💡 12. Sınıf Matematik: Üçgenler Çözümlü Örnekler

Üçgenin iç açılarının toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz.

• Verilen açılar: \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \)
• Üçgenin iç açıları toplamı: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
• Değerleri yerine koyalım: \( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• Toplamı hesaplayalım: \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• \( \angle C \) değerini bulalım: \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
• Sonuç: \( \angle C = 60^\circ \)

Bu nedenle, \( \angle C \) açısı \( 60^\circ \) olur. ✅

Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor teoreminin tersini kullanabiliriz. Eğer en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse, üçgen dik üçgendir.

• Kenar uzunlukları: \( a = 5 \) cm, \( b = 12 \) cm, \( c = 13 \) cm
• En uzun kenar: \( c = 13 \) cm
• Pisagor teoreminin tersi kontrolü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Kareleri hesaplayalım: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)
• En uzun kenarın karesi: \( 13^2 = 169 \)
• Karşılaştırma: \( 169 = 169 \)

Eşitlik sağlandığı için, bu üçgen bir dik üçgendir. 📐

Kosinüs teoremi, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü bilindiğinde üçüncü kenarın uzunluğunu bulmamızı sağlar.

• Verilenler: \( c = |AB| = 8 \) cm, \( b = |AC| = 10 \) cm, \( \angle A = 30^\circ \)
• Bulunacak: \( a = |BC| \)
• Kosinüs Teoremi formülü: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)
• Değerleri yerine koyalım: \( a^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \times 10 \times 8 \times \cos 30^\circ \)
• Kosinüs değerini hesaplayalım: \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Hesaplamaya devam edelim: \( a^2 = 100 + 64 - 160 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Sadeleştirelim: \( a^2 = 164 - 80\sqrt{3} \)
• \( a \) değerini bulalım: \( a = \sqrt{164 - 80\sqrt{3}} \) cm

Bu nedenle, \( |BC| \) kenarının uzunluğu \( \sqrt{164 - 80\sqrt{3}} \) cm'dir. 📌

Dik üçgenlerde alan, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.

• Dik kenarlar: \( |AB| = 6 \) cm ve \( |BC| = 8 \) cm
• Dik açı: \( \angle B = 90^\circ \)
• Alan formülü: \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)
• Dik üçgenlerde taban ve yükseklik dik kenarlardır: \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times |AB| \times |BC| \)
• Değerleri yerine koyalım: \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \)
• Hesaplayalım: \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 48 \)
• Sonuç: \( \text{Alan} = 24 \) cm²

Bu üçgenin alanı \( 24 \) cm²'dir. 🏞️

Bu problemde, iki farklı yükseliş açısı ve iki gözlem noktası arasındaki mesafe kullanılarak ağacın boyu bulunacaktır. Trigonometrik oranlar ve denklem sistemi kurulacaktır.

• Ağacın boyu \( h \) metre olsun.
• A noktasından ağaca olan uzaklık \( x \) metre olsun.
• B noktasından ağaca olan uzaklık \( x + 10 \) metre olur.
• A noktasındaki gözlemci için: \( \tan 45^\circ = \frac{h}{x} \)
• \( \tan 45^\circ = 1 \) olduğundan, \( 1 = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x \)
• B noktasındaki gözlemci için: \( \tan 60^\circ = \frac{h}{x+10} \)
• \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) olduğundan, \( \sqrt{3} = \frac{h}{x+10} \)
• \( h = \sqrt{3}(x+10) \)
• \( h = x \) eşitliğini kullanarak \( x \) yerine \( h \) yazalım: \( h = \sqrt{3}(h+10) \)
• Denklemi çözelim: \( h = h\sqrt{3} + 10\sqrt{3} \)
• \( h \) terimlerini bir araya getirelim: \( h - h\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \)
• \( h(1-\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} \)
• \( h \) değerini bulalım: \( h = \frac{10\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} \)
• Paydayı rasyonel hale getirelim: \( h = \frac{10\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{10\sqrt{3} + 10 \times 3}{1 - 3} = \frac{10\sqrt{3} + 30}{-2} \)
• Sadeleştirelim: \( h = -5\sqrt{3} - 15 \)
• Ancak yükseklik pozitif olmalıdır. Burada bir hata yaptık, B noktası A'ya göre ağaca daha yakın olmalıydı. Soruyu tekrar düzenleyelim: B noktası A noktasından 10 metre daha uzakta olsun.

Düzeltilmiş Yeni Nesil Soru ve Çözümü: Bir parkta, iki farklı noktadan bir ağacın tepesine bakılıyor. A noktasındaki gözlemci, ağacın tepesini \( 60^\circ \) yükseliş açısıyla görüyor. B noktasındaki gözlemci ise (A noktasından 10 metre uzakta ve ağaca doğru) ağacın tepesini \( 45^\circ \) yükseliş açısıyla görüyor. Ağacın boyunu (yerden yüksekliğini) hesaplayınız. (Ağacın dik olduğu varsayılacaktır.) 🌳🚶‍♂️ [SOLUTION] Bu problemde, iki farklı yükseliş açısı ve iki gözlem noktası arasındaki mesafe kullanılarak ağacın boyu bulunacaktır. Trigonometrik oranlar ve denklem sistemi kurulacaktır.

