💡 12. Sınıf Matematik: Temel Kavramlar Çözümlü Örnekler

• 👉 Verilenler:
  • İlk terim \( a_1 = 5 \)
  • Ortak fark \( d = 3 \)
  • İstenen terim \( n = 7 \)
• ✅ Formülde yerine koyalım: \[ a_7 = a_1 + (7-1)d \] \[ a_7 = 5 + (6) \times 3 \] \[ a_7 = 5 + 18 \] \[ a_7 = 23 \]

Buna göre, dizinin 7. terimi 23'tür. 💡

• 👉 Verilenler:
  • İlk terim \( a_1 = 2 \)
  • Ortak çarpan \( r = 4 \)
  • İstenen terim \( n = 4 \)
• ✅ Formülde yerine koyalım: \[ a_4 = a_1 \cdot r^{4-1} \] \[ a_4 = 2 \cdot 4^3 \] \[ a_4 = 2 \cdot 64 \] \[ a_4 = 128 \]

Buna göre, dizinin 4. terimi 128'dir. 💡

• 👉 Fonksiyon \( f(x) = 2x^2 - 5x + 7 \) ve limit alınan nokta \( x = 3 \).
• ✅ x yerine 3 yazalım: \[ \lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 7) = 2(3)^2 - 5(3) + 7 \] \[ = 2(9) - 15 + 7 \] \[ = 18 - 15 + 7 \] \[ = 3 + 7 \] \[ = 10 \]

Bu limitin değeri 10'dur. 💡

• 👉 Payı çarpanlarına ayıralım:

  \( x^2 - 4 \) ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir. Yani \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) şeklindedir.

  \[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \]
• ✅ Şimdi limit ifadesini yeniden yazalım ve sadeleştirelim: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \]

  Limit alırken \( x \to 2 \) demek, x'in 2'ye çok yaklaştığı ancak 2 olmadığı anlamına gelir. Bu yüzden \( x-2 \neq 0 \) olduğundan sadeleştirme yapabiliriz.

  \[ \lim_{x \to 2} (x+2) \]
• ✅ Artık x yerine 2 koyarak limiti hesaplayabiliriz: \[ 2 + 2 = 4 \]

Bu limitin değeri 4'tür. 💡

• 👉 Fonksiyonun her bir teriminin türevini ayrı ayrı alalım:
  • \( (4x^3)' = 4 \cdot (3x^{3-1}) = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2 \)
  • \( (-2x^2)' = -2 \cdot (2x^{2-1}) = -2 \cdot 2x = -4x \)
  • \( (5x)' = 5 \cdot (1x^{1-1}) = 5 \cdot x^0 = 5 \cdot 1 = 5 \)
  • \( (-1)' = 0 \)
• ✅ Bu terimlerin türevlerini toplayarak \( f'(x) \) fonksiyonunu elde ederiz: \[ f'(x) = 12x^2 - 4x + 5 \]

Verilen fonksiyonun türevi \( f'(x) = 12x^2 - 4x + 5 \)'tir. 💡

• 👉 Öncelikle fonksiyonun türevini alalım: \[ f'(x) = (x^3)' - (3x)' + (1)' \] \[ f'(x) = 3x^2 - 3 + 0 \] \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]
• ✅ Şimdi \( x=2 \) noktasındaki teğetin eğimini bulmak için \( f'(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine 2 yazalım: \[ f'(2) = 3(2)^2 - 3 \] \[ f'(2) = 3(4) - 3 \] \[ f'(2) = 12 - 3 \] \[ f'(2) = 9 \]

\( x=2 \) noktasında fonksiyona çizilen teğetin eğimi 9'dur. 💡

• 👉 Fonksiyonun her bir teriminin integralini ayrı ayrı alalım:
  • \( \int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \)
  • \( \int -2x \, dx = -2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2 \)
  • \( \int 4 \, dx = 4x \)
• ✅ Bu integralleri toplayarak ve entegrasyon sabitini (C) ekleyerek sonucu buluruz: \[ \int (6x^2 - 2x + 4) \, dx = 2x^3 - x^2 + 4x + C \]

Belirsiz integralin sonucu \( 2x^3 - x^2 + 4x + C \)'dir. 💡

• 👉 Öncelikle konum fonksiyonu \( s(t) = t^2 + 5t \) 'nin türevini alarak hız fonksiyonunu \( v(t) \) bulalım: \[ v(t) = s'(t) \] \[ v(t) = (t^2)' + (5t)' \] \[ v(t) = 2t + 5 \]
• ✅ Şimdi aracın 3. saniyedeki anlık hızını bulmak için hız fonksiyonunda \( t \) yerine 3 yazalım: \[ v(3) = 2(3) + 5 \] \[ v(3) = 6 + 5 \] \[ v(3) = 11 \]

Aracın 3. saniyedeki anlık hızı 11 metre/saniye'dir. 💡 Bu, türevin gerçek dünyadaki bir hareketin hızını bulmak için nasıl kullanılabileceğini gösterir.