🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Üstel ve logaritmik fonksiyonlar soru çözümü Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Üstel ve logaritmik fonksiyonlar soru çözümü Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( \log_2{16} \) ifadesinin değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için logaritmanın tanımını kullanacağız.
Logaritmanın tanımına göre, \( \log_b{a} = c \) ise \( b^c = a \) demektir.
Bu soruda tabanımız 2, sonucumuz 16. Bizden istenen üs değerini bulmak.
Yani, \( \log_2{16} = x \) ise, \( 2^x = 16 \) olmalıdır.
Şimdi 2'nin hangi kuvvetinin 16'ya eşit olduğunu bulalım:
Dolayısıyla, \( \log_2{16} = 4 \) bulunur. ✅
Logaritmanın tanımına göre, \( \log_b{a} = c \) ise \( b^c = a \) demektir.
Bu soruda tabanımız 2, sonucumuz 16. Bizden istenen üs değerini bulmak.
Yani, \( \log_2{16} = x \) ise, \( 2^x = 16 \) olmalıdır.
Şimdi 2'nin hangi kuvvetinin 16'ya eşit olduğunu bulalım:
- \( 2^1 = 2 \)
- \( 2^2 = 4 \)
- \( 2^3 = 8 \)
- \( 2^4 = 16 \)
Dolayısıyla, \( \log_2{16} = 4 \) bulunur. ✅
Örnek 2:
\( \ln(e^5) \) ifadesinin değerini hesaplayınız. 🌿
Çözüm:
Burada doğal logaritma (ln) kullanılmıştır. Doğal logaritma, tabanı \( e \) olan logaritmadır. Yani \( \ln(x) = \log_e(x) \) şeklinde yazılabilir.
Soruda verilen ifadeyi şu şekilde yazabiliriz:
\( \ln(e^5) = \log_e(e^5) \)
Logaritmanın bir diğer önemli özelliği şudur: \( \log_b(b^x) = x \)
Bu özelliği kullanarak, tabanımız \( e \) ve ifademiz \( e^5 \) olduğu için doğrudan üs değerini alabiliriz.
\( \log_e(e^5) = 5 \)
Bu nedenle, \( \ln(e^5) = 5 \) olur. 👉
Soruda verilen ifadeyi şu şekilde yazabiliriz:
\( \ln(e^5) = \log_e(e^5) \)
Logaritmanın bir diğer önemli özelliği şudur: \( \log_b(b^x) = x \)
Bu özelliği kullanarak, tabanımız \( e \) ve ifademiz \( e^5 \) olduğu için doğrudan üs değerini alabiliriz.
\( \log_e(e^5) = 5 \)
Bu nedenle, \( \ln(e^5) = 5 \) olur. 👉
Örnek 3:
\( \log_3{(x-1)} = 2 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz. 🧮
Çözüm:
Bu denklemde logaritmanın tanımını kullanarak \( x \) değerini bulabiliriz.
Verilen denklem: \( \log_3{(x-1)} = 2 \)
Logaritmanın tanımına göre, taban (3) ile sonucun (2) yer değiştirmesiyle üslü ifade elde ederiz:
\( 3^2 = x-1 \)
Şimdi bu üslü ifadeyi hesaplayalım:
\( 9 = x-1 \)
\( x \) değerini bulmak için denklemin her iki tarafına 1 ekleyelim:
\( 9 + 1 = x-1 + 1 \)
\( 10 = x \)
Bulduğumuz \( x=10 \) değerini orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edelim:
\( \log_3{(10-1)} = \log_3{9} \)
\( \log_3{9} \) ifadesinin değeri 2'dir çünkü \( 3^2 = 9 \).
