12. Sınıf Öklid ve Pisagor Çözümlü Sorular ve Örnekler

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Bir dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm uzunluğundadır. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Bir ABC üçgeninde, AB kenarı \(c = 10\) birim, BC kenarı \(a = 7\) birim ve AC kenarı \(b = 8\) birimdir. Bu üçgenin hangi açısının geniş açı olduğunu Öklid teoremlerini kullanarak belirleyiniz. 🧐

Çözüm ve Açıklama

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs teoremi, üçgenin kenar uzunlukları ve bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi verir.

Kosinüs Teoremi formülü: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)
Burada \(A\) açısını bulmak istiyoruz.
Formülü \( \cos A \) için düzenleyelim: \( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)
Verilen değerleri yerine koyalım: \( \cos A = \frac{8^2 + 10^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 10} \)
Hesaplamaları yapalım: \( \cos A = \frac{64 + 100 - 49}{160} \)
\( \cos A = \frac{115}{160} \)
\( \cos A \) pozitif olduğu için \(A\) açısı dar açıdır.
Şimdi \(B\) açısını hesaplayalım: \( \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 10^2 - 8^2}{2 \times 7 \times 10} = \frac{49 + 100 - 64}{140} = \frac{85}{140} \)
\( \cos B \) pozitif olduğu için \(B\) açısı dar açıdır.
Son olarak \(C\) açısını hesaplayalım: \( \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 - 10^2}{2 \times 7 \times 8} = \frac{49 + 64 - 100}{112} = \frac{13}{112} \)
Bekleyin, bir hata yaptım. Geniş açıyı bulmak için en uzun kenarın karşısındaki açıya bakmalıyız. En uzun kenar \(c = 10\) birimdir. Bu kenarın karşısındaki açı \(C\) açısıdır.
Tekrar \(C\) açısını hesaplayalım: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)
\( 10^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \cos C \)
\( 100 = 49 + 64 - 112 \cos C \)
\( 100 = 113 - 112 \cos C \)
\( 112 \cos C = 113 - 100 \)
\( 112 \cos C = 13 \)
\( \cos C = \frac{13}{112} \)
Bu da pozitif çıktı, demek ki bir yerde hata yaptım. En uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyükse açı geniştir.
\( c^2 = 10^2 = 100 \)
\( a^2 + b^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 \)
Burada \(c^2 < a^2 + b^2\) olduğu için \(C\) açısı dar açıdır.
Şimdi diğer kenarları kontrol edelim. En uzun kenar \(c=10\).
A açısı için \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\). \(7^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \times 8 \times 10 \cos A\). \(49 = 64 + 100 - 160 \cos A\). \(49 = 164 - 160 \cos A\). \(160 \cos A = 115\). \( \cos A = \frac{115}{160} > 0 \). \(A\) dar açı.
B açısı için \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\). \(8^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \times 7 \times 10 \cos B\). \(64 = 49 + 100 - 140 \cos B\). \(64 = 149 - 140 \cos B\). \(140 \cos B = 85\). \( \cos B = \frac{85}{140} > 0 \). \(B\) dar açı.
Tekrar kontrol edelim. Kenarlar 7, 8, 10. En uzun kenar 10. En uzun kenarın karesi \(10^2 = 100\). Diğer iki kenarın kareleri toplamı \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\).
Eğer en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyükse, o açısı geniştir. Burada \(100 < 113\). Bu durumda tüm açılar dar açıdır.
Soruda bir hata olabilir mi? Yoksa ben mi yanlış anladım? Öklid teoremleri dediği için kenar uzunlukları ile ilgili bir şey sormuş olmalı.
Tekrar Kosinüs Teoremi'ni gözden geçirelim. \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\). Eğer \(a^2 > b^2 + c^2\) ise \( \cos A < 0 \) olur ve \(A\) geniş açı olur.
Bizim kenarlarımız \(a=7, b=8, c=10\).
A açısı için: \(a^2 = 49\), \(b^2 + c^2 = 64 + 100 = 164\). \(49 < 164\), \(A\) dar açı.
B açısı için: \(b^2 = 64\), \(a^2 + c^2 = 49 + 100 = 149\). \(64 < 149\), \(B\) dar açı.
C açısı için: \(c^2 = 100\), \(a^2 + b^2 = 49 + 64 = 113\). \(100 < 113\), \(C\) dar açı.
Bu durumda sorunun kendisinde bir problem var gibi görünüyor veya ben bir şeyi gözden kaçırıyorum. "Öklid teoremleri" genel bir ifade. Belki de dik üçgenlerle ilgili bir şey kastediliyor.
Ancak verilen kenar uzunlukları ile dik üçgen oluşmaz.
Varsayalım ki soru şu şekilde olmalıydı: "Bir üçgenin kenar uzunlukları 7, 8 ve 10 birimdir. Bu üçgenin en büyük açısının dar açı mı, dik mi, yoksa geniş açı mı olduğunu belirleyiniz."
En büyük açı, en uzun kenarın karşısındaki açıdır. En uzun kenar 10 birimdir. Bu kenarın karşısındaki açıya \(C\) diyelim.
Kosinüs Teoremi'nden: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)
\(10^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \cos C\)
\(100 = 49 + 64 - 112 \cos C\)
\(100 = 113 - 112 \cos C\)
\(112 \cos C = 13\)
\( \cos C = \frac{13}{112} \)
\( \cos C \) pozitif olduğu için \(C\) açısı dar açıdır.
Bu durumda, üçgenin en büyük açısı dar açıdır. Dolayısıyla tüm açılar dar açıdır.
Eğer soru "geniş açı olduğunu belirleyiniz" diyorsa ve kenarlar 7, 8, 10 ise, bu durumda soruda bir tutarsızlık var.
Ancak, eğer kenarlar 7, 8, 12 olsaydı: \(12^2 = 144\), \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\). \(144 > 113\) olduğundan, en uzun kenarın karşısındaki açı geniş açı olurdu.
Soruda verilen değerlerle, geniş açı olmadığını belirleyebiliriz.
Bu soruyu "geniş açı olmadığını belirleyiniz" şeklinde yorumlarsak:

