💡 12. Sınıf Matematik: Türevde yerel ekstremum, artan azalan fonksiyonlar, maksimum minimum problemleri, belirsiz ve belirli integral, değişken değiştirme Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türevini alırız:

• \( f'(x) = 3x^2 - 6x \)

Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluruz:

• \( 3x^2 - 6x = 0 \)
• \( 3x(x - 2) = 0 \)
• Buradan \( x_1 = 0 \) ve \( x_2 = 2 \) bulunur.

Bu kritik noktaların yerel ekstremum olup olmadığını belirlemek için ikinci türev testini kullanabiliriz:

• İkinci türev: \( f''(x) = 6x - 6 \)
• \( x = 0 \) için: \( f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \). Bu bir yerel maksimum noktasıdır.
• \( x = 2 \) için: \( f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0 \). Bu bir yerel minimum noktasıdır.

Yerel ekstremum noktalarının koordinatları:

• Yerel Maksimum: \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 5 = 5 \). Nokta: \( (0, 5) \)
• Yerel Minimum: \( f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 5 = 8 - 12 + 5 = 1 \). Nokta: \( (2, 1) \)

✅ Sonuç olarak, fonksiyonun \( (0, 5) \) noktasında yerel maksimumu ve \( (2, 1) \) noktasında yerel minimumu vardır.

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin negatif olduğu aralıkları inceleriz.

• Önce fonksiyonun türevini alalım: \( g'(x) = 6x^2 + 6x - 12 \)

Şimdi türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım:

• \( 6x^2 + 6x - 12 = 0 \)
• Denklemi 6'ya bölelim: \( x^2 + x - 2 = 0 \)
• Çarpanlarına ayıralım: \( (x + 2)(x - 1) = 0 \)
• Kritik noktalar: \( x_1 = -2 \) ve \( x_2 = 1 \)

Bu kritik noktalar sayı doğrusunu üç aralığa böler: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 1) \) ve \( (1, \infty) \). Bu aralıklarda türevin işaretini inceleyelim:

• \( x < -2 \) için (örneğin \( x = -3 \)): \( g'(-3) = 6(-3)^2 + 6(-3) - 12 = 6(9) - 18 - 12 = 54 - 30 = 24 > 0 \) (Artan)
• \( -2 < x < 1 \) için (örneğin \( x = 0 \)): \( g'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 12 = -12 < 0 \) (Azalan)
• \( x > 1 \) için (örneğin \( x = 2 \)): \( g'(2) = 6(2)^2 + 6(2) - 12 = 6(4) + 12 - 12 = 24 > 0 \) (Artan)

✅ Fonksiyonun azalan olduğu aralık \( (-2, 1) \) dir.

Bu bir maksimum problemi olup, alanın maksimize edilmesi hedeflenmektedir.

• Bahçenin kenar uzunlukları \( x \) ve \( y \) metre olsun.
• Çevresi 100 metre olduğuna göre, \( 2x + 2y = 100 \) denklemi geçerlidir.
• Bu denklemden \( x + y = 50 \) elde edilir.
• Buradan \( y = 50 - x \) olarak yazılabilir.

Bahçenin alanı \( A = x \cdot y \) formülü ile bulunur. \( y \) yerine \( 50 - x \) yazarak alanı \( x \) cinsinden ifade edelim:

• \( A(x) = x(50 - x) = 50x - x^2 \)

Alanı maksimize etmek için alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleriz:

• \( A'(x) = 50 - 2x \)
• \( 50 - 2x = 0 \)
• \( 2x = 50 \)
• \( x = 25 \) metre

\( x = 25 \) metre bulunduğuna göre, \( y \) değerini bulalım:

• \( y = 50 - x = 50 - 25 = 25 \) metre

✅ Bahçenin boyutları 25 metreye 25 metre olmalıdır. Bu durumda bahçe kare şeklinde olur ve alanı en büyük olur.

Belirsiz integrali hesaplamak için her terimin ayrı ayrı integralini alırız ve sonuna bir sabit \( C \) ekleriz.

• \( \int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \)
• \( \int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2 \)
• \( \int 2 dx = 2x \)

Bu terimleri birleştirerek belirsiz integrali buluruz:

• \( \int (3x^2 - 4x + 2) dx = x^3 - 2x^2 + 2x + C \)

✅ Sonuç olarak, \( \int (3x^2 - 4x + 2) dx = x^3 - 2x^2 + 2x + C \) 'dir.

