Zihinden çarpma işlemi yaparken sayıları parçalayarak dağılma özelliğinden faydalanabiliriz.
Bir okul gezisi için kişi başı ücret \( 22 \) TL'dir. Geziye katılan \( 6 \) öğrencinin toplam ödeyeceği ücreti \( 6 \times (20 + 2) \) işlemini kullanarak bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanacağız:
İşlemimiz: \( 6 \times (20 + 2) \)
1. Adım: Dışarıdaki \( 6 \) sayısını parantez içindeki ilk sayı ile çarpalım: \( 6 \times 20 = 120 \)
2. Adım: Dışarıdaki \( 6 \) sayısını parantez içindeki ikinci sayı ile çarpalım: \( 6 \times 2 = 12 \)
3. Adım: Bulduğumuz bu iki sonucu toplayalım: \( 120 + 12 = 132 \)
Öğrenciler toplam \( 132 \) TL ödeyecektir. 💰
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Ayşe marketten \( 12 \) TL'ye bir süt, \( 25 \) TL'ye bir paket bisküvi ve \( 18 \) TL'ye bir meyve suyu almıştır. Ayşe kasada ödeme yaparken sayıları daha kolay toplamak için \( (12 + 18) + 25 \) şeklinde bir gruplandırma yapmıştır.
Ayşe burada toplama işleminin hangi özelliğinden faydalanmıştır ve toplam kaç TL ödemiştir?
Çözüm ve Açıklama
Ayşe'nin yaptığı işlemleri inceleyelim:
Ayşe, sayıların yerini değiştirmiş ve birbirini 10'un katına tamamlayan sayıları (12 ve 18) önce toplamak için gruplandırmıştır.
Bu durum toplama işleminin hem değişme hem de birleşme özelliğini kullandığını gösterir.
Bir kütüphanedeki rafların her birinde \( 15 \) kitap bulunmaktadır. Kütüphanede toplam \( 4 \) raf ünitesi vardır ve her ünitede \( 5 \) raf bulunmaktadır.
Toplam kitap sayısını bulmak için yapılan \( (4 \times 5) \times 15 \) işlemi ile \( 4 \times (5 \times 15) \) işlemi arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde çarpma işleminin özellikleri test edilmektedir:
Birinci yöntem: Önce toplam raf sayısını bulup (\( 4 \times 5 = 20 \)), sonra kitap sayısıyla çarpmak (\( 20 \times 15 = 300 \)).
İkinci yöntem: Önce bir ünitedeki toplam kitap sayısını bulup (\( 5 \times 15 = 75 \)), sonra ünite sayısıyla çarpmak (\( 4 \times 75 = 300 \)).
Her iki yöntemde de sonuç aynıdır. Bu durum çarpma işleminin birleşme özelliği ile açıklanır.
Sayıların gruplandırılması değişse de kütüphanedeki toplam kitap sayısı olan \( 300 \) değişmez. 📚
8
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Aşağıdaki çıkarma işleminde sayıların yerini değiştirerek sonucu bulmaya çalışan bir öğrenci hata yapmaktadır:
\( 50 - 20 = 30 \)
\( 20 - 50 = ? \)
Bu durum bize çıkarma işleminin hangi özelliğe sahip olmadığını gösterir?
Çözüm ve Açıklama
Matematikte her işlemin özellikleri farklıdır:
Toplama ve çarpma işlemlerinde sayıların yerini değiştirebiliriz (Değişme Özelliği).
Ancak çıkarma işleminde sayıların yerini değiştirdiğimizde sonuç aynı kalmaz.
\( 50 - 20 = 30 \) iken, \( 20 \)'den \( 50 \) çıkardığımızda (5. sınıf seviyesinde) doğal sayılarda bir sonuç bulamayız.
Bu nedenle, çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.
⚠️ Dikkat: Özellikleri kullanırken hangi işlemde olduğumuza çok dikkat etmeliyiz!
5. Sınıf Matematik: Birleşme, dağılma ve değişme özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Toplama işleminde sayıların yerleri değişse de toplamın sonucu değişmez. Buna değişme özelliği denir.
Aşağıdaki işlemde verilmeyen \( a \) sayısını bulunuz:
\( 145 + 230 = 230 + a \)
Çözüm:
Toplama işleminin değişme özelliği kuralına göre:
Eşitliğin sol tarafında \( 145 \) ve \( 230 \) sayıları toplanmaktadır.
Eşitliğin sağ tarafında ise \( 230 \) sayısı ile \( a \) sayısı toplanmaktadır.
Sonucun aynı kalması için \( a \) sayısının, sol tarafta olup sağ tarafta eksik olan sayıya eşit olması gerekir.
Bu durumda \( a = 145 \) olur.
✅ Cevap: \( 145 \)
Örnek 2:
Üç veya daha fazla sayı toplanırken, sayıları farklı gruplara ayırarak toplamak sonucu değiştirmez. Buna birleşme özelliği denir.
Aşağıdaki eşitlikte \( b \) yerine gelmesi gereken sayıyı bulunuz:
\( (45 + 12) + 78 = 45 + (12 + b) \)
Çözüm:
Toplama işleminin birleşme özelliği kullanılarak çözüm yapılır:
Eşitliğin sol tarafında önce \( 45 \) ve \( 12 \) toplanmış, sonra \( 78 \) eklenmiştir.
Eşitliğin sağ tarafında ise \( 45 \) sayısı dışarıda bırakılmış, \( 12 \) ile \( b \) sayısının önce toplanması istenmiştir.