Bir üçgende en büyük açı, en uzun kenarın karşısındaki açıdır. Verilen kenar uzunlukları 7, 8 ve 10 birimdir. En uzun kenar 10 birimdir.
Bu kenarın karşısındaki açıya \(C\) diyelim.
Kosinüs Teoremi'ne göre: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)
\(10^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \cos C\)
\(100 = 49 + 64 - 112 \cos C\)
\(100 = 113 - 112 \cos C\)
\(112 \cos C = 113 - 100\)
\(112 \cos C = 13\)
\( \cos C = \frac{13}{112} \)
\( \cos C \) değeri pozitiftir. Bir açının kosinüs değeri pozitif ise, o açı dar açıdır.
Bu nedenle, üçgenin en büyük açısı dar açıdır. Dolayısıyla, bu üçgende geniş açı bulunmamaktadır. ✅

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

Bir bahçe duvarının yüksekliğini ölçmek istiyorsunuz ancak duvara tırmanamıyorsunuz. Duvarın dibinden 12 metre uzaklıkta durup, göz seviyenizden duvarın tepesine olan uzaklığı (eğimli çizgi) 13 metre olarak ölçtünüz. Göz seviyenizin yerden yüksekliği 1.5 metre olduğuna göre, bahçe duvarının yüksekliği kaç metredir? 🌳

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

Bir teknoloji mağazasında, bir televizyonun ekran köşegen uzunluğu 55 inç olarak verilmiştir. Televizyonun ekranı 16:9 oranına sahip dikdörtgen şeklindedir. Bu televizyonun ekranının genişliğini ve yüksekliğini (inç cinsinden) hesaplayınız. 📺

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

Bir ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir. A noktasından BC kenarına bir dikme çizilmiştir ve bu dikmenin BC kenarını kestiği nokta D'dir. AC kenarının uzunluğu 15 birim ve DC kenarının uzunluğu 9 birimdir. Buna göre AB kenarının uzunluğunu bulunuz. 📐

Çözüm ve Açıklama

Bu soruyu çözmek için Öklid'in Dikme Teoremi'ni ve Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.