Bu nedenle, denklem sağlanır ve \( x=10 \) doğru çözümdür. ✅
Verilen denklem: \( \log_3{(x-1)} = 2 \)
Logaritmanın tanımına göre, taban (3) ile sonucun (2) yer değiştirmesiyle üslü ifade elde ederiz:
\( 3^2 = x-1 \)
Şimdi bu üslü ifadeyi hesaplayalım:
\( 9 = x-1 \)
\( x \) değerini bulmak için denklemin her iki tarafına 1 ekleyelim:
\( 9 + 1 = x-1 + 1 \)
\( 10 = x \)
Bulduğumuz \( x=10 \) değerini orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edelim:
\( \log_3{(10-1)} = \log_3{9} \)
\( \log_3{9} \) ifadesinin değeri 2'dir çünkü \( 3^2 = 9 \).
Bu nedenle, denklem sağlanır ve \( x=10 \) doğru çözümdür. ✅
Örnek 4:
\( \log_5{25} + \log_5{5} - \log_5{1} \) işleminin sonucunu bulunuz. ➕➖
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için logaritmanın temel özelliklerinden faydalanacağız.
Özellikler:
1. \( \log_5{25} \) ifadesini hesaplayalım. \( 25 = 5^2 \) olduğu için, \( \log_5{25} = \log_5{5^2} = 2 \) olur.
2. \( \log_5{5} \) ifadesini hesaplayalım. Taban ile argüman aynı olduğu için, \( \log_5{5} = 1 \) olur.
3. \( \log_5{1} \) ifadesini hesaplayalım. Herhangi bir tabanda 1'in logaritması 0'dır, yani \( \log_5{1} = 0 \) olur.
Şimdi bu değerleri orijinal ifadede yerine koyalım:
\( 2 + 1 - 0 \)
İşlemi tamamladığımızda sonuç 3 bulunur.
Alternatif olarak, logaritma özelliklerini kullanarak tek bir logaritma altında toplayabiliriz:
\( \log_5{25} + \log_5{5} - \log_5{1} = \log_5{\frac{25 \cdot 5}{1}} \)
\( = \log_5{125} \)
\( 125 = 5^3 \) olduğu için, \( \log_5{125} = \log_5{5^3} = 3 \) olur.
Her iki yöntemle de sonuç 3'tür. 💯
Özellikler:
- \( \log_b{b^n} = n \)
- \( \log_b{1} = 0 \)
- \( \log_b{x} + \log_b{y} = \log_b{(x \cdot y)} \)
- \( \log_b{x} - \log_b{y} = \log_b{(x / y)} \)
1. \( \log_5{25} \) ifadesini hesaplayalım. \( 25 = 5^2 \) olduğu için, \( \log_5{25} = \log_5{5^2} = 2 \) olur.
2. \( \log_5{5} \) ifadesini hesaplayalım. Taban ile argüman aynı olduğu için, \( \log_5{5} = 1 \) olur.
3. \( \log_5{1} \) ifadesini hesaplayalım. Herhangi bir tabanda 1'in logaritması 0'dır, yani \( \log_5{1} = 0 \) olur.
Şimdi bu değerleri orijinal ifadede yerine koyalım:
\( 2 + 1 - 0 \)
İşlemi tamamladığımızda sonuç 3 bulunur.
Alternatif olarak, logaritma özelliklerini kullanarak tek bir logaritma altında toplayabiliriz:
\( \log_5{25} + \log_5{5} - \log_5{1} = \log_5{\frac{25 \cdot 5}{1}} \)
\( = \log_5{125} \)
\( 125 = 5^3 \) olduğu için, \( \log_5{125} = \log_5{5^3} = 3 \) olur.
Her iki yöntemle de sonuç 3'tür. 💯
Örnek 5:
Bir bakteri türünün nüfusu her saat \( 2 \) katına çıkmaktadır. Başlangıçta \( 100 \) bakteri olduğuna göre, \( t \) saat sonraki bakteri sayısını gösteren fonksiyonu logaritmik olarak ifade ediniz. 🦠
Çözüm:
Bu tür büyüme problemleri genellikle üslü fonksiyonlarla ifade edilir.
Başlangıçtaki bakteri sayısı \( N_0 = 100 \).
Her saat \( 2 \) katına çıktığı için büyüme oranı \( r = 2 \).
