🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir bakteri popülasyonu, her saatte ikiye katlanarak çoğalmaktadır. Başlangıçta 100 bakteri olduğuna göre, 5 saat sonra kaç bakteri olur? 🦠
Çözüm:
Bu tür problemler, üstel fonksiyonlarla modellenebilir.
- Başlangıç bakteri sayısı: \( N_0 = 100 \)
- Büyüme oranı: Her saatte 2 katına çıkıyor.
- Zaman: \( t = 5 \) saat
- Üstel büyüme formülü: \( N(t) = N_0 \cdot a^t \), burada \( a \) büyüme çarpanıdır.
- Bu durumda \( a = 2 \) olur.
- Formülü uygulayalım: \( N(5) = 100 \cdot 2^5 \)
- Hesaplayalım: \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
- Sonuç: \( N(5) = 100 \times 32 = 3200 \)
Örnek 2:
\( f(x) = 3^{x-1} \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için birkaç nokta belirleyelim. \( x=1, x=2, x=3 \) değerleri için \( f(x) \) değerlerini hesaplayınız. 📈
Çözüm:
Fonksiyonun grafiğini çizmek için önemli noktaları bulmak, fonksiyonun davranışını anlamamıza yardımcı olur.
- \( x=1 \) için: \( f(1) = 3^{1-1} = 3^0 = 1 \). Nokta: \( (1, 1) \)
- \( x=2 \) için: \( f(2) = 3^{2-1} = 3^1 = 3 \). Nokta: \( (2, 3) \)
- \( x=3 \) için: \( f(3) = 3^{3-1} = 3^2 = 9 \). Nokta: \( (3, 9) \)
Örnek 3:
\( \log_2 16 \) ifadesinin değeri kaçtır? 🔢
Çözüm:
Logaritma, bir sayının başka bir sayının kaçıncı kuvveti olduğunu bulma işlemidir.
- \( \log_2 16 = x \) demek, \( 2^x = 16 \) demektir.
- \( 16 \) sayısını \( 2 \) tabanında yazalım: \( 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 \)
- O halde denklemimiz \( 2^x = 2^4 \) olur.
- Tabanlar eşit olduğundan, üsler de eşittir: \( x = 4 \)
Örnek 4:
\( \ln(e^5) \) ifadesinin değeri kaçtır? 🌳
Çözüm:
Doğal logaritma (\( \ln \)), tabanı \( e \) sayısı olan logaritmadır. \( e \) yaklaşık olarak \( 2.718 \) değerine eşittir.
- \( \ln(e^5) = x \) demek, \( e^x = e^5 \) demektir.
- Tabanlar eşit olduğundan, üsler de eşittir: \( x = 5 \)
- Genel kural: \( \log_b b^x = x \) ve \( \ln e^x = x \)
Örnek 5:
Bir yatırımın yıllık getirisi %10'dur. Başlangıçta 1000 TL yatırıldığında, kaç yıl sonra yatırımın değeri 2000 TL'ye ulaşır? (Hesaplamada logaritma kullanınız.) 💰
Çözüm:
Bu problem, bileşik faiz formülünü ve logaritmayı kullanarak çözülebilir.
- Başlangıç tutarı: \( P = 1000 \) TL
- Yıllık getiri oranı: \( r = 10% = 0.10 \)
- Bileşik faiz formülü: \( A = P(1+r)^t \), burada \( A \) son tutar, \( t \) yıl sayısıdır.
- Hedef tutar: \( A = 2000 \) TL
- Formülde verilenleri yerine koyalım: \( 2000 = 1000(1+0.10)^t \)
- Denklemi sadeleştirelim: \( 2000 = 1000(1.10)^t \)
- Her iki tarafı 1000'e bölelim: \( 2 = (1.10)^t \)
- Her iki tarafın logaritmasını alalım (doğal logaritma veya 10 tabanlı logaritma kullanabiliriz, burada \( \ln \) kullanalım): \( \ln(2) = \ln(1.10^t) \)
- Logaritmanın özelliğini kullanalım: \( \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) \)
- \( \ln(2) = t \cdot \ln(1.10) \)
- \( t \) yi bulmak için her iki tarafı \( \ln(1.10) \) ya bölelim: \( t = \frac{\ln(2)}{\ln(1.10)} \)
- Yaklaşık değerleri kullanalım: \( \ln(2) \approx 0.693 \) ve \( \ln(1.10) \approx 0.0953 \)
- \( t \approx \frac{0.693}{0.0953} \approx 7.27 \)
Örnek 6:
\( \log_3 (x-1) + \log_3 (x+1) = 1 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz. 🧮
Çözüm:
Logaritma denklemlerini çözerken, logaritmanın özelliklerini ve tanım kümesini göz önünde bulundurmak önemlidir.