Verilenler: \( \angle C = 90^\circ \), \(AC = 15\), \(DC = 9\). AD, BC'ye diktir.
Öklid'in Dikme Teoremi'ne göre (yükseklik teoremi): Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalar arasında \(AC^2 = CD \times CB\) ilişkisi vardır.
Burada dik açı C'de olduğu için, hipotenüs AB'dir. Dikme C'den AB'ye değil, A'dan BC'ye inmiş. Bu durumda dik üçgenimiz ABC, dik köşemiz C. Dikme A'dan BC'ye inmiş. Bu dikme AD.
Bu durumda Öklid'in dikme teoremi yerine, Pisagor teoremini kullanmak daha uygun olacaktır.
Önce ADC dik üçgenine bakalım (AD dik BC olduğu için \( \angle ADC = 90^\circ \)).
Pisagor Teoremi'ni ADC üçgenine uygulayalım: \(AD^2 + DC^2 = AC^2\)
Değerleri yerine koyalım: \(AD^2 + 9^2 = 15^2\)
\(AD^2 + 81 = 225\)
\(AD^2 = 225 - 81\)
\(AD^2 = 144\)
\(AD = \sqrt{144} = 12\) birim.
Şimdi ABC dik üçgenine bakalım. \( \angle C = 90^\circ \).
BC kenarının uzunluğunu bulmalıyız. BC = BD + DC. DC = 9. BD'yi bulmamız gerekiyor.
BD'yi bulmak için ABD dik üçgenini kullanabiliriz. ABD üçgeninde \( \angle ADB = 90^\circ \).
ABD üçgeninde Pisagor Teoremi: \(AD^2 + BD^2 = AB^2\)
Biz AD'yi 12 bulduk. \(12^2 + BD^2 = AB^2 \implies 144 + BD^2 = AB^2\).
Bu denklemde iki bilinmeyen var (BD ve AB).
Tekrar Öklid teoremlerini düşünelim. Bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme ile ilgili Öklid teoremleri vardır. Ancak burada dikme hipotenüse değil, bir dik kenara inmiş.
Soruyu tekrar okuyalım: "Bir ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir. A noktasından BC kenarına bir dikme çizilmiştir ve bu dikmenin BC kenarını kestiği nokta D'dir."
Bu durumda ABC dik üçgeninde, C 90 derece. A'dan BC'ye inen dikme AD. Bu AD, BC'nin bir parçasıdır. Bu durumda AD, BC'ye dik ve D noktası BC üzerindedir.
Eğer C 90 derece ise, AC dik kenarı BC dik kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerinde olmalıdır.
Eğer C 90 derece ise, AC dik kenarı BC kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerinde olmalıdır.
Bu durumda AD, BC'ye diktir. C açısı 90 derece olduğu için AC, BC'ye diktir.
Bu ancak A=C olduğunda mümkündür, ki bu bir üçgen olamaz.
Sorunun ifadesinde bir tutarsızlık var gibi görünüyor. "A noktasından BC kenarına bir dikme çizilmiştir" ifadesi, eğer C 90 derece ise, A'dan BC'ye inen dikme AC'nin kendisi olmalıdır ve D noktası C olmalıdır.
Eğer D noktası C ise, DC = 0 olurdu. Ama DC = 9 verilmiş.
Bu durumda, sorunun çizimi şu şekilde olmalı: ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). A'dan hipotenüs AB'ye bir dikme indirilmiş olmalı. Ancak soru "BC kenarına" diyor.
Varsayalım ki soru şu şekilde olmalıydı: "Bir ABC üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). C noktasından hipotenüs AB'ye bir dikme çizilmiştir ve bu dikmenin AB kenarını kestiği nokta D'dir. AC = 15 birim ve CD = 9 birimdir. Buna göre AB kenarının uzunluğunu bulunuz."
Bu durumda, ADC dik üçgeninde (hipotenüs AC): \(AD^2 + CD^2 = AC^2 \implies AD^2 + 9^2 = 15^2 \implies AD^2 + 81 = 225 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12\).
Öklid'in Dikme Teoremi'ne göre: \(AC^2 = AD \times AB\) (Bu teorem, dik köşeden hipotenüse indirilen dikme için geçerlidir).
\(15^2 = 12 \times AB\)
\(225 = 12 \times AB\)
\(AB = \frac{225}{12} = \frac{75}{4} = 18.75\) birim.
Ancak soruda "A noktasından BC kenarına bir dikme" deniyor. Bu ifadeyi olduğu gibi kabul edelim ve çizimi yeniden düşünelim.
ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). A'dan BC'ye inen dikme AD. D noktası BC üzerindedir.
Bu durumda AD'nin uzunluğu, AC'nin uzunluğundan büyük olamaz.
Eğer C 90 derece ise, AC dik kenarı BC dik kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerindedir.
Eğer D noktası BC üzerindeyse ve AD dik BC ise, bu AD'nin AC'ye paralel olması gerekir. Bu da ancak B noktasının sonsuzda olmasıyla mümkündür.
Sorunun orijinal metnini ve çizimini doğru anlamak için ek bilgi gerekebilir. Ancak "Öklid ve Pisagor" başlığı altında, bu teoremlerin uygulanabileceği bir senaryo düşünelim.
Yeniden yorumlama: ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). AC = 15, DC = 9. D noktası BC üzerindedir. AD dik BC'dir.
Eğer AD dik BC ise ve \(\angle C = 90^\circ\) ise, AC de BC'ye diktir. Bu durumda AD ve AC aynı doğru üzerindedir veya paraleldir.
Eğer AD, AC ile aynı doğru üzerindeyse, D noktası C'nin kendisi olmalıdır. Ama DC = 9 verilmiş.
Bu durumda, sorunun çizimi şu şekilde olmalı: ABC bir üçgen. C açısı dik değil. A'dan BC'ye bir dikme AD iniyor. D noktası BC üzerinde. AC = 15, DC = 9. AB'yi bulmak istiyoruz.
Bu durumda, ADC dik üçgeninde (çünkü AD dik BC): \(AD^2 + DC^2 = AC^2 \implies AD^2 + 9^2 = 15^2 \implies AD^2 + 81 = 225 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12\).