\( t \) saat sonraki bakteri sayısı \( N(t) \) şu şekilde verilir:
\( N(t) = N_0 \cdot r^t \)
Bu durumda:
\( N(t) = 100 \cdot 2^t \)
Şimdi bu üslü fonksiyonu logaritmik forma dönüştürmemiz isteniyor.
\( N(t) = 100 \cdot 2^t \)
Her iki tarafı 100'e bölelim:
\( \frac{N(t)}{100} = 2^t \)
Şimdi her iki tarafın logaritmasını alalım. Genellikle bu tür durumlarda tabanı 2 olan logaritma ( \( \log_2 \) ) veya doğal logaritma ( \( \ln \) ) kullanılır. Biz tabanı 2 olan logaritmayı kullanalım:
\( \log_2{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = \log_2{(2^t)} \)
Logaritmanın özelliklerinden \( \log_b{(b^x)} = x \) olduğunu biliyoruz. Bu yüzden sağ taraf \( t \) olur.
\( \log_2{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = t \)
Bu denklem, \( t \) saat sonraki bakteri sayısını veren fonksiyonu logaritmik olarak ifade eder.
Eğer doğal logaritma ( \( \ln \) ) kullanılsaydı:
\( \ln{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = \ln{(2^t)} \)
\( \ln{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = t \cdot \ln{2} \)
\( t = \frac{\ln{\left(\frac{N(t)}{100}\right)}}{\ln{2}} \)
Soruda özel bir logaritma tabanı belirtilmediği için \( \log_2{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = t \) şeklinde ifade etmek yeterlidir. 👉
Başlangıçtaki bakteri sayısı \( N_0 = 100 \).
Her saat \( 2 \) katına çıktığı için büyüme oranı \( r = 2 \).
\( t \) saat sonraki bakteri sayısı \( N(t) \) şu şekilde verilir:
\( N(t) = N_0 \cdot r^t \)
Bu durumda:
\( N(t) = 100 \cdot 2^t \)
Şimdi bu üslü fonksiyonu logaritmik forma dönüştürmemiz isteniyor.
\( N(t) = 100 \cdot 2^t \)
Her iki tarafı 100'e bölelim:
\( \frac{N(t)}{100} = 2^t \)
Şimdi her iki tarafın logaritmasını alalım. Genellikle bu tür durumlarda tabanı 2 olan logaritma ( \( \log_2 \) ) veya doğal logaritma ( \( \ln \) ) kullanılır. Biz tabanı 2 olan logaritmayı kullanalım:
\( \log_2{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = \log_2{(2^t)} \)
Logaritmanın özelliklerinden \( \log_b{(b^x)} = x \) olduğunu biliyoruz. Bu yüzden sağ taraf \( t \) olur.
\( \log_2{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = t \)
Bu denklem, \( t \) saat sonraki bakteri sayısını veren fonksiyonu logaritmik olarak ifade eder.
Eğer doğal logaritma ( \( \ln \) ) kullanılsaydı:
\( \ln{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = \ln{(2^t)} \)
\( \ln{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = t \cdot \ln{2} \)
\( t = \frac{\ln{\left(\frac{N(t)}{100}\right)}}{\ln{2}} \)
Soruda özel bir logaritma tabanı belirtilmediği için \( \log_2{\left(\frac{N(t)}{100}\right)} = t \) şeklinde ifade etmek yeterlidir. 👉
Örnek 6:
Bir yatırımın yıllık faiz oranı %5'tir. Başlangıçta 1000 TL olan yatırımın \( t \) yıl sonraki değerini veren formülü üslü olarak yazınız ve bu yatırımın 5000 TL'ye ulaşması için kaç yıl geçmesi gerektiğini logaritmik olarak hesaplayınız. 💰
Çözüm:
Bu bir bileşik faiz problemidir ve üslü fonksiyonlarla modellenebilir.
Başlangıçtaki anapara (P) = 1000 TL.
Yıllık faiz oranı (r) = %5 = 0.05.
