🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Üslü sayılar özellikleri Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Üslü sayılar özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değerini bulunuz:
\[ 2^x \cdot 2^{x+2} = 64 \]
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değerini bulunuz:
\[ 2^x \cdot 2^{x+2} = 64 \]
Çözüm:
Üslü sayılarda tabanlar aynı ise çarpma işleminde üsler toplanır.
- Adım 1: Sol taraftaki ifadeyi tek tabanda yazalım:
\( 2^{x + (x+2)} = 2^{2x+2} \) - Adım 2: Sağ taraftaki \( 64 \) sayısını \( 2 \) tabanında yazalım:
\( 64 = 2^6 \) - Adım 3: Tabanlar eşit olduğuna göre üsleri birbirine eşitleyelim:
\( 2x + 2 = 6 \) - Adım 4: Denklemi çözelim:
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
Örnek 2:
Üssün Üssü Özelliği
Aşağıdaki eşitlikte \( x \) değerini hesaplayınız:
\[ (3^2)^x = 81^{x-1} \]
Aşağıdaki eşitlikte \( x \) değerini hesaplayınız:
\[ (3^2)^x = 81^{x-1} \]
Çözüm:
Üssün üssü alınırken üsler çarpılır ve tüm ifadeler aynı tabanda birleştirilir.
- Adım 1: Sol tarafı düzenleyelim:
\( (3^2)^x = 3^{2x} \) - Adım 2: Sağ taraftaki \( 81 \) sayısını \( 3 \) tabanında yazalım:
\( 81 = 3^4 \) - Adım 3: Sağ tarafın tamamını düzenleyelim:
\( (3^4)^{x-1} = 3^{4(x-1)} = 3^{4x-4} \) - Adım 4: Üsleri eşitleyelim:
\( 2x = 4x - 4 \) - Adım 5: Bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım:
\( 4 = 2x \)
\( x = 2 \)
Örnek 3:
Üslü Sayılarda Bölme İşlemi
Aşağıdaki işlemin sonucunu tek bir üslü sayı olarak yazınız:
\[ \frac{5^{12} \cdot 25^3}{125^2} \]
Aşağıdaki işlemin sonucunu tek bir üslü sayı olarak yazınız:
\[ \frac{5^{12} \cdot 25^3}{125^2} \]
Çözüm:
Bölme işleminde tabanlar aynı ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
- Adım 1: Tüm sayıları \( 5 \) tabanına çevirelim:
\( 25 = 5^2 \Rightarrow 25^3 = (5^2)^3 = 5^6 \)
\( 125 = 5^3 \Rightarrow 125^2 = (5^3)^2 = 5^6 \) - Adım 2: Pay kısmını hesaplayalım:
\( 5^{12} \cdot 5^6 = 5^{12+6} = 5^{18} \) - Adım 3: Bölme işlemini yapalım:
\[ \frac{5^{18}}{5^6} = 5^{18-6} = 5^{12} \]
Örnek 4:
Bakteri Çoğalması
Bir laboratuvar ortamındaki bakteri türü her saat başı miktarını iki katına çıkarmaktadır.
Başlangıçta ortamda \( 2^4 \) adet bakteri olduğuna göre, 10 saatin sonunda ortamda kaç adet bakteri bulunur?
Bir laboratuvar ortamındaki bakteri türü her saat başı miktarını iki katına çıkarmaktadır.
Başlangıçta ortamda \( 2^4 \) adet bakteri olduğuna göre, 10 saatin sonunda ortamda kaç adet bakteri bulunur?
Çözüm:
Bu bir üstel büyüme problemidir.
- Başlangıç: \( 2^4 \)
- 1. Saat: \( 2^4 \cdot 2 = 2^5 \)
- 2. Saat: \( 2^5 \cdot 2 = 2^6 \)
- n. Saat Formülü: \( \text{Başlangıç} \cdot 2^n \)
- 10. Saat: \( 2^4 \cdot 2^{10} \)
- Hesaplama: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayalım:
\( 2^{4+10} = 2^{14} \)
Örnek 5:
Dijital Depolama
Bir bilgisayarın hard diskinde her biri \( 2^{10} \) MB büyüklüğünde olan \( 16 \) adet dosya bulunmaktadır.
