💡 5. Sınıf Matematik: Birleşme değişme ve dağılma özelliği Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Toplama işleminde sayıların yerlerinin değiştirilmesi sonucu değiştirmez. Buna Toplama İşleminin Değişme Özelliği denir.
Aşağıdaki işlemde verilmeyen \( a \) değerini bulunuz:
\[ 45 + 78 = a + 45 \]
Çözüm ve Açıklama
Toplama işleminde sayıların yerleri değişse de toplam sonucu aynı kalır. 💡
Eşitliğin sol tarafında \( 45 \) ve \( 78 \) sayıları toplanmıştır.
Eşitliğin sağ tarafında ise \( a \) ve \( 45 \) sayıları toplanmıştır.
Değişme özelliği kuralına göre; \( 45 + 78 \) işlemi ile \( 78 + 45 \) işlemi birbirine eşittir.
Bu durumda \( a \) yerine gelmesi gereken sayı 78 olmalıdır. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Üç veya daha fazla sayı toplanırken, sayıların gruplandırılma sırasının değişmesi sonucu etkilemez. Buna Birleşme Özelliği denir.
Aşağıdaki eşitlikte \( b \) yerine hangi sayı gelmelidir?
\[ (12 + 34) + 56 = 12 + (b + 56) \]
Çözüm ve Açıklama
Birleşme özelliğini kullanarak adım adım çözelim: 🚀
Sol tarafta önce \( 12 \) ve \( 34 \) toplanmış, sonra sonuç \( 56 \) ile birleştirilmiştir.
Sağ tarafta ise \( 12 \) sayısı dışarıda bırakılmış, \( b \) ve \( 56 \) sayıları parantez içine alınmıştır.
Eşitliğin her iki tarafında da aynı sayıların bulunması gerekir.
Sayılarımızı kontrol edelim: Sol tarafta \( 12, 34, 56 \) sayıları varken, sağ tarafta \( 12, b, 56 \) sayıları vardır.
Bu durumda eksik olan sayı \( b = 34 \) olarak bulunur. ✅
3
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Çarpma işleminde çarpanların yerinin değişmesi çarpımı değiştirmez. Buna Çarpma İşleminin Değişme Özelliği denir.
Aşağıdaki çarpma işleminde \( x \) değerini hesaplayınız:
\[ 15 \times 8 = 8 \times x \]
Çözüm ve Açıklama
Çarpma işleminin temel özelliklerinden birini uygulayalım: 📝
İşlemde \( 15 \) ile \( 8 \) çarpılmaktadır.
Eşitliğin diğer tarafında çarpanların yeri değiştirilmiştir.
Değişme özelliği gereği \( 15 \times 8 \) ile \( 8 \times 15 \) aynı sonucu verir.
Dolayısıyla \( x \) sayısı 15 olmalıdır. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Çarpma işleminde sayıları kolay çarpılabilecek şekilde gruplandırmak işlem kolaylığı sağlar. Buna Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği denir.
Aşağıdaki işlemi en kolay yoldan yapınız:
\[ (4 \times 25) \times 13 \]
Çözüm ve Açıklama
İşlemi zihinden ve hızlıca yapmak için şu adımları izleriz: ⚡
Parantez içindeki \( 4 \times 25 \) işlemini önce yaparız.
\( 4 \times 25 = 100 \) (Bu sayıları çarpmak bize 100 gibi işlem yapması kolay bir sayı verir).
Bulduğumuz sonucu \( 13 \) ile çarparız:
\[ 100 \times 13 = 1300 \]
Eğer önce \( 25 \times 13 \) yapsaydık işlem daha zor olacaktı. Birleşme özelliği sayesinde işimizi kolaylaştırdık! ✅
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir kırtasiyeci, tanesi \( 12 \) TL olan kalemlerden ve tanesi \( 8 \) TL olan silgilerden \( 5 \)'er adet satmıştır. Kırtasiyecinin kazandığı toplam parayı dağılma özelliğini kullanarak hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu iki farklı şekilde düşünebiliriz ancak dağılma özelliği bize pratik bir yol sunar: 🛍️
Her iki üründen de \( 5 \) adet alındığı için, önce birer tanesinin toplam fiyatını bulup sonra \( 5 \) ile çarpabiliriz.
İşlemimiz: \( 5 \times (12 + 8) \)
Dağılma Özelliği Uygulaması: \( 5 \) sayısını parantez içindeki sayılara dağıtalım.