\( t \) yıl sonraki yatırım değeri (A) şu formülle bulunur:
\( A(t) = P(1+r)^t \)
Bu soruda:
\( A(t) = 1000(1+0.05)^t \)
\( A(t) = 1000(1.05)^t \)
Bu, \( t \) yıl sonraki yatırım değerini veren üslü fonksiyondur. ✅
Şimdi yatırımın 5000 TL'ye ulaşması için gereken süreyi ( \( t \) ) logaritmik olarak hesaplayalım.
\( A(t) = 5000 \) olmasını istiyoruz.
\( 5000 = 1000(1.05)^t \)
Her iki tarafı 1000'e bölelim:
\( \frac{5000}{1000} = (1.05)^t \)
\( 5 = (1.05)^t \)
Bu üslü denklemi çözmek için her iki tarafın logaritmasını alalım. Genellikle doğal logaritma ( \( \ln \) ) veya 10 tabanlı logaritma ( \( \log \) ) kullanılır. Biz doğal logaritmayı kullanalım:
\( \ln(5) = \ln((1.05)^t) \)
Logaritmanın özelliğinden \( \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) \) olduğunu biliyoruz:
\( \ln(5) = t \cdot \ln(1.05) \)
\( t \) değerini bulmak için denklemi \( t \) için çözelim:
\( t = \frac{\ln(5)}{\ln(1.05)} \)
Şimdi bu değeri hesaplayalım (hesap makinesi kullanarak yaklaşık değer bulabiliriz):
\( \ln(5) \approx 1.6094 \)
\( \ln(1.05) \approx 0.04879 \)
\( t \approx \frac{1.6094}{0.04879} \approx 32.98 \) yıl.
Yani, yatırımın 5000 TL'ye ulaşması yaklaşık 33 yıl sürer. ⏳
Başlangıçtaki anapara (P) = 1000 TL.
Yıllık faiz oranı (r) = %5 = 0.05.
\( t \) yıl sonraki yatırım değeri (A) şu formülle bulunur:
\( A(t) = P(1+r)^t \)
Bu soruda:
\( A(t) = 1000(1+0.05)^t \)
\( A(t) = 1000(1.05)^t \)
Bu, \( t \) yıl sonraki yatırım değerini veren üslü fonksiyondur. ✅
Şimdi yatırımın 5000 TL'ye ulaşması için gereken süreyi ( \( t \) ) logaritmik olarak hesaplayalım.
\( A(t) = 5000 \) olmasını istiyoruz.
\( 5000 = 1000(1.05)^t \)
Her iki tarafı 1000'e bölelim:
\( \frac{5000}{1000} = (1.05)^t \)
\( 5 = (1.05)^t \)
Bu üslü denklemi çözmek için her iki tarafın logaritmasını alalım. Genellikle doğal logaritma ( \( \ln \) ) veya 10 tabanlı logaritma ( \( \log \) ) kullanılır. Biz doğal logaritmayı kullanalım:
\( \ln(5) = \ln((1.05)^t) \)
Logaritmanın özelliğinden \( \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) \) olduğunu biliyoruz:
\( \ln(5) = t \cdot \ln(1.05) \)
\( t \) değerini bulmak için denklemi \( t \) için çözelim:
\( t = \frac{\ln(5)}{\ln(1.05)} \)
Şimdi bu değeri hesaplayalım (hesap makinesi kullanarak yaklaşık değer bulabiliriz):
\( \ln(5) \approx 1.6094 \)
\( \ln(1.05) \approx 0.04879 \)
\( t \approx \frac{1.6094}{0.04879} \approx 32.98 \) yıl.
Yani, yatırımın 5000 TL'ye ulaşması yaklaşık 33 yıl sürer. ⏳
Örnek 7:
\( \log_4{x} + \log_4{(x-3)} = 1 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 🎯
Çözüm:
Bu denklemde logaritma özelliklerini kullanarak \( x \) değerlerini bulacağız.