- Öncelikle, logaritmanın tanım gereği argümanları pozitif olmalıdır:
- \( x-1 > 0 \implies x > 1 \)
- \( x+1 > 0 \implies x > -1 \)
- Bu iki koşulun kesişimi \( x > 1 \) dir.
- Şimdi denklemi çözelim. Logaritma özelliğini kullanalım: \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \)
- \( \log_3 ((x-1)(x+1)) = 1 \)
- \( (x-1)(x+1) \) ifadesini açalım: \( x^2 - 1 \)
- Denklemimiz \( \log_3 (x^2 - 1) = 1 \) olur.
- Logaritma tanımına göre: \( x^2 - 1 = 3^1 \)
- \( x^2 - 1 = 3 \)
- \( x^2 = 4 \)
- Buradan \( x = 2 \) veya \( x = -2 \) bulunur.
- Bulduğumuz \( x \) değerlerini tanım kümesiyle kontrol edelim: \( x > 1 \) olmalıydı.
- \( x = 2 \) değeri tanım kümesini sağlar.
- \( x = -2 \) değeri tanım kümesini sağlamaz.
Örnek 7:
Bir radyoaktif maddenin yarılanma ömrü 10 yıldır. Başlangıçta 80 gram madde varsa, 30 yıl sonra kaç gram madde kalır? ⚛️
Çözüm:
Radyoaktif bozunma, üstel fonksiyonlarla modellenen bir süreçtir ve yarılanma ömrü bu modelde önemli bir parametredir.
- Yarılanma ömrü: \( T_{1/2} = 10 \) yıl
- Başlangıç miktarı: \( N_0 = 80 \) gram
- Geçen zaman: \( t = 30 \) yıl
- Kalan madde miktarını hesaplamak için formül: \( N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \)
- Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( N(30) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{30}{10}} \)
- Üssü hesaplayalım: \( \frac{30}{10} = 3 \)
- \( N(30) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \)
- \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} \)
- \( N(30) = 80 \cdot \frac{1}{8} \)
- \( N(30) = \frac{80}{8} = 10 \)
Örnek 8:
\( \log_x (2x+3) = 2 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 🔑
Çözüm:
Bu tür denklemleri çözerken hem logaritmanın tanım kümesini hem de denklemdeki tabanın özelliklerini göz önünde bulundurmalıyız.
- Logaritmanın tanımına göre:
- Taban pozitif ve 1'den farklı olmalı: \( x > 0 \) ve \( x \neq 1 \)
- Argüman pozitif olmalı: \( 2x+3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -\frac{3}{2} \)
- Bu koşulların kesişimi: \( x > 0 \) ve \( x \neq 1 \)
- Şimdi denklemi logaritma tanımına göre yeniden yazalım: \( 2x+3 = x^2 \)
- Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Terimleri bir tarafa toplayalım: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
- Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz: \( (x-3)(x+1) = 0 \)
- Buradan \( x = 3 \) veya \( x = -1 \) elde ederiz.
- Bulduğumuz kökleri tanım kümesiyle kontrol edelim: \( x > 0 \) ve \( x \neq 1 \)
- \( x = 3 \) değeri tanım kümesini sağlar.
- \( x = -1 \) değeri tanım kümesini sağlamaz (çünkü \( x > 0 \) olmalı).
Örnek 9:
Bir cep telefonu, her yıl değerinin %20'sini kaybetmektedir. 5 yıl önce 5000 TL'ye alınan bir telefonun bugünkü değeri yaklaşık kaç TL'dir? (Hesaplamada üslü ifade kullanınız.) 📱
Çözüm:
Bu, üstel azalış (değer kaybı) modeline bir örnektir.
- Başlangıç değeri: \( V_0 = 5000 \) TL
- Yıllık değer kaybı oranı: \( r = 20% = 0.20 \)
- Her yıl kalan değer oranı: \( 1 - r = 1 - 0.20 = 0.80 \)
- Geçen süre: \( t = 5 \) yıl
- Üstel azalış formülü: \( V(t) = V_0 \cdot (1-r)^t \)
- Formülde verilenleri yerine koyalım: \( V(5) = 5000 \cdot (0.80)^5 \)
- \( (0.80)^5 \) değerini hesaplayalım:
- \( 0.8^2 = 0.64 \)
- \( 0.8^3 = 0.64 \times 0.8 = 0.512 \)
- \( 0.8^4 = 0.512 \times 0.8 = 0.4096 \)
- \( 0.8^5 = 0.4096 \times 0.8 = 0.32768 \)
- Şimdi başlangıç değeri ile çarpalım: \( V(5) = 5000 \times 0.32768 \)
- \( V(5) = 1638.4 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-ustel-ve-logaritmik-fonksiyonlar/sorular