Şimdi ABC üçgenine bakalım. \(\angle ADB = 90^\circ\).
Pisagor Teoremi'ni ABD üçgenine uygulayalım: \(AD^2 + BD^2 = AB^2\).
\(12^2 + BD^2 = AB^2 \implies 144 + BD^2 = AB^2\).
BC kenarının uzunluğunu bilmiyoruz. BC = BD + DC veya BC = BD - DC olabilir.
Soruda "ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir" deniyor. Bu bilgi çok önemli.
Eğer C 90 ise, AC dik kenarı BC dik kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerindedir.
Bu durumda, AD'nin uzunluğu AC'den küçük olamaz.
Eğer D noktası C'nin kendisi değilse, BC kenarı üzerinde bir noktaysa ve AD dik BC ise, bu ancak AD'nin AC'ye paralel olmasıyla mümkün olur. Bu da A=C anlamına gelir ki bu bir üçgen olamaz.
Sorunun ifadesiyle çelişen durumlar var. En olası yorum, sorunun yazımında bir hata olduğudur.
Eğer soru şu şekilde olsaydı: "Bir ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). C noktasından hipotenüs AB'ye bir dikme çizilmiştir ve bu dikmenin AB kenarını kestiği nokta D'dir. AC = 15 birim ve CD = 9 birimdir. Buna göre AB kenarının uzunluğunu bulunuz."
Bu durumda çözüm yukarıda yapıldı ve \(AB = 18.75\) bulundu.
Ancak soruyu olduğu gibi yorumlamaya çalışalım: ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). A'dan BC'ye dikme AD. D noktası BC üzerindedir. AC = 15, DC = 9.
Bu durumda, AD'nin uzunluğu AC'den küçük olmalıdır. \(AD < AC\).
Eğer \( \angle C = 90^\circ \), o zaman AC, BC'ye diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, AD'nin BC'ye dik olması gerekir.
Eğer AC ve AD ikisi de BC'ye dik ise, AC ve AD aynı doğru üzerindedir. Bu durumda D noktası C ile aynı olmalıdır.
Ancak DC = 9 verilmiş. Bu, D'nin C'den farklı olduğunu gösterir.
Bu çelişkiyi gidermek için, sorunun "ABC dik üçgeninde" ifadesini değil de, "ABC bir üçgen" olduğunu varsayalım ve AD dik BC olsun.
Yeniden yorumlama 2: ABC bir üçgen. AD, BC'ye diktir. D noktası BC üzerindedir. AC = 15, DC = 9. \( \angle C = 90^\circ \) bilgisi ise, bu durumda A noktasının BC üzerindeki izdüşümü C olmalıydı, yani D=C olmalıydı.
Eğer \( \angle C = 90^\circ \) ise, o zaman AC kenarı BC kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerinde olmalı ve AD'nin BC'ye dik olması gerekir.
Bu durumda, AD ve AC aynı doğru üzerinde olmalıdır. Bu da D'nin C ile aynı nokta olması anlamına gelir.
Ancak DC = 9 verilmiş. Bu, D'nin C'den farklı olduğunu gösterir.
Bu çelişkiyi gidermek için, sorunun "ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir" ifadesini, "ABC bir üçgen ve \(\angle ACB = 90^\circ\)" şeklinde değil de, "ABC bir üçgen ve \(\angle BAC = 90^\circ\)" veya "\(\angle ABC = 90^\circ\)" şeklinde yorumlamak gerekebilir.
Ancak soruda "C açısı 90 derecedir" açıkça belirtilmiş.
En tutarlı yorum, sorunun yazımında bir hata olduğudur ve muhtemelen C'den AB'ye inen dikme kastedilmiştir.
Ancak, soruyu olduğu gibi kabul edip, çelişkili durumları belirterek ilerleyelim.
Eğer \( \angle C = 90^\circ \) ve AD dik BC ise, bu ancak D=C olduğunda mümkündür.
Eğer D=C ise, DC=0 olmalıdır. Ancak DC=9 verilmiş.
Bu durumda, sorunun ifadesinde bir tutarsızlık vardır.
Eğer soruyu "ABC bir üçgen, AD dik BC, AC=15, DC=9 ve \(\angle C = 90^\circ\)" şeklinde yorumlarsak, bu bir çelişkidir.
Eğer soruyu "ABC bir üçgen, AD dik BC, AC=15, DC=9" olarak alıp, \(\angle C = 90^\circ\) bilgisini göz ardı edersek:
ADC dik üçgeninde (AD dik BC): \(AD^2 + DC^2 = AC^2 \implies AD^2 + 9^2 = 15^2 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12\).
Şimdi ABC üçgenini ele alalım. \(\angle ADB = 90^\circ\).
Pisagor Teoremi'ni ABD üçgenine uygulayalım: \(AD^2 + BD^2 = AB^2 \implies 144 + BD^2 = AB^2\).
\(\angle C = 90^\circ\) bilgisini kullanmamız gerekiyor.
Eğer \( \angle C = 90^\circ \), o zaman AC, BC'ye diktir.
Bu durumda, A noktasının BC üzerindeki izdüşümü C noktasıdır.
Yani, A'dan BC'ye indirilen dikme AC'dir ve D noktası C olmalıdır.
Ancak DC = 9 verilmiş. Bu, D'nin C'den farklı olduğunu gösterir.
Bu çelişkiyi gidermek için, sorunun "A noktasından BC kenarına bir dikme çizilmiştir" ifadesini, "C noktasından AB kenarına bir dikme çizilmiştir" olarak değiştirdiğimizi varsayalım.
Varsayım: ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). C'den AB'ye inen dikme CD'dir. D noktası AB üzerindedir. AC = 15, CD = 9. AB'yi bulunuz.
Bu durumda ADC dik üçgeninde (hipotenüs AC): \(AD^2 + CD^2 = AC^2 \implies AD^2 + 9^2 = 15^2 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12\).
Öklid'in Dikme Teoremi'ne göre: \(AC^2 = AD \times AB\)
\(15^2 = 12 \times AB\)
\(225 = 12 \times AB\)
\(AB = \frac{225}{12} = \frac{75}{4} = 18.75\) birim. ✅