\( (5 \times 12) + (5 \times 8) \)
\( 5 \times 12 = 60 \) TL (Kalemlerin tutarı)
\( 5 \times 8 = 40 \) TL (Silgilerin tutarı)
\( 60 + 40 = 100 \) TL toplam kazanç. ✅
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Zihinden çarpma işlemi yaparken sayıları parçalayabiliriz. Aşağıdaki işlemi dağılma özelliğinden yararlanarak zihinden yapılış adımlarıyla gösteriniz:
\[ 7 \times 102 \]
Çözüm ve Açıklama
Büyük sayıları, işlem yapması kolay sayılara parçalamak harika bir yöntemdir! 🧠
İki farklı özelliği kullanarak harfleri tek tek bulalım: 🔍
Birinci İşlem (Birleşme Özelliği):
Eşitliğin her iki tarafında aynı sayılar olmalıdır. Sol tarafta \( 18, 5, 10 \) varken sağ tarafta \( 18, c, 10 \) vardır. Buradan \( c = 5 \) bulunur.
Bu durumda parantez içindeki \( 100 - d \) ifadesinde \( d = 1 \) olmalıdır.
Toplam: \( c + d = 5 + 1 = 6 \) olarak hesaplanır. ✅
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir okulun kütüphanesinde her birinde \( 15 \) kitap bulunan \( 24 \) adet raf vardır. Kütüphane görevlisi raflara \( 15 \)'er kitap daha eklemeye karar vermiştir.
Son durumda kütüphanedeki toplam kitap sayısını veren matematiksel ifadeyi ortak çarpan parantezine alma (dağılma özelliğinin tersi) yöntemiyle yazınız ve sonucu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Adım adım kütüphanedeki değişimi inceleyelim: 📚
Başlangıçtaki kitap sayısı: \( 24 \times 15 \)
Eklenen kitap sayısı: \( 24 \times 15 \) (Çünkü her rafa \( 15 \) tane daha eklendi).
Toplam kitap sayısı: \( (24 \times 15) + (24 \times 15) \)
Burada \( 24 \) sayısı her iki işlemde de ortak çarpandır.
İfadeyi şu şekilde yazabiliriz: \( 24 \times (15 + 15) \)
\( 24 \times 30 \)
\( 24 \times 3 = 72 \) olduğuna göre, \( 24 \times 30 = 720 \) kitap olur. ✅
5. Sınıf Matematik: Birleşme değişme ve dağılma özelliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Toplama işleminde sayıların yerlerinin değiştirilmesi sonucu değiştirmez. Buna Toplama İşleminin Değişme Özelliği denir.
Aşağıdaki işlemde verilmeyen \( a \) değerini bulunuz:
\[ 45 + 78 = a + 45 \]
Çözüm:
Toplama işleminde sayıların yerleri değişse de toplam sonucu aynı kalır. 💡
Eşitliğin sol tarafında \( 45 \) ve \( 78 \) sayıları toplanmıştır.
Eşitliğin sağ tarafında ise \( a \) ve \( 45 \) sayıları toplanmıştır.
Değişme özelliği kuralına göre; \( 45 + 78 \) işlemi ile \( 78 + 45 \) işlemi birbirine eşittir.
Bu durumda \( a \) yerine gelmesi gereken sayı 78 olmalıdır. ✅
Örnek 2:
Üç veya daha fazla sayı toplanırken, sayıların gruplandırılma sırasının değişmesi sonucu etkilemez. Buna Birleşme Özelliği denir.
Aşağıdaki eşitlikte \( b \) yerine hangi sayı gelmelidir?
\[ (12 + 34) + 56 = 12 + (b + 56) \]
Çözüm:
Birleşme özelliğini kullanarak adım adım çözelim: 🚀
Sol tarafta önce \( 12 \) ve \( 34 \) toplanmış, sonra sonuç \( 56 \) ile birleştirilmiştir.
Sağ tarafta ise \( 12 \) sayısı dışarıda bırakılmış, \( b \) ve \( 56 \) sayıları parantez içine alınmıştır.
Eşitliğin her iki tarafında da aynı sayıların bulunması gerekir.
Sayılarımızı kontrol edelim: Sol tarafta \( 12, 34, 56 \) sayıları varken, sağ tarafta \( 12, b, 56 \) sayıları vardır.
Bu durumda eksik olan sayı \( b = 34 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 3:
Çarpma işleminde çarpanların yerinin değişmesi çarpımı değiştirmez. Buna Çarpma İşleminin Değişme Özelliği denir.
