💡 12. Sınıf Matematik: Türev Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun türevini almak için her terimin türevini ayrı ayrı hesaplamamız gerekir.

• \(x^3\) teriminin türevi: \(3x^{3-1} = 3x^2\)
• \(-6x^2\) teriminin türevi: \(-6 \times 2x^{2-1} = -12x\)
• \(+5\) sabit teriminin türevi: \(0\)

Bu terimleri topladığımızda, fonksiyonun türevi \(f'(x) = 3x^2 - 12x\) olarak bulunur. ✅

Öncelikle \(g(x)\) fonksiyonunun türevini bulalım:

• \(5x^4\) teriminin türevi: \(5 \times 4x^{4-1} = 20x^3\)
• \(+2x\) teriminin türevi: \(2 \times 1x^{1-1} = 2\)
• \(-1\) sabit teriminin türevi: \(0\)

Dolayısıyla, \(g'(x) = 20x^3 + 2\).
Şimdi \(x=2\) değerini türevde yerine koyalım:
\(g'(2) = 20(2)^3 + 2 = 20(8) + 2 = 160 + 2 = 162\). ✅

Bu fonksiyonun türevini almak için çarpım kuralını kullanabiliriz: \((uv)' = u'v + uv'\).
Burada \(u = 2x+1\) ve \(v = x^2-3\).

• \(u'\) (u'nun türevi): \(2\)
• \(v'\) (v'nin türevi): \(2x\)

Şimdi çarpım kuralını uygulayalım:
\(h'(x) = (2)(x^2-3) + (2x+1)(2x)\)
\(h'(x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x\)
Türev ifadesini sadeleştirelim:
\(h'(x) = 6x^2 + 2x - 6\). ✅

Hareketlinin anlık hızı, konum fonksiyonunun zamana göre türevidir.
Konum fonksiyonu: \(s(t) = t^3 - 3t^2 + 5t\)
Hız fonksiyonu \(v(t) = s'(t)\) olacaktır.

• \(t^3\) teriminin türevi: \(3t^2\)
• \(-3t^2\) teriminin türevi: \(-3 \times 2t = -6t\)
• \(+5t\) teriminin türevi: \(5\)

Dolayısıyla, hız fonksiyonu \(v(t) = 3t^2 - 6t + 5\).
Şimdi 3. saniyedeki hızı bulmak için \(t=3\) değerini yerine koyalım:
\(v(3) = 3(3)^2 - 6(3) + 5 = 3(9) - 18 + 5 = 27 - 18 + 5 = 9 + 5 = 14\) metre/saniye. ✅

Bu fonksiyonun türevini almak için bölüm kuralını kullanmalıyız: \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
Burada \(u = x^2+1\) ve \(v = x-2\).

• \(u'\) (u'nun türevi): \(2x\)
• \(v'\) (v'nin türevi): \(1\)

Şimdi bölüm kuralını uygulayalım:
\(f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2+1)(1)}{(x-2)^2}\)
Pay kısmını açalım ve sadeleştirelim:
\(f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x-2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x-2)^2}\). ✅

Bu fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını kullanacağız. Zincir kuralı, bileşke fonksiyonların türevini almak için kullanılır.
İçteki fonksiyon \(u = 3x\) ve dıştaki fonksiyon \(f(u) = \sin(u)\) olsun.

• İçteki fonksiyonun türevi: \(u' = \frac{du}{dx} = 3\)
• Dıştaki fonksiyonun türevi: \(f'(u) = \frac{df}{du} = \cos(u)\)

Zincir kuralına göre, türev \(y' = f'(u) \times u'\) olacaktır.
\(y' = \cos(u) \times 3\)
Şimdi \(u\) yerine \(3x\) yazalım:
\(y' = 3\cos(3x)\). ✅

Marjinal maliyet, maliyet fonksiyonunun türevidir ve ek bir birim üretmenin maliyetindeki değişimi gösterir.
Maliyet fonksiyonu: \(C(x) = 0.01x^3 - 0.5x^2 + 10x + 500\)
Marjinal maliyet fonksiyonu \(MC(x) = C'(x)\) olacaktır.

• \(0.01x^3\) teriminin türevi: \(0.01 \times 3x^2 = 0.03x^2\)
• \(-0.5x^2\) teriminin türevi: \(-0.5 \times 2x = -x\)
• \(+10x\) teriminin türevi: \(10\)
• \(+500\) sabit teriminin türevi: \(0\)

Dolayısıyla, marjinal maliyet fonksiyonu \(MC(x) = 0.03x^2 - x + 10\).
Üretilen 100. birimin marjinal maliyetini bulmak için \(x=100\) değerini yerine koyalım:
\(MC(100) = 0.03(100)^2 - 100 + 10 = 0.03(10000) - 100 + 10 = 300 - 100 + 10 = 200 + 10 = 210\) TL. ✅

Gelir fonksiyonunu maksimize etmek için, fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlememiz gerekir. Bu, fonksiyonun kritik noktalarını bulmamızı sağlar.
Gelir fonksiyonu: \(R(x) = -x^2 + 20x\)
Türevini alalım:

• \(-x^2\) teriminin türevi: \(-2x\)
• \(+20x\) teriminin türevi: \(20\)

Dolayısıyla, \(R'(x) = -2x + 20\).
Şimdi türevi sıfıra eşitleyelim:
\(-2x + 20 = 0\)
\(-2x = -20\)
\(x = 10\) saat.
Bu, geliri maksimize eden çalışma süresidir. Şimdi bu süredeki maksimum geliri hesaplayalım:
\(R(10) = -(10)^2 + 20(10) = -100 + 200 = 100\) TL. ✅ Tasarımcı 10 saat çalışarak 100 TL maksimum geliri elde eder.