📄 12. Sınıf Matematik: Trigonometrik Denklemler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Denklemi çözmek için \( \sin(2x) \) ifadesini yarım açı formülü ile açalım: \( 2\sin x \cos x \). Denklem şu hale gelir: \( 2\sin x \cos x - \cos x = 0 \). Ortak çarpan \( \cos x \) parantezine alalım: \( \cos x (2\sin x - 1) = 0 \). Buradan iki durum ortaya çıkar:
Durum 1: \( \cos x = 0 \)
Bu durumda \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) dir. \( [0, 2\pi) \) aralığında \( k=0 \) için \( x = \frac{\pi}{2} \) ve \( k=1 \) için \( x = \frac{3\pi}{2} \) bulunur.
Durum 2: \( 2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \)
Bu durumda \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) veya \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) dir.
\( [0, 2\pi) \) aralığında \( k=0 \) için \( x = \frac{\pi}{6} \) ve \( x = \frac{5\pi}{6} \) bulunur.
Çözüm kümesi bu dört değerin birleşimi olacaktır: \( \{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \} \).

💡 Çözüm Adımları:

Bu, \( a\sin x + b\cos x = c \) tipinde bir denklemdir. Denklemi \( R\sin(x+\alpha) = c \) veya \( R\cos(x-\alpha) = c \) formuna dönüştürebiliriz. Burada \( a = \sqrt{3} \) ve \( b = 1 \) dir. \( R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \). Denklemin her iki tarafını \( R=2 \) ile bölelim:
\( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Burada \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) ve \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz. Bu değerleri yerine yazarsak:
\( \cos(\frac{\pi}{6})\sin x + \sin(\frac{\pi}{6})\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Bu ifade \( \sin(x + \frac{\pi}{6}) \) toplam formülüdür. Yani:
\( \sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Şimdi temel trigonometrik denklem çözümünü uygulayalım. \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğundan:
Durum 1: \( x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{2\pi - \pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
Durum 2: \( x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
\( x + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
Genel çözüm kümesi: \( \{ x \mid x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ veya } x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \).

💡 Çözüm Adımları:

Denklemi \( \sin x \) ve \( \cos x \) cinsinden yazarak basitleştirelim:
\( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 2 \)
Paydaları eşitleyelim:
\( \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 2 \)
Trigonometrik özdeşlik olan \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) ifadesini kullanalım:
\( \frac{1}{\sin x \cos x} = 2 \)
\( 1 = 2\sin x \cos x \)
Sağ taraftaki ifade \( \sin(2x) \) yarım açı formülüdür:
\( 1 = \sin(2x) \)
Yani \( \sin(2x) = 1 \) denklemini çözmeliyiz. \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \) olduğundan:
\( 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
Her tarafı 2'ye bölelim:
\( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)
Şimdi \( (0, \pi) \) aralığındaki kökleri bulalım:
\( k=0 \) için \( x = \frac{\pi}{4} \).
\( k=1 \) için \( x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \). Bu değer \( (0, \pi) \) aralığında değildir.
\( k=-1 \) için \( x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \). Bu değer de \( (0, \pi) \) aralığında değildir.
Denklemin \( (0, \pi) \) aralığındaki çözüm kümesi \( \{ \frac{\pi}{4} \} \) dir. Ayrıca, \( \tan x \) ve \( \cot x \) ifadeleri paydalarında \( \cos x \) ve \( \sin x \) içerdiğinden \( \sin x
eq 0 \) ve \( \cos x
eq 0 \) olmalıdır. \( x = \frac{\pi}{4} \) bu koşulları sağlar.