🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Trigonometri Toplam Fark Formülleri Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Trigonometri Toplam Fark Formülleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( \sin(75^\circ) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için toplam fark formüllerinden yararlanacağız. 75 derecenin, bildiğimiz özel açılardan (30, 45, 60, 90 gibi) toplamı veya farkı şeklinde yazılabileceğini fark etmeliyiz.
- 75\(^\circ\)'yi \( 45^\circ + 30^\circ \) olarak yazabiliriz.
- Sinüs toplam formülü: \( \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \)
- Bu formülde \( a = 45^\circ \) ve \( b = 30^\circ \) alalım.
- \( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \)
- Bildiğimiz özel açı değerlerini yerine koyalım:
- \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
- Değerleri formülde yerine yazalım:
- \( \sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \)
- \( \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \)
- Sonuç olarak: \( \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
Örnek 2:
\( \cos(15^\circ) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda da \( \cos(15^\circ) \) değerini bulmak için toplam fark formüllerini kullanacağız. 15 derecenin, bilinen özel açılardan farkı şeklinde yazılabileceğini görelim.
- 15\(^\circ\)'yi \( 45^\circ - 30^\circ \) olarak yazabiliriz.
- Kosinüs fark formülü: \( \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \)
- Bu formülde \( a = 45^\circ \) ve \( b = 30^\circ \) alalım.
- \( \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \)
- Bildiğimiz özel açı değerlerini yerine koyalım:
- \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
- Değerleri formülde yerine yazalım:
- \( \cos(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \)
- \( \cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \)
- Sonuç olarak: \( \cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
Örnek 3:
\( \tan(105^\circ) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Tanjant değeri için toplam fark formülünü kullanacağız. 105 derecenin, bilinen özel açıların toplamı şeklinde yazılabileceğini görelim.
- 105\(^\circ\)'yi \( 60^\circ + 45^\circ \) olarak yazabiliriz.
- Tanjant toplam formülü: \( \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \)
- Bu formülde \( a = 60^\circ \) ve \( b = 45^\circ \) alalım.
- \( \tan(105^\circ) = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ} \)
- Bildiğimiz özel açı değerlerini yerine koyalım:
- \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)
- \( \tan 45^\circ = 1 \)
- Değerleri formülde yerine yazalım:
- \( \tan(105^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - (\sqrt{3})(1)} \)
- \( \tan(105^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \)
- Paydayı rasyonel hale getirmek için eşleniği ile çarpalım: \( (1 + \sqrt{3}) \)
- \( \tan(105^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} \)
- \( \tan(105^\circ) = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} \)
- \( \tan(105^\circ) = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{1 - 3} \)
- \( \tan(105^\circ) = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} \)
- Sadeleştirirsek: \( \tan(105^\circ) = -2 - \sqrt{3} \)
Örnek 4:
\( \sin(a) = \frac{3}{5} \) ve \( \cos(b) = \frac{5}{13} \) veriliyor. \( a \) ve \( b \) dar açılar olduğuna göre, \( \sin(a+b) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda, \( \sin(a+b) \) formülünü kullanabilmek için \( \cos(a) \) ve \( \sin(b) \) değerlerine ihtiyacımız var. Dar açı bilgisi, bu değerlerin pozitif olacağını garanti eder.
- \( \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \)
- Verilenler: \( \sin a = \frac{3}{5} \) ve \( \cos b = \frac{5}{13} \).
- \( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \) özdeşliğinden \( \cos a \) değerini bulalım:
- \( \cos^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \)
- \( \cos^2 a + \frac{9}{25} = 1 \)
- \( \cos^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \)
- \( a \) dar açı olduğu için \( \cos a > 0 \). Dolayısıyla \( \cos a = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).
- \( \sin^2 b + \cos^2 b = 1 \) özdeşliğinden \( \sin b \) değerini bulalım:
- \( \sin^2 b + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \)
- \( \sin^2 b + \frac{25}{169} = 1 \)
- \( \sin^2 b = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \)
- \( b \) dar açı olduğu için \( \sin b > 0 \). Dolayısıyla \( \sin b = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \).
