesri tam sayıya bölmek de aynı mantıkla yapılır.

Örnek:

\( 5 \div \frac{1}{2} = \frac{5}{1} \times \frac{2}{1} = \frac{5 \times 2}{1 \times 1} = \frac{10}{1} = 10 \)

\( \frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{3 \times 4} = \frac{2}{12} \)

Sadeleştirilmiş hali: \( \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6} \)

6. Günlük Yaşamdan Örnekler

Kesirler günlük hayatımızın pek çok alanında karşımıza çıkar:

• Yemek Tarifleri: Bir tarifte \( \frac{1}{2} \) su bardağı un kullanmak.
• Zaman Ölçümü: Bir saatin \( \frac{1}{4} \) 'ü (15 dakika).
• Alışveriş: Bir ürünün fiyatında yapılan \( \frac{1}{3} \) indirim.
• Paylaşım: Bir pastanın \( \frac{3}{8} \) 'ini kardeşine vermek.

Çözümlü Örnek

Soru: Bir manav elindeki elmaların \( \frac{2}{5} \) 'ini sattı. Geriye elmalarının kaçta kaçı kalmıştır?

Çözüm:

Bütün elmalar 1 tam olarak kabul edilir. Satılan kısım \( \frac{2}{5} \) ise, kalan kısım 1'den satılan kısmı çıkarmakla bulunur.

Kalan = \( 1 - \frac{2}{5} \)

Tam sayıyı kesir olarak yazalım: \( 1 = \frac{5}{5} \)

Kalan = \( \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5-2}{5} = \frac{3}{5} \)

Manavın elmalarının \( \frac{3}{5} \) 'i kalmıştır.

Sadeleştirme ve Genişletme

Kesirleri sadeleştirmek, pay ve paydasını aynı sayının bölenleriyle bölmektir. Kesirleri genişletmek ise pay ve paydasını aynı sayının katlarıyla çarpmaktır.

Örnek:

Kesrini sadeleştirelim:

\( \frac{12}{18} \)

Hem 12 hem de 18, 2'ye bölünebilir: \( \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} \)

Hem 6 hem de 9, 3'e bölünebilir: \( \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} \)

Kesri en sade haline getirilmiş oldu.

Kesrini genişletelim:

\( \frac{3}{4} \)

Pay ve paydasını 5 ile genişletelim:

\( \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} \)

Yani, \( \frac{3}{4} \) ve \( \frac{15}{20} \) denk kesirlerdir.