Sorunun orijinal ifadesindeki çelişki nedeniyle, en olası yorumla çözüm sunulmuştur. Eğer soru farklı bir anlama geliyorsa, ek açıklama gerekebilir.

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Bir evin çatısının eğimi için kullanılan bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 4 metre, diğeri 3 metredir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🏠

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Bir ABC üçgeninde, AB kenarı \(c = 13\) birim, BC kenarı \(a = 5\) birim ve AC kenarı \(b = 12\) birimdir. Bu üçgenin hangi açısının dik açı olduğunu Öklid teoremlerini kullanarak belirleyiniz. 📐

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

Bir merdiven, 5 metre yüksekliğindeki bir duvara dayanmıştır. Merdivenin duvara dayandığı nokta ile merdivenin tabanının yerdeki noktası arasındaki mesafe 3 metredir. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜

12. Sınıf Matematik: Öklid ve Pisagor Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Bir dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm uzunluğundadır. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.

Dik kenarlarımız \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm olsun.
Hipotenüsümüz \(c\) olsun.
Pisagor Teoremi formülü: \(a^2 + b^2 = c^2\)
Değerleri yerine koyalım: \(6^2 + 8^2 = c^2\)
Kareleri hesaplayalım: \(36 + 64 = c^2\)
Toplamı bulalım: \(100 = c^2\)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{100}\)
Hipotenüs uzunluğunu bulalım: \(c = 10\) cm ✅

Sonuç olarak, hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.

Örnek 2:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs teoremi, üçgenin kenar uzunlukları ve bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi verir.