- Şimdi \( \sin(a+b) \) formülünde tüm değerleri yerine koyalım:
- \( \sin(a+b) = \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{5}{13}\right) + \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{12}{13}\right) \)
- \( \sin(a+b) = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} \)
- \( \sin(a+b) = \frac{63}{65} \)
Örnek 5:
\( \cos(a) = -\frac{1}{3} \) ve \( \sin(b) = \frac{2}{3} \) veriliyor. \( a \) ikinci bölgede, \( b \) birinci bölgede bir açı olduğuna göre, \( \cos(a-b) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda \( \cos(a-b) \) formülünü kullanacağız. Formül için \( \sin a \) ve \( \cos b \) değerlerine ihtiyacımız var. Bölge bilgileri işaretleri belirlemede önemli rol oynayacaktır.
- \( \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \)
- Verilenler: \( \cos a = -\frac{1}{3} \) (a ikinci bölgede) ve \( \sin b = \frac{2}{3} \) (b birinci bölgede).
- \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) özdeşliğinden \( \sin a \) değerini bulalım:
- \( \sin^2 a + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \)
- \( \sin^2 a + \frac{1}{9} = 1 \)
- \( \sin^2 a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
- \( a \) ikinci bölgede olduğu için \( \sin a > 0 \). Dolayısıyla \( \sin a = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
- \( \sin^2 b + \cos^2 b = 1 \) özdeşliğinden \( \cos b \) değerini bulalım:
- \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 b = 1 \)
- \( \frac{4}{9} + \cos^2 b = 1 \)
- \( \cos^2 b = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \)
- \( b \) birinci bölgede olduğu için \( \cos b > 0 \). Dolayısıyla \( \cos b = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \).
- Şimdi \( \cos(a-b) \) formülünde tüm değerleri yerine koyalım:
- \( \cos(a-b) = \left(-\frac{1}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right) \)
- \( \cos(a-b) = -\frac{\sqrt{5}}{9} + \frac{4\sqrt{2}}{9} \)
- \( \cos(a-b) = \frac{4\sqrt{2} - \sqrt{5}}{9} \)
Örnek 6:
Bir mühendis, bir köprünün iki ayağı arasındaki mesafeyi ölçmek istiyor. Mühendis, köprünün bir ayağının bulunduğu noktadan (A noktası) köprünün diğer ayağının bulunduğu noktaya (B noktası) doğru bakıyor ve bu doğrultu ile kuzey doğrultusu arasındaki açıyı \( \alpha \) olarak ölçüyor. Ardından, mühendis A noktasından 100 metre uzaklaşarak C noktasına geliyor ve C noktasından köprünün diğer ayağına (B noktası) baktığında, bu doğrultu ile kuzey doğrultusu arasındaki açıyı \( \beta \) olarak ölçüyor. Mühendis, \( \alpha \) ve \( \beta \) arasındaki ilişkiyi ve köprünün ayakları arasındaki mesafeyi (AB uzunluğu) hesaplamak istiyor. Eğer \( \alpha = 60^\circ \) ve \( \beta = 30^\circ \) ise, köprünün ayakları arasındaki mesafe kaç metredir? (A, B, C noktaları aynı düzlemdedir ve C noktasından bakıldığında B noktası, A noktasının kuzeydoğusundadır.)
Çözüm:
Bu problemde, trigonometrinin toplam fark formüllerini ve geometri bilgilerini bir arada kullanacağız. Problemi daha iyi anlamak için bir dik üçgen hayal edelim.
- Soruda verilen bilgiler ve geometrik yerleşim şu şekildedir:
- A noktası köprünün bir ayağı.
- B noktası köprünün diğer ayağı.
- C noktası, A noktasından 100 metre uzaklaşılmış bir nokta.
- A'dan B'ye bakış açısı ile kuzey arasındaki açı \( \alpha = 60^\circ \).
- C'den B'ye bakış açısı ile kuzey arasındaki açı \( \beta = 30^\circ \).
- C noktasından bakıldığında B noktasının A noktasının kuzeydoğusunda olması, \( \angle CAB \) açısının dar açı olduğunu ve B'nin A'ya göre konumunu belirtir.
- Problemi çözmek için bir dik üçgen oluşturalım. A noktasını orijin kabul edelim. Kuzey yönünü pozitif y ekseni olarak alalım.
- A noktasından B noktasına olan uzaklık \( |AB| = x \) olsun.
- A noktasından kuzeye doğru bir çizgi çizdiğimizde, AB doğrusu ile bu çizgi arasındaki açı \( \alpha = 60^\circ \).
- C noktası, A'dan 100 metre uzaklıkta ve kuzey doğrultusunda ilerlemiş olsun. Yani C noktasının koordinatları \( (0, 100) \) olur (A noktasını \( (0,0) \) alırsak).