• Ağacın boyu \( h \) metre olsun.
• A noktasından ağaca olan uzaklık \( x \) metre olsun.
• B noktasından ağaca olan uzaklık \( x + 10 \) metre olur.
• A noktasındaki gözlemci için: \( \tan 60^\circ = \frac{h}{x} \)
• \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) olduğundan, \( \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}} \)
• B noktasındaki gözlemci için: \( \tan 45^\circ = \frac{h}{x+10} \)
• \( \tan 45^\circ = 1 \) olduğundan, \( 1 = \frac{h}{x+10} \Rightarrow h = x+10 \)
• \( x \) yerine \( \frac{h}{\sqrt{3}} \) yazalım: \( h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 10 \)
• Denklemi çözelim: \( h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 10 \)
• \( h \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 10 \)
• \( h \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} \right) = 10 \)
• \( h = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \)
• Paydayı rasyonel hale getirelim: \( h = \frac{10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{10 \times 3 + 10\sqrt{3}}{3-1} = \frac{30 + 10\sqrt{3}}{2} \)
• Sadeleştirelim: \( h = 15 + 5\sqrt{3} \) metre

Ağacın boyu \( 15 + 5\sqrt{3} \) metredir. 🌲

Harita ölçeği, harita üzerindeki bir birimin gerçekte kaç birime karşılık geldiğini gösterir.

• Harita üzerindeki mesafe: \( 5 \) cm
• Ölçek: \( 1:200.000 \)
• Bu ölçek, haritadaki \( 1 \) cm'nin gerçekte \( 200.000 \) cm'ye karşılık geldiği anlamına gelir.
• Gerçek mesafeyi hesaplayalım: \( 5 \text{ cm} \times 200.000 = 1.000.000 \text{ cm} \)
• Bu mesafeyi metreye çevirelim ( \( 1 \) m = \( 100 \) cm): \( \frac{1.000.000}{100} = 10.000 \text{ m} \)
• Bu mesafeyi kilometreye çevirelim ( \( 1 \) km = \( 1000 \) m): \( \frac{10.000}{1000} = 10 \text{ km} \)

Bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık \( 10 \) kilometredir. 🚗

Heron formülü, bir üçgenin üç kenar uzunluğu bilindiğinde alanını hesaplamak için kullanılır.

• Kenar uzunlukları: \( a = 9 \) cm, \( b = 8 \) cm, \( c = 7 \) cm
• Önce yarı çevre \( u \) değerini hesaplayalım: \( u = \frac{a+b+c}{2} \)
• \( u = \frac{9+8+7}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm
• Heron Formülü: \( \text{Alan} = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \)
• Değerleri yerine koyalım: \( \text{Alan} = \sqrt{12(12-9)(12-8)(12-7)} \)
• \( \text{Alan} = \sqrt{12 \times 3 \times 4 \times 5} \)
• \( \text{Alan} = \sqrt{12 \times 60} \)
• \( \text{Alan} = \sqrt{720} \)
• Sadeleştirelim: \( \sqrt{720} = \sqrt{144 \times 5} = 12\sqrt{5} \) cm²

Bu üçgenin alanı \( 12\sqrt{5} \) cm²'dir. 💯

İkizkenar üçgenlerde taban açıları birbirine eşittir.

• Tepe açısı: \( 80^\circ \)
• Üçgenin iç açıları toplamı: \( 180^\circ \)
• Taban açıları toplamı: \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \)
• İki taban açısı eşit olduğundan, her bir taban açısı: \( \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \)

Bu nedenle, taban açılarından birinin ölçüsü \( 50^\circ \) olur. 👍

Sinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.

• Verilenler: \( \angle A = 45^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \), \( c = |AB| = 12 \) cm
• Bulunacak: \( b = |AC| \)
• Önce \( \angle C \) açısını bulalım: \( \angle C = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \)
• Sinüs Teoremi: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
• \( \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \) eşitliğini kullanalım
• Değerleri yerine koyalım: \( \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sin 75^\circ} \)
• \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)
• \( b = \frac{12 \times \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{12 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} \)
• \( b = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \)
• Paydayı rasyonel hale getirelim: \( b = \frac{24\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{24\sqrt{18} - 24\sqrt{6}}{6-2} = \frac{24 \times 3\sqrt{2} - 24\sqrt{6}}{4} \)
• \( b = \frac{72\sqrt{2} - 24\sqrt{6}}{4} = 18\sqrt{2} - 6\sqrt{6} \) cm

Bu nedenle, \( |AC| \) kenarının uzunluğu \( 18\sqrt{2} - 6\sqrt{6} \) cm'dir. ✨