Öncelikle logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanların pozitif olması gerekir:
Şimdi logaritma özelliğini kullanalım: \( \log_b{M} + \log_b{N} = \log_b{(M \cdot N)} \)
\( \log_4{x} + \log_4{(x-3)} = \log_4{(x \cdot (x-3))} \)
Denklemimiz şu hale gelir:
\( \log_4{(x(x-3))} = 1 \)
Şimdi logaritmanın tanımını kullanarak üslü ifadeye geçelim: \( \log_b{a} = c \iff b^c = a \)
\( 4^1 = x(x-3) \)
\( 4 = x^2 - 3x \)
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:
\( (x-4)(x+1) = 0 \)
Bu denklemin kökleri \( x=4 \) ve \( x=-1 \) dir.
Şimdi bulduğumuz kökleri, logaritmanın tanımlı olması için gereken koşul olan \( x > 3 \) ile kontrol edelim:
Çözüm kümesi \( \{4\} \) olur. ✅
Öncelikle logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanların pozitif olması gerekir:
- \( x > 0 \)
- \( x-3 > 0 \implies x > 3 \)
Şimdi logaritma özelliğini kullanalım: \( \log_b{M} + \log_b{N} = \log_b{(M \cdot N)} \)
\( \log_4{x} + \log_4{(x-3)} = \log_4{(x \cdot (x-3))} \)
Denklemimiz şu hale gelir:
\( \log_4{(x(x-3))} = 1 \)
Şimdi logaritmanın tanımını kullanarak üslü ifadeye geçelim: \( \log_b{a} = c \iff b^c = a \)
\( 4^1 = x(x-3) \)
\( 4 = x^2 - 3x \)
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:
\( (x-4)(x+1) = 0 \)
Bu denklemin kökleri \( x=4 \) ve \( x=-1 \) dir.
Şimdi bulduğumuz kökleri, logaritmanın tanımlı olması için gereken koşul olan \( x > 3 \) ile kontrol edelim:
- \( x=4 \): \( 4 > 3 \) olduğu için bu kök geçerlidir.
- \( x=-1 \): \( -1 > 3 \) olmadığı için bu kök geçerli değildir.
Çözüm kümesi \( \{4\} \) olur. ✅
Örnek 8:
\( \log_3{(2x+1)} - \log_3{(x-1)} = 2 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz. 🧮
Çözüm:
Bu soruda da logaritma özelliklerini ve tanımını kullanacağız.
Öncelikle logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanların pozitif olması gerekir:
Şimdi logaritma özelliğini kullanalım: \( \log_b{M} - \log_b{N} = \log_b{(M / N)} \)
\( \log_3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)} = 2 \)
Logaritmanın tanımını kullanarak üslü ifadeye geçelim: \( \log_b{a} = c \iff b^c = a \)
\( 3^2 = \frac{2x+1}{x-1} \)
\( 9 = \frac{2x+1}{x-1} \)
Şimdi denklemi \( x \) için çözelim. Denklemin her iki tarafını \( (x-1) \) ile çarpalım ( \( x > 1 \) olduğu için \( x-1 \neq 0 \) ):
\( 9(x-1) = 2x+1 \)
\( 9x - 9 = 2x+1 \)
\( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 9x - 2x = 1 + 9 \)
\( 7x = 10 \)
\( x = \frac{10}{7} \)
Bulduğumuz \( x = \frac{10}{7} \) değerini, tanımlılık koşulu olan \( x > 1 \) ile kontrol edelim:
\( \frac{10}{7} \approx 1.428 \) olup, \( 1.428 > 1 \) olduğundan bu çözüm geçerlidir. ✅
Dolayısıyla, denklemi sağlayan \( x \) değeri \( \frac{10}{7} \) 'dir. 👉
Öncelikle logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanların pozitif olması gerekir:
- \( 2x+1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2 \)