- C noktasından B noktasına olan uzaklık \( |CB| \) olsun. C'den B'ye bakış açısı ile kuzey arasındaki açı \( \beta = 30^\circ \).
- Bu durumda, C noktasından kuzeye çizilen doğru ile CB doğrusu arasındaki açı \( 30^\circ \).
- Şimdi \( \tan \) fonksiyonunu kullanarak \( x \) değerini bulabiliriz.
- A noktasından B noktasına olan mesafeyi \( x \) olarak alırsak, A noktasından çizilen dikme ile AB arasındaki ilişkiyi \( \tan \) ile kurabiliriz.
- Ancak burada daha basit bir yaklaşım kullanabiliriz:
- A noktasından bir dikme indirelim ve bu dikmenin B noktası ile yaptığı açıları inceleyelim.
- A noktasından B'ye olan mesafeyi \( x \) olarak alırsak, A noktasından B'ye doğru olan eğim (kuzeye göre) \( \tan(90^\circ - 60^\circ) = \tan(30^\circ) \) ile ilgilidir.
- Ancak sorunun yapısı gereği, farklı bir dik üçgen kurmak daha mantıklı.
- A'dan bir dikme indirelim. Bu dikme \( h \) olsun. B'nin A'ya göre konumu için \( \tan(\alpha) \) veya \( \tan(90-\alpha) \) kullanabiliriz.
- Sorunun geometrik yapısını daha iyi görselleştirelim: A noktasından, B noktasına bir ışın gönderelim. Bu ışın ile kuzey doğrultusu \( 60^\circ \) açı yapsın.
- C noktası, A noktasından 100 metre kuzeyde olsun. C noktasından B noktasına bir ışın gönderelim. Bu ışın ile kuzey doğrultusu \( 30^\circ \) açı yapsın.
- Bu durumda, A noktasından B noktasına olan uzaklık \( x \) olsun.
- A noktasından B noktasına olan mesafeyi, B noktasının A'ya göre konumunu belirten bir dik üçgenle ifade edelim.
- B noktasının A'ya göre yatay uzaklığı \( y_A \) ve dikey uzaklığı \( x_A \) olsun.
- \( \tan(60^\circ) = \frac{y_A}{x_A} \) (Burada \( y_A \) dikey, \( x_A \) yatay uzaklık olarak düşünülebilir, ancak bu tanım açının konumuna göre değişir.)
- Daha doğru bir yaklaşım: A noktasından bir dikme indirelim. Bu dikme \( h \) olsun. B noktasının A'ya göre yüksekliği \( h \) olsun.
- \( \tan(60^\circ) = \frac{h}{d_A} \), burada \( d_A \) A'dan B'ye olan yatay mesafedir.
- C noktasından B noktasına olan yükseklik de \( h \) olacaktır.
- C noktasından bakıldığında kuzeyle yapılan açı \( 30^\circ \).
- C noktasının A'ya göre konumu 100 metre kuzeyde.
- Yani, C noktasının B'ye olan yatay uzaklığı \( d_C \) olsun.
- \( \tan(30^\circ) = \frac{h}{d_C} \).
- A noktasından B'ye olan yatay mesafe \( d_A \) ve C noktasından B'ye olan yatay mesafe \( d_C \) arasındaki ilişkiyi bulmalıyız.
- C noktası, A noktasının 100 metre kuzeyinde olduğundan, \( d_A = d_C - 100 \) olmalıdır (eğer B kuzeydoğuda ise).
- \( h = d_A \tan(60^\circ) = d_A \sqrt{3} \)
- \( h = d_C \tan(30^\circ) = d_C \frac{1}{\sqrt{3}} \)
- \( d_A \sqrt{3} = d_C \frac{1}{\sqrt{3}} \implies 3 d_A = d_C \)
- \( d_C = d_A + 100 \) (Çünkü C, A'nın kuzeyinde ve B'nin de kuzeyinde olduğu varsayılır.)
- \( 3 d_A = d_A + 100 \implies 2 d_A = 100 \implies d_A = 50 \) metre.
- Şimdi \( h \) değerini bulalım:
- \( h = d_A \tan(60^\circ) = 50 \sqrt{3} \) metre.