Sayıların gruplandırılması değişse de sayılar aynı kalmalıdır.
Sol tarafta bulunan \( 78 \) sayısı sağ tarafta eksik olan \( b \) sayısıdır.
Bu durumda \( b = 78 \) bulunur.
📍 İpucu: Parantezin yerinin değişmesi sonucu etkilemez!
Örnek 3:
Çarpma işleminde çarpanların yerinin değişmesi sonucu değiştirmez. Buna çarpma işleminin değişme özelliği denir.
Aşağıdaki işlemde \( c \) harfinin değerini bulunuz:
\( 15 \times 8 = c \times 15 \)
Çözüm:
Çarpma işleminin değişme özelliği kuralını uygulayalım:
Sol taraftaki işlemde çarpanlar \( 15 \) ve \( 8 \)'dir.
Sağ taraftaki işlemde çarpanlardan biri \( 15 \) olarak verilmiştir.
Eşitliğin bozulmaması için diğer çarpanın da aynı olması gerekir.
Buradan \( c = 8 \) olduğu görülür.
👉 Örnek: \( 3 \times 5 \) ile \( 5 \times 3 \) işlemleri aynı sonucu (\( 15 \)) verir.
Örnek 4:
Çarpma işleminde sayıları farklı şekilde gruplandırmak sonucu değiştirmez. Buna birleşme özelliği denir.
Aşağıdaki eşitliği sağlayan \( x \) değerini bulunuz:
Zihinden çarpma işlemi yaparken sayıları parçalayarak dağılma özelliğinden faydalanabiliriz.
Bir okul gezisi için kişi başı ücret \( 22 \) TL'dir. Geziye katılan \( 6 \) öğrencinin toplam ödeyeceği ücreti \( 6 \times (20 + 2) \) işlemini kullanarak bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanacağız:
İşlemimiz: \( 6 \times (20 + 2) \)
1. Adım: Dışarıdaki \( 6 \) sayısını parantez içindeki ilk sayı ile çarpalım: \( 6 \times 20 = 120 \)
2. Adım: Dışarıdaki \( 6 \) sayısını parantez içindeki ikinci sayı ile çarpalım: \( 6 \times 2 = 12 \)
3. Adım: Bulduğumuz bu iki sonucu toplayalım: \( 120 + 12 = 132 \)
Öğrenciler toplam \( 132 \) TL ödeyecektir. 💰
Örnek 6:
Ayşe marketten \( 12 \) TL'ye bir süt, \( 25 \) TL'ye bir paket bisküvi ve \( 18 \) TL'ye bir meyve suyu almıştır. Ayşe kasada ödeme yaparken sayıları daha kolay toplamak için \( (12 + 18) + 25 \) şeklinde bir gruplandırma yapmıştır.
Ayşe burada toplama işleminin hangi özelliğinden faydalanmıştır ve toplam kaç TL ödemiştir?
Çözüm:
Ayşe'nin yaptığı işlemleri inceleyelim:
Ayşe, sayıların yerini değiştirmiş ve birbirini 10'un katına tamamlayan sayıları (12 ve 18) önce toplamak için gruplandırmıştır.
Bu durum toplama işleminin hem değişme hem de birleşme özelliğini kullandığını gösterir.
Bir kütüphanedeki rafların her birinde \( 15 \) kitap bulunmaktadır. Kütüphanede toplam \( 4 \) raf ünitesi vardır ve her ünitede \( 5 \) raf bulunmaktadır.
Toplam kitap sayısını bulmak için yapılan \( (4 \times 5) \times 15 \) işlemi ile \( 4 \times (5 \times 15) \) işlemi arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Çözüm:
Bu problemde çarpma işleminin özellikleri test edilmektedir:
Birinci yöntem: Önce toplam raf sayısını bulup (\( 4 \times 5 = 20 \)), sonra kitap sayısıyla çarpmak (\( 20 \times 15 = 300 \)).
İkinci yöntem: Önce bir ünitedeki toplam kitap sayısını bulup (\( 5 \times 15 = 75 \)), sonra ünite sayısıyla çarpmak (\( 4 \times 75 = 300 \)).
Her iki yöntemde de sonuç aynıdır. Bu durum çarpma işleminin birleşme özelliği ile açıklanır.
Sayıların gruplandırılması değişse de kütüphanedeki toplam kitap sayısı olan \( 300 \) değişmez. 📚
Örnek 8:
Aşağıdaki çıkarma işleminde sayıların yerini değiştirerek sonucu bulmaya çalışan bir öğrenci hata yapmaktadır:
\( 50 - 20 = 30 \)
\( 20 - 50 = ? \)
Bu durum bize çıkarma işleminin hangi özelliğe sahip olmadığını gösterir?
Çözüm:
Matematikte her işlemin özellikleri farklıdır:
Toplama ve çarpma işlemlerinde sayıların yerini değiştirebiliriz (Değişme Özelliği).
Ancak çıkarma işleminde sayıların yerini değiştirdiğimizde sonuç aynı kalmaz.
\( 50 - 20 = 30 \) iken, \( 20 \)'den \( 50 \) çıkardığımızda (5. sınıf seviyesinde) doğal sayılarda bir sonuç bulamayız.
Bu nedenle, çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.
⚠️ Dikkat: Özellikleri kullanırken hangi işlemde olduğumuza çok dikkat etmeliyiz!