Bu dosyaların tamamı, her biri \( 2^8 \) MB kapasiteye sahip olan USB belleklere yüklenecektir.
Bu işlem için en az kaç adet USB bellek gereklidir?
Bir bilgisayarın hard diskinde her biri \( 2^{10} \) MB büyüklüğünde olan \( 16 \) adet dosya bulunmaktadır.
Bu dosyaların tamamı, her biri \( 2^8 \) MB kapasiteye sahip olan USB belleklere yüklenecektir.
Bu işlem için en az kaç adet USB bellek gereklidir?
Çözüm:
Toplam veri miktarını bulup, bir belleğin kapasitesine bölmemiz gerekir.
- Toplam Veri: \( 16 \cdot 2^{10} \)
\( 16 = 2^4 \) olduğu için;
\( 2^4 \cdot 2^{10} = 2^{14} \) MB toplam veri vardır. - Bellek Sayısı: \( \frac{\text{Toplam Veri}}{\text{Bir Bellek Kapasitesi}} \)
\[ \frac{2^{14}}{2^8} = 2^{14-8} = 2^6 \] - Sonuç: \( 2^6 = 64 \)
Örnek 6:
Üstel Fonksiyonlarla İlişki
\( f(x) = 3^x \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( \frac{f(x+3)}{f(x-1)} \) ifadesinin değerini bulunuz.
\( f(x) = 3^x \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( \frac{f(x+3)}{f(x-1)} \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyon kurallarını üslü sayı özellikleri ile birleştirelim.
- Adım 1: \( f(x+3) \) değerini yazalım:
\( f(x+3) = 3^{x+3} \) - Adım 2: \( f(x-1) \) değerini yazalım:
\( f(x-1) = 3^{x-1} \) - Adım 3: Bölme işlemini yapalım:
\[ \frac{3^{x+3}}{3^{x-1}} \] - Adım 4: Üsleri çıkaralım:
\( (x+3) - (x-1) = x + 3 - x + 1 = 4 \) - Adım 5: Sonucu bulalım:
\( 3^4 = 81 \)
Örnek 7:
Değişken Değiştirme Yöntemi
Aşağıdaki denklemin çözüm kümesini bulunuz:
\[ 4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0 \]
Aşağıdaki denklemin çözüm kümesini bulunuz:
\[ 4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0 \]
Çözüm:
Bu tür sorularda \( 2^x = t \) dönüşümü yapmak işi kolaylaştırır.
- Adım 1: \( 4^x = (2^x)^2 = t^2 \) olur.
- Adım 2: Denklemi \( t \) cinsinden yazalım:
\( t^2 - 6t + 8 = 0 \) - Adım 3: Çarpanlara ayıralım:
\( (t-4)(t-2) = 0 \) - Adım 4: \( t \) değerlerini bulalım:
\( t_1 = 4 \) ve \( t_2 = 2 \) - Adım 5: \( t \) yerine tekrar \( 2^x \) yazarak \( x \) değerlerini bulalım:
\( 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \)
\( 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 \)
Örnek 8:
Radyoaktif Bozunma
Bir radyoaktif maddenin miktarı her yıl yarıya düşmektedir (yarı ömür).
Başlangıçta \( 1024 \) gram olan bu maddeden 7 yıl sonra kaç gram kalır?
Bir radyoaktif maddenin miktarı her yıl yarıya düşmektedir (yarı ömür).
Başlangıçta \( 1024 \) gram olan bu maddeden 7 yıl sonra kaç gram kalır?
Çözüm:
Miktarın her yıl yarıya düşmesi, sürekli \( \frac{1}{2} \) ile çarpmak veya \( 2^{-1} \) ile çarpmak demektir.
- Başlangıç Miktarı: \( 1024 = 2^{10} \) gram.
- Azalma Oranı: Her yıl \( 2^{-1} \) katına çıkıyor.
- 7 Yıl Sonraki Miktar: \( 2^{10} \cdot (2^{-1})^7 \)
- Hesaplama:
\( 2^{10} \cdot 2^{-7} = 2^{10-7} = 2^3 \) - Sonuç: \( 2^3 = 8 \) gram.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-uslu-sayilar-ozellikleri/sorular