- Köprünün ayakları arasındaki mesafe \( |AB| \) ise, Pisagor teoremi ile bulunur:
- \( |AB|^2 = d_A^2 + h^2 \)
- \( |AB|^2 = 50^2 + (50\sqrt{3})^2 \)
- \( |AB|^2 = 2500 + (2500 \times 3) \)
- \( |AB|^2 = 2500 + 7500 = 10000 \)
- \( |AB| = \sqrt{10000} = 100 \) metre.
Örnek 7:
Bir yamaç paraşütü pilotu, yerden 500 metre yükseklikte uçmaktadır. Pilot, yamaç paraşütü ile yere doğru \( 15^\circ \) açıyla süzülmeye başlıyor. Pilotun, yere iniş yapacağı noktaya kadar yatayda kaç metre mesafe kat edeceğini hesaplamak istiyor. Bu hesaplamada toplam fark formüllerinden yararlanabilir miyiz? Evet, çünkü \( 15^\circ \) açısını \( 45^\circ - 30^\circ \) gibi bilinen açılara ayırarak işlem yapabiliriz.
Çözüm:
Bu günlük hayat örneğinde, pilotun süzülme açısı \( 15^\circ \) ve başlangıç yüksekliği 500 metredir. Pilotun yatayda kat edeceği mesafeyi bulmak için trigonometri kullanacağız.
- Yükseklik \( h = 500 \) metre.
- Süzülme açısı \( \theta = 15^\circ \).
- Yatayda kat edilecek mesafe \( x \) olsun.
- Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. Dik üçgenin dikey kenarı yükseklik (500 m) ve yatay kenarı \( x \) olacaktır. Süzülme açısı, bu dik üçgenin hipotenüsü ile yatay arasındaki açıdır.
- Yani, \( \tan(\theta) = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = \frac{h}{x} \)
- \( \tan(15^\circ) = \frac{500}{x} \)
- Şimdi \( \tan(15^\circ) \) değerini hesaplamak için toplam fark formülünü kullanalım:
- \( \tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) \)
- Tanjant fark formülü: \( \tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \)
- Burada \( a = 45^\circ \) ve \( b = 30^\circ \).
- \( \tan 45^\circ = 1 \) ve \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
- \( \tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + (1)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \)
- Paydayı rasyonel hale getirelim: \( (3 - \sqrt{3}) \) ile çarpalım.
- \( \tan(15^\circ) = \frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} \)
- Şimdi bu değeri \( \tan(15^\circ) = \frac{500}{x} \) denkleminde yerine koyalım:
- \( 2 - \sqrt{3} = \frac{500}{x} \)
- \( x = \frac{500}{2 - \sqrt{3}} \)
- Paydayı rasyonel hale getirelim: \( (2 + \sqrt{3}) \) ile çarpalım.
- \( x = \frac{500(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{500(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 500(2 + \sqrt{3}) \)
- \( x = 1000 + 500\sqrt{3} \) metre.
Örnek 8:
\( \sin(x) = \frac{1}{3} \) ve \( \cos(y) = \frac{1}{4} \) olarak veriliyor. \( x \) ve \( y \) dar açılar olduğuna göre, \( \sin(x-y) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda \( \sin(x-y) \) formülünü kullanacağız. Formül için \( \cos(x) \) ve \( \sin(y) \) değerlerine ihtiyacımız var. Dar açı bilgisi, bu değerlerin pozitif olacağını garanti eder.
- \( \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
- Verilenler: \( \sin x = \frac{1}{3} \) ve \( \cos y = \frac{1}{4} \).
- \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) özdeşliğinden \( \cos x \) değerini bulalım:
- \( \cos^2 x + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \)
- \( \cos^2 x + \frac{1}{9} = 1 \)
- \( \cos^2 x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
- \( x \) dar açı olduğu için \( \cos x > 0 \). Dolayısıyla \( \cos x = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
- \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \) özdeşliğinden \( \sin y \) değerini bulalım:
- \( \sin^2 y + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 \)
- \( \sin^2 y + \frac{1}{16} = 1 \)
- \( \sin^2 y = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \)
- \( y \) dar açı olduğu için \( \sin y > 0 \). Dolayısıyla \( \sin y = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \).