- \( x-1 > 0 \implies x > 1 \)
Şimdi logaritma özelliğini kullanalım: \( \log_b{M} - \log_b{N} = \log_b{(M / N)} \)
\( \log_3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)} = 2 \)
Logaritmanın tanımını kullanarak üslü ifadeye geçelim: \( \log_b{a} = c \iff b^c = a \)
\( 3^2 = \frac{2x+1}{x-1} \)
\( 9 = \frac{2x+1}{x-1} \)
Şimdi denklemi \( x \) için çözelim. Denklemin her iki tarafını \( (x-1) \) ile çarpalım ( \( x > 1 \) olduğu için \( x-1 \neq 0 \) ):
\( 9(x-1) = 2x+1 \)
\( 9x - 9 = 2x+1 \)
\( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 9x - 2x = 1 + 9 \)
\( 7x = 10 \)
\( x = \frac{10}{7} \)
Bulduğumuz \( x = \frac{10}{7} \) değerini, tanımlılık koşulu olan \( x > 1 \) ile kontrol edelim:
\( \frac{10}{7} \approx 1.428 \) olup, \( 1.428 > 1 \) olduğundan bu çözüm geçerlidir. ✅
Dolayısıyla, denklemi sağlayan \( x \) değeri \( \frac{10}{7} \) 'dir. 👉
Örnek 9:
Bir depremin şiddeti Richter ölçeği ile ölçülür. Richter ölçeği logaritmiktir ve depremin enerjisi \( E \) ile şiddeti \( R \) arasındaki ilişki \( R = \log_{10}{\left(\frac{E}{E_0}\right)} \) formülüyle verilir. Burada \( E_0 \) referans bir enerjidir. Eğer bir depremin şiddeti 7 ise, bu depremin enerjisinin referans enerjisinin kaç katı olduğunu logaritmik olarak ifade ediniz. 🌍
Çözüm:
Bu soruda Richter ölçeği formülünü kullanarak enerji oranını bulacağız.
Verilen formül: \( R = \log_{10}{\left(\frac{E}{E_0}\right)} \)
Depremin şiddeti \( R = 7 \) olarak verilmiş.
Bizden istenen, depremin enerjisinin referans enerjisinin kaç katı olduğudur, yani \( \frac{E}{E_0} \) oranını bulmak.
Formülde verilen değerleri yerine koyalım:
\( 7 = \log_{10}{\left(\frac{E}{E_0}\right)} \)
Bu logaritmik denklemi, \( \frac{E}{E_0} \) oranını bulmak için üslü ifadeye dönüştürelim. Logaritmanın tanımına göre \( \log_b{a} = c \iff b^c = a \):
\( 10^7 = \frac{E}{E_0} \)
Bu sonuç bize, şiddeti 7 olan bir depremin enerjisinin, referans enerjisinin \( 10^7 \) katı olduğunu gösterir.
Yani, \( \frac{E}{E_0} = 10,000,000 \).
Depremin enerjisi, referans enerjisinin 10 milyon katıdır. 💥
Verilen formül: \( R = \log_{10}{\left(\frac{E}{E_0}\right)} \)
Depremin şiddeti \( R = 7 \) olarak verilmiş.
Bizden istenen, depremin enerjisinin referans enerjisinin kaç katı olduğudur, yani \( \frac{E}{E_0} \) oranını bulmak.
Formülde verilen değerleri yerine koyalım:
\( 7 = \log_{10}{\left(\frac{E}{E_0}\right)} \)
Bu logaritmik denklemi, \( \frac{E}{E_0} \) oranını bulmak için üslü ifadeye dönüştürelim. Logaritmanın tanımına göre \( \log_b{a} = c \iff b^c = a \):
\( 10^7 = \frac{E}{E_0} \)
Bu sonuç bize, şiddeti 7 olan bir depremin enerjisinin, referans enerjisinin \( 10^7 \) katı olduğunu gösterir.
Yani, \( \frac{E}{E_0} = 10,000,000 \).
Depremin enerjisi, referans enerjisinin 10 milyon katıdır. 💥
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-ustel-ve-logaritmik-fonksiyonlar-soru-cozumu/sorular