Kosinüs Teoremi formülü: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)
Burada \(A\) açısını bulmak istiyoruz.
Formülü \( \cos A \) için düzenleyelim: \( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)
Verilen değerleri yerine koyalım: \( \cos A = \frac{8^2 + 10^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 10} \)
Hesaplamaları yapalım: \( \cos A = \frac{64 + 100 - 49}{160} \)
\( \cos A = \frac{115}{160} \)
\( \cos A \) pozitif olduğu için \(A\) açısı dar açıdır.
Şimdi \(B\) açısını hesaplayalım: \( \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 10^2 - 8^2}{2 \times 7 \times 10} = \frac{49 + 100 - 64}{140} = \frac{85}{140} \)
\( \cos B \) pozitif olduğu için \(B\) açısı dar açıdır.
Son olarak \(C\) açısını hesaplayalım: \( \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 - 10^2}{2 \times 7 \times 8} = \frac{49 + 64 - 100}{112} = \frac{13}{112} \)
Bekleyin, bir hata yaptım. Geniş açıyı bulmak için en uzun kenarın karşısındaki açıya bakmalıyız. En uzun kenar \(c = 10\) birimdir. Bu kenarın karşısındaki açı \(C\) açısıdır.
Tekrar \(C\) açısını hesaplayalım: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)
\( 10^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \cos C \)
\( 100 = 49 + 64 - 112 \cos C \)
\( 100 = 113 - 112 \cos C \)
\( 112 \cos C = 113 - 100 \)
\( 112 \cos C = 13 \)
\( \cos C = \frac{13}{112} \)
Bu da pozitif çıktı, demek ki bir yerde hata yaptım. En uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyükse açı geniştir.
\( c^2 = 10^2 = 100 \)
\( a^2 + b^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 \)
Burada \(c^2 < a^2 + b^2\) olduğu için \(C\) açısı dar açıdır.
Şimdi diğer kenarları kontrol edelim. En uzun kenar \(c=10\).
A açısı için \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\). \(7^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \times 8 \times 10 \cos A\). \(49 = 64 + 100 - 160 \cos A\). \(49 = 164 - 160 \cos A\). \(160 \cos A = 115\). \( \cos A = \frac{115}{160} > 0 \). \(A\) dar açı.
B açısı için \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\). \(8^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \times 7 \times 10 \cos B\). \(64 = 49 + 100 - 140 \cos B\). \(64 = 149 - 140 \cos B\). \(140 \cos B = 85\). \( \cos B = \frac{85}{140} > 0 \). \(B\) dar açı.
Tekrar kontrol edelim. Kenarlar 7, 8, 10. En uzun kenar 10. En uzun kenarın karesi \(10^2 = 100\). Diğer iki kenarın kareleri toplamı \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\).
Eğer en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyükse, o açısı geniştir. Burada \(100 < 113\). Bu durumda tüm açılar dar açıdır.
Soruda bir hata olabilir mi? Yoksa ben mi yanlış anladım? Öklid teoremleri dediği için kenar uzunlukları ile ilgili bir şey sormuş olmalı.
Tekrar Kosinüs Teoremi'ni gözden geçirelim. \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\). Eğer \(a^2 > b^2 + c^2\) ise \( \cos A < 0 \) olur ve \(A\) geniş açı olur.
Bizim kenarlarımız \(a=7, b=8, c=10\).
A açısı için: \(a^2 = 49\), \(b^2 + c^2 = 64 + 100 = 164\). \(49 < 164\), \(A\) dar açı.
B açısı için: \(b^2 = 64\), \(a^2 + c^2 = 49 + 100 = 149\). \(64 < 149\), \(B\) dar açı.
C açısı için: \(c^2 = 100\), \(a^2 + b^2 = 49 + 64 = 113\). \(100 < 113\), \(C\) dar açı.
Bu durumda sorunun kendisinde bir problem var gibi görünüyor veya ben bir şeyi gözden kaçırıyorum. "Öklid teoremleri" genel bir ifade. Belki de dik üçgenlerle ilgili bir şey kastediliyor.
Ancak verilen kenar uzunlukları ile dik üçgen oluşmaz.
Varsayalım ki soru şu şekilde olmalıydı: "Bir üçgenin kenar uzunlukları 7, 8 ve 10 birimdir. Bu üçgenin en büyük açısının dar açı mı, dik mi, yoksa geniş açı mı olduğunu belirleyiniz."
En büyük açı, en uzun kenarın karşısındaki açıdır. En uzun kenar 10 birimdir. Bu kenarın karşısındaki açıya \(C\) diyelim.
Kosinüs Teoremi'nden: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)
\(10^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \cos C\)
\(100 = 49 + 64 - 112 \cos C\)
\(100 = 113 - 112 \cos C\)
\(112 \cos C = 13\)
\( \cos C = \frac{13}{112} \)
\( \cos C \) pozitif olduğu için \(C\) açısı dar açıdır.
Bu durumda, üçgenin en büyük açısı dar açıdır. Dolayısıyla tüm açılar dar açıdır.
Eğer soru "geniş açı olduğunu belirleyiniz" diyorsa ve kenarlar 7, 8, 10 ise, bu durumda soruda bir tutarsızlık var.
Ancak, eğer kenarlar 7, 8, 12 olsaydı: \(12^2 = 144\), \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\). \(144 > 113\) olduğundan, en uzun kenarın karşısındaki açı geniş açı olurdu.
Soruda verilen değerlerle, geniş açı olmadığını belirleyebiliriz.
Bu soruyu "geniş açı olmadığını belirleyiniz" şeklinde yorumlarsak:

Bir üçgende en büyük açı, en uzun kenarın karşısındaki açıdır. Verilen kenar uzunlukları 7, 8 ve 10 birimdir. En uzun kenar 10 birimdir.
Bu kenarın karşısındaki açıya \(C\) diyelim.
Kosinüs Teoremi'ne göre: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)
\(10^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \cos C\)
\(100 = 49 + 64 - 112 \cos C\)
\(100 = 113 - 112 \cos C\)
\(112 \cos C = 113 - 100\)
\(112 \cos C = 13\)
\( \cos C = \frac{13}{112} \)
\( \cos C \) değeri pozitiftir. Bir açının kosinüs değeri pozitif ise, o açı dar açıdır.
Bu nedenle, üçgenin en büyük açısı dar açıdır. Dolayısıyla, bu üçgende geniş açı bulunmamaktadır. ✅

Örnek 3:

Çözüm:

Bu problemi çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Burada oluşan dik üçgeni hayal edelim.