- Şimdi \( \sin(x-y) \) formülünde tüm değerleri yerine koyalım:
- \( \sin(x-y) = \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{4}\right) - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \)
- \( \sin(x-y) = \frac{1}{12} - \frac{2\sqrt{30}}{12} \)
- \( \sin(x-y) = \frac{1 - 2\sqrt{30}}{12} \)
Örnek 9:
\( \cos(x) = \frac{1}{2} \) ve \( \sin(y) = \frac{1}{3} \) veriliyor. \( x \) ikinci bölgede, \( y \) birinci bölgede bir açı olduğuna göre, \( \tan(x+y) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda \( \tan(x+y) \) formülünü kullanacağız. Formül için \( \tan x \) ve \( \tan y \) değerlerine ihtiyacımız var. Bölge bilgileri, bu değerlerin işaretlerini belirlemede kritik rol oynayacaktır.
- \( \tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \)
- Verilenler: \( \cos x = \frac{1}{2} \) (x ikinci bölgede) ve \( \sin y = \frac{1}{3} \) (y birinci bölgede).
- Öncelikle \( \sin x \) değerini bulalım:
- \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \implies \sin^2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 x + \frac{1}{4} = 1 \implies \sin^2 x = \frac{3}{4} \).
- \( x \) ikinci bölgede olduğu için \( \sin x > 0 \). Dolayısıyla \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- Şimdi \( \tan x \) değerini hesaplayalım:
- \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \).
- Ancak burada bir hata var! \( \cos x = \frac{1}{2} \) ise ve \( x \) ikinci bölgede ise bu mümkün değildir. İkinci bölgede kosinüs değeri negatif olmalıdır. Soruda bir tutarsızlık var.
- Soruyu düzeltelim: \( \cos x = -\frac{1}{2} \) olsun (x ikinci bölgede).
- Tekrar hesaplayalım:
- \( \cos x = -\frac{1}{2} \) (x ikinci bölgede)
- \( \sin^2 x + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 x + \frac{1}{4} = 1 \implies \sin^2 x = \frac{3}{4} \).
- \( x \) ikinci bölgede olduğu için \( \sin x > 0 \). Dolayısıyla \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \).
- Şimdi \( \sin y = \frac{1}{3} \) (y birinci bölgede) için \( \cos y \) ve \( \tan y \) değerlerini bulalım:
- \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \implies \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 y = 1 \implies \frac{1}{9} + \cos^2 y = 1 \implies \cos^2 y = \frac{8}{9} \).
- \( y \) birinci bölgede olduğu için \( \cos y > 0 \). Dolayısıyla \( \cos y = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
- \( \tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \).
- Şimdi \( \tan(x+y) \) formülünde değerleri yerine koyalım:
- \( \tan(x+y) = \frac{-\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{4}}{1 - (-\sqrt{3})\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)} = \frac{\frac{-4\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{\frac{-4\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{4 + \sqrt{6}}{4}} \)
- \( \tan(x+y) = \frac{-4\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6}} \)
- Paydayı rasyonel hale getirelim: \( (4 - \sqrt{6}) \) ile çarpalım.
- \( \tan(x+y) = \frac{(-4\sqrt{3} + \sqrt{2})(4 - \sqrt{6})}{(4 + \sqrt{6})(4 - \sqrt{6})} = \frac{-16\sqrt{3} + 4\sqrt{18} + 4\sqrt{2} - \sqrt{12}}{16 - 6} \)
- \( \tan(x+y) = \frac{-16\sqrt{3} + 4(3\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{10} = \frac{-16\sqrt{3} + 12\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{10} \)
- \( \tan(x+y) = \frac{-18\sqrt{3} + 16\sqrt{2}}{10} = \frac{-9\sqrt{3} + 8\sqrt{2}}{5} \)
Örnek 10:
\( \sin(20^\circ) \cos(25^\circ) + \cos(20^\circ) \sin(25^\circ) \) ifadesinin değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu ifade, sinüs toplam formülünün bir uygulamasıdır. Formülü tanıyarak doğrudan sonuca ulaşabiliriz.
- Sinüs toplam formülü: \( \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \)
- Verilen ifade \( \sin(20^\circ) \cos(25^\circ) + \cos(20^\circ) \sin(25^\circ) \) şeklindedir.
- Bu ifade, \( a = 20^\circ \) ve \( b = 25^\circ \) alındığında \( \sin(a+b) \) formülüne uymaktadır.
- Dolayısıyla, ifade \( \sin(20^\circ + 25^\circ) \) olarak yazılabilir.
- \( \sin(20^\circ + 25^\circ) = \sin(45^\circ) \)
- Bildiğimiz özel açı değeri: \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
- Sonuç olarak, ifadenin değeri \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-trigonometri-toplam-fark-formulleri/sorular