Aşağıdaki çarpma işleminde \( x \) değerini hesaplayınız:
\[ 15 \times 8 = 8 \times x \]
Çözüm:
Çarpma işleminin temel özelliklerinden birini uygulayalım: 📝
İşlemde \( 15 \) ile \( 8 \) çarpılmaktadır.
Eşitliğin diğer tarafında çarpanların yeri değiştirilmiştir.
Değişme özelliği gereği \( 15 \times 8 \) ile \( 8 \times 15 \) aynı sonucu verir.
Dolayısıyla \( x \) sayısı 15 olmalıdır. ✅
Örnek 4:
Çarpma işleminde sayıları kolay çarpılabilecek şekilde gruplandırmak işlem kolaylığı sağlar. Buna Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği denir.
Aşağıdaki işlemi en kolay yoldan yapınız:
\[ (4 \times 25) \times 13 \]
Çözüm:
İşlemi zihinden ve hızlıca yapmak için şu adımları izleriz: ⚡
Parantez içindeki \( 4 \times 25 \) işlemini önce yaparız.
\( 4 \times 25 = 100 \) (Bu sayıları çarpmak bize 100 gibi işlem yapması kolay bir sayı verir).
Bulduğumuz sonucu \( 13 \) ile çarparız:
\[ 100 \times 13 = 1300 \]
Eğer önce \( 25 \times 13 \) yapsaydık işlem daha zor olacaktı. Birleşme özelliği sayesinde işimizi kolaylaştırdık! ✅
Örnek 5:
Bir kırtasiyeci, tanesi \( 12 \) TL olan kalemlerden ve tanesi \( 8 \) TL olan silgilerden \( 5 \)'er adet satmıştır. Kırtasiyecinin kazandığı toplam parayı dağılma özelliğini kullanarak hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruyu iki farklı şekilde düşünebiliriz ancak dağılma özelliği bize pratik bir yol sunar: 🛍️
Her iki üründen de \( 5 \) adet alındığı için, önce birer tanesinin toplam fiyatını bulup sonra \( 5 \) ile çarpabiliriz.
İşlemimiz: \( 5 \times (12 + 8) \)
Dağılma Özelliği Uygulaması: \( 5 \) sayısını parantez içindeki sayılara dağıtalım.
\( (5 \times 12) + (5 \times 8) \)
\( 5 \times 12 = 60 \) TL (Kalemlerin tutarı)
\( 5 \times 8 = 40 \) TL (Silgilerin tutarı)
\( 60 + 40 = 100 \) TL toplam kazanç. ✅
Örnek 6:
Zihinden çarpma işlemi yaparken sayıları parçalayabiliriz. Aşağıdaki işlemi dağılma özelliğinden yararlanarak zihinden yapılış adımlarıyla gösteriniz:
\[ 7 \times 102 \]
Çözüm:
Büyük sayıları, işlem yapması kolay sayılara parçalamak harika bir yöntemdir! 🧠
İki farklı özelliği kullanarak harfleri tek tek bulalım: 🔍
Birinci İşlem (Birleşme Özelliği):
Eşitliğin her iki tarafında aynı sayılar olmalıdır. Sol tarafta \( 18, 5, 10 \) varken sağ tarafta \( 18, c, 10 \) vardır. Buradan \( c = 5 \) bulunur.
Bu durumda parantez içindeki \( 100 - d \) ifadesinde \( d = 1 \) olmalıdır.
Toplam: \( c + d = 5 + 1 = 6 \) olarak hesaplanır. ✅
Örnek 8:
Bir okulun kütüphanesinde her birinde \( 15 \) kitap bulunan \( 24 \) adet raf vardır. Kütüphane görevlisi raflara \( 15 \)'er kitap daha eklemeye karar vermiştir.
Son durumda kütüphanedeki toplam kitap sayısını veren matematiksel ifadeyi ortak çarpan parantezine alma (dağılma özelliğinin tersi) yöntemiyle yazınız ve sonucu bulunuz.
Çözüm:
Adım adım kütüphanedeki değişimi inceleyelim: 📚
Başlangıçtaki kitap sayısı: \( 24 \times 15 \)
Eklenen kitap sayısı: \( 24 \times 15 \) (Çünkü her rafa \( 15 \) tane daha eklendi).
Toplam kitap sayısı: \( (24 \times 15) + (24 \times 15) \)
Burada \( 24 \) sayısı her iki işlemde de ortak çarpandır.
İfadeyi şu şekilde yazabiliriz: \( 24 \times (15 + 15) \)
\( 24 \times 30 \)
\( 24 \times 3 = 72 \) olduğuna göre, \( 24 \times 30 = 720 \) kitap olur. ✅