Belirli integrali hesaplamak için önce belirsiz integrali buluruz, ardından üst sınırı ve alt sınırı yerine koyarak farkını alırız.

• Önce \( \int (2x + 1) dx \) belirsiz integralini hesaplayalım:
• \( \int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \)
• \( \int 1 dx = x \)
• Dolayısıyla, \( \int (2x + 1) dx = x^2 + x + C \)

Şimdi belirli integrali hesaplamak için üst sınır (3) ve alt sınır (1) değerlerini yerine koyalım:

• \( [x^2 + x]_1^3 = (3^2 + 3) - (1^2 + 1) \)
• \( = (9 + 3) - (1 + 1) \)
• \( = 12 - 2 \)
• \( = 10 \)

✅ Sonuç olarak, \( \int_1^3 (2x + 1) dx = 10 \) 'dur.

Bu integrali çözmek için değişken değiştirme yöntemini kullanacağız.

• \( u = \sin x \) değişkenini seçelim.
• Bu durumda diferansiyeli \( du = \cos x dx \) olur.

Şimdi integralin sınırlarını da \( u \) değişkenine göre değiştirmemiz gerekiyor:

• Alt sınır: \( x = 0 \) iken, \( u = \sin(0) = 0 \)
• Üst sınır: \( x = \pi/2 \) iken, \( u = \sin(\pi/2) = 1 \)

Değişkenleri ve sınırları yerine koyarak yeni integrali elde ederiz:

• \( \int_0^1 u^3 du \)

Bu integrali hesaplayalım:

• \( \int_0^1 u^3 du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 \)
• \( = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \)
• \( = \frac{1}{4} - 0 \)
• \( = \frac{1}{4} \)

✅ Değişken değiştirme yöntemiyle \( \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx = \frac{1}{4} \) olarak bulunur.

Hareketlinin aldığı yolu bulmak için hız fonksiyonunun belirli integralini alırız. Yol, hızın zamana göre integralidir.

• Alınan yol \( s \), hız fonksiyonu \( v(t) \) 'nin belirli integralidir: \( s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \)
• Soruda ilk 2 saniye denildiği için sınırlarımız \( t_1 = 0 \) ve \( t_2 = 2 \) 'dir.

İntegrali hesaplayalım:

• \( s = \int_0^2 (3t^2 - 2t + 1) dt \)
• Önce belirsiz integrali alalım: \( \int (3t^2 - 2t + 1) dt = t^3 - t^2 + t + C \)

Şimdi belirli integralin sınırlarını uygulayalım:

• \( s = [t^3 - t^2 + t]_0^2 \)
• \( s = (2^3 - 2^2 + 2) - (0^3 - 0^2 + 0) \)
• \( s = (8 - 4 + 2) - (0) \)
• \( s = 6 \)

✅ Hareketlinin ilk 2 saniyede aldığı yol 6 metredir.

Toplam üretim maliyetini bulmak için marjinal maliyet fonksiyonunun integralini alırız ve sabit maliyeti ekleriz.

• Toplam maliyet fonksiyonu \( C(x) \) , marjinal maliyet fonksiyonu \( C'(x) \) 'in integralidir: \( C(x) = \int C'(x) dx \)
• \( C(x) = \int (2x + 50) dx \)
• \( C(x) = x^2 + 50x + K \) (Burada K, sabit maliyettir.)

Soruda sabit maliyetin 1000 TL olduğu belirtilmiştir. Bu \( C(0) = 1000 \) anlamına gelir.

• \( C(0) = 0^2 + 50(0) + K = 1000 \)
• \( K = 1000 \)

Dolayısıyla, toplam maliyet fonksiyonu \( C(x) = x^2 + 50x + 1000 \) 'dir. Şimdi ilk 100 adet ürünün toplam maliyetini hesaplayalım, yani \( C(100) \) değerini bulalım:

• \( C(100) = (100)^2 + 50(100) + 1000 \)
• \( C(100) = 10000 + 5000 + 1000 \)
• \( C(100) = 16000 \)

✅ Fabrikanın ilk 100 adet ürün için toplam üretim maliyeti 16000 TL'dir.