Duvarın dibinden olan uzaklığınız (yatay mesafe) 12 metre. Bu, dik üçgenin bir dik kenarıdır. \(a = 12\) m.
Göz seviyenizden duvarın tepesine olan eğimli uzaklık 13 metre. Bu, dik üçgenin hipotenüsüdür. \(c = 13\) m.
Duvarın yerden yüksekliğini bulmak için, göz seviyenizin duvarın tepesine kadar olan dikey mesafesini hesaplamalıyız. Bu, dik üçgenin diğer dik kenarıdır. \(b\) diyelim.
Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
Değerleri yerine koyalım: \(12^2 + b^2 = 13^2\)
Kareleri hesaplayalım: \(144 + b^2 = 169\)
\(b^2\) için çözelim: \(b^2 = 169 - 144\)
\(b^2 = 25\)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \(b = \sqrt{25}\)
\(b = 5\) metre.
Bu \(b\) değeri, göz seviyenizden duvarın tepesine kadar olan dikey mesafedir.
Duvarın toplam yüksekliğini bulmak için, göz seviyenizin yerden yüksekliğini de eklemeliyiz.
Duvarın Yüksekliği = \(b\) + Göz Seviyesi Yüksekliği
Duvarın Yüksekliği = \(5\) m + \(1.5\) m
Duvarın Yüksekliği = \(6.5\) metre ✅

Bahçe duvarının yüksekliği 6.5 metredir.

Örnek 4:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi ve oran bilgisini kullanacağız.

Ekranın genişliğine \(w\) ve yüksekliğine \(h\) diyelim.
Ekranın köşegen uzunluğu \(d = 55\) inçtir.
Dikdörtgen bir ekranda Pisagor Teoremi geçerlidir: \(w^2 + h^2 = d^2\)
Ekranın oranı 16:9'dur. Bu şu anlama gelir: \( \frac{w}{h} = \frac{16}{9} \)
Bu orandan \(w\) veya \(h\) için bir ifade türetebiliriz. \(w = \frac{16}{9}h\) diyelim.
Şimdi bu ifadeyi Pisagor Teoremi denklemine yerleştirelim:
\( \left(\frac{16}{9}h\right)^2 + h^2 = 55^2 \)
Kareleri hesaplayalım: \( \frac{256}{81}h^2 + h^2 = 3025 \)
\(h^2\) terimlerini birleştirelim: \( \left(\frac{256}{81} + 1\right)h^2 = 3025 \)
Kesirleri toplayalım: \( \left(\frac{256 + 81}{81}\right)h^2 = 3025 \)
\( \frac{337}{81}h^2 = 3025 \)
\(h^2\) için çözelim: \(h^2 = 3025 \times \frac{81}{337} \)
\(h^2 = \frac{245025}{337} \)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \(h = \sqrt{\frac{245025}{337}} \)
\(h \approx \sqrt{727.077} \)
\(h \approx 26.96\) inç.
Şimdi genişliği hesaplayalım: \(w = \frac{16}{9}h\)
\(w \approx \frac{16}{9} \times 26.96 \)
\(w \approx 1.777 \times 26.96 \)
\(w \approx 47.93\) inç. ✅

Televizyonun ekran genişliği yaklaşık 47.93 inç ve yüksekliği yaklaşık 26.96 inçtir.

Örnek 5:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Öklid'in Dikme Teoremi'ni ve Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.

Verilenler: \( \angle C = 90^\circ \), \(AC = 15\), \(DC = 9\). AD, BC'ye diktir.
Öklid'in Dikme Teoremi'ne göre (yükseklik teoremi): Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalar arasında \(AC^2 = CD \times CB\) ilişkisi vardır.
Burada dik açı C'de olduğu için, hipotenüs AB'dir. Dikme C'den AB'ye değil, A'dan BC'ye inmiş. Bu durumda dik üçgenimiz ABC, dik köşemiz C. Dikme A'dan BC'ye inmiş. Bu dikme AD.
Bu durumda Öklid'in dikme teoremi yerine, Pisagor teoremini kullanmak daha uygun olacaktır.
Önce ADC dik üçgenine bakalım (AD dik BC olduğu için \( \angle ADC = 90^\circ \)).
Pisagor Teoremi'ni ADC üçgenine uygulayalım: \(AD^2 + DC^2 = AC^2\)
Değerleri yerine koyalım: \(AD^2 + 9^2 = 15^2\)
\(AD^2 + 81 = 225\)
\(AD^2 = 225 - 81\)
\(AD^2 = 144\)
\(AD = \sqrt{144} = 12\) birim.
Şimdi ABC dik üçgenine bakalım. \( \angle C = 90^\circ \).
BC kenarının uzunluğunu bulmalıyız. BC = BD + DC. DC = 9. BD'yi bulmamız gerekiyor.
BD'yi bulmak için ABD dik üçgenini kullanabiliriz. ABD üçgeninde \( \angle ADB = 90^\circ \).
ABD üçgeninde Pisagor Teoremi: \(AD^2 + BD^2 = AB^2\)
Biz AD'yi 12 bulduk. \(12^2 + BD^2 = AB^2 \implies 144 + BD^2 = AB^2\).
Bu denklemde iki bilinmeyen var (BD ve AB).
Tekrar Öklid teoremlerini düşünelim. Bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme ile ilgili Öklid teoremleri vardır. Ancak burada dikme hipotenüse değil, bir dik kenara inmiş.
Soruyu tekrar okuyalım: "Bir ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir. A noktasından BC kenarına bir dikme çizilmiştir ve bu dikmenin BC kenarını kestiği nokta D'dir."
Bu durumda ABC dik üçgeninde, C 90 derece. A'dan BC'ye inen dikme AD. Bu AD, BC'nin bir parçasıdır. Bu durumda AD, BC'ye dik ve D noktası BC üzerindedir.
Eğer C 90 derece ise, AC dik kenarı BC dik kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerinde olmalıdır.
Eğer C 90 derece ise, AC dik kenarı BC kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerinde olmalıdır.
Bu durumda AD, BC'ye diktir. C açısı 90 derece olduğu için AC, BC'ye diktir.
Bu ancak A=C olduğunda mümkündür, ki bu bir üçgen olamaz.
Sorunun ifadesinde bir tutarsızlık var gibi görünüyor. "A noktasından BC kenarına bir dikme çizilmiştir" ifadesi, eğer C 90 derece ise, A'dan BC'ye inen dikme AC'nin kendisi olmalıdır ve D noktası C olmalıdır.
Eğer D noktası C ise, DC = 0 olurdu. Ama DC = 9 verilmiş.
Bu durumda, sorunun çizimi şu şekilde olmalı: ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). A'dan hipotenüs AB'ye bir dikme indirilmiş olmalı. Ancak soru "BC kenarına" diyor.
Varsayalım ki soru şu şekilde olmalıydı: "Bir ABC üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). C noktasından hipotenüs AB'ye bir dikme çizilmiştir ve bu dikmenin AB kenarını kestiği nokta D'dir. AC = 15 birim ve CD = 9 birimdir. Buna göre AB kenarının uzunluğunu bulunuz."
Bu durumda, ADC dik üçgeninde (hipotenüs AC): \(AD^2 + CD^2 = AC^2 \implies AD^2 + 9^2 = 15^2 \implies AD^2 + 81 = 225 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12\).
Öklid'in Dikme Teoremi'ne göre: \(AC^2 = AD \times AB\) (Bu teorem, dik köşeden hipotenüse indirilen dikme için geçerlidir).
\(15^2 = 12 \times AB\)
\(225 = 12 \times AB\)
\(AB = \frac{225}{12} = \frac{75}{4} = 18.75\) birim.
Ancak soruda "A noktasından BC kenarına bir dikme" deniyor. Bu ifadeyi olduğu gibi kabul edelim ve çizimi yeniden düşünelim.
ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). A'dan BC'ye inen dikme AD. D noktası BC üzerindedir.
Bu durumda AD'nin uzunluğu, AC'nin uzunluğundan büyük olamaz.
Eğer C 90 derece ise, AC dik kenarı BC dik kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerindedir.
Eğer D noktası BC üzerindeyse ve AD dik BC ise, bu AD'nin AC'ye paralel olması gerekir. Bu da ancak B noktasının sonsuzda olmasıyla mümkündür.
Sorunun orijinal metnini ve çizimini doğru anlamak için ek bilgi gerekebilir. Ancak "Öklid ve Pisagor" başlığı altında, bu teoremlerin uygulanabileceği bir senaryo düşünelim.
Yeniden yorumlama: ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). AC = 15, DC = 9. D noktası BC üzerindedir. AD dik BC'dir.
Eğer AD dik BC ise ve \(\angle C = 90^\circ\) ise, AC de BC'ye diktir. Bu durumda AD ve AC aynı doğru üzerindedir veya paraleldir.
Eğer AD, AC ile aynı doğru üzerindeyse, D noktası C'