📄 12. Sınıf Matematik: Türevde yerel ekstremum, artan azalan fonksiyonlar, maksimum minimum problemleri, belirsiz ve belirli integral, değişken değiştirme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bahçenin duvara paralel olan kenarının uzunluğu \(y\) metre, diğer iki kenarının uzunluğu \(x\) metre olsun.

Tel uzunluğu: \(2x + y = 120\) metre. Buradan \(y = 120 - 2x\) elde edilir.

Bahçenin alanı: \(A(x) = x \times y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2\).

Alanın en fazla olması için \(A(x)\) fonksiyonunun maksimum değerini bulmalıyız. Bunun için \(A(x)\) fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyelim:

\(A'(x) = 120 - 4x\)

\(120 - 4x = 0 \implies 4x = 120 \implies x = 30\) metre.

Bu \(x\) değeri için \(y = 120 - 2(30) = 120 - 60 = 60\) metre olur.

Kenar uzunlukları \(x=30\) metre ve \(y=60\) metre olduğunda bahçenin alanı en fazla olur.

Maksimum alan: \(A(30) = 30 \times 60 = 1800\) metrekare.

💡 Çözüm Adımları:

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevini incelememiz gerekir.

\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)

Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım:

\(3x^2 - 12x + 9 = 0\)

Her tarafı 3'e bölelim:

\(x^2 - 4x + 3 = 0\)

Bu denklemi çarpanlarına ayıralım:

\((x-1)(x-3) = 0\)

Kritik noktalar \(x=1\) ve \(x=3\) 'tür.

Şimdi bu kritik noktaları kullanarak bir işaret tablosu oluşturalım:

\[

\begin{array}{|c|ccccccc|}



x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \



f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \



f(x) & & \text{Artan} & & \text{Azalan} & & \text{Artan} & \



\end{array}

\]

Tabloya göre:

* \((-\infty, 1)\) aralığında \(f'(x) > 0\) olduğu için fonksiyon artandır.

* \((1, 3)\) aralığında \(f'(x) < 0\) olduğu için fonksiyon azalandır.

* \((3, +\infty)\) aralığında \(f'(x) > 0\) olduğu için fonksiyon artandır.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen integral \(\int_0^1 x \sqrt{x^2+3} dx\).

Değişken değiştirme için \(u = x^2+3\) seçelim.

Bu durumda \(du = 2x dx\) olur. Yani \(x dx = \frac{1}{2} du\).

İntegralin sınırlarını da \(u\) cinsinden değiştirelim:

* Alt sınır: \(x=0\) için \(u = 0^2+3 = 3\).

* Üst sınır: \(x=1\) için \(u = 1^2+3 = 4\).

Şimdi integrali \(u\) cinsinden yazalım:

\(\int_3^4 \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_3^4 u^{1/2} du\)

İntegral alalım:

\(\frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_3^4 = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_3^4 = \frac{1}{3} \left[ u^{3/2} \right]_3^4\)

Sınırları yerine koyalım:

\(\frac{1}{3} (4^{3/2} - 3^{3/2}) = \frac{1}{3} ((\sqrt{4})^3 - (\sqrt{3})^3) = \frac{1}{3} (2^3 - (\sqrt{3})^3) = \frac{1}{3} (8 - 3\sqrt{3})\)

Sonuç olarak, integralin değeri \(\frac{8 - 3\sqrt{3}}{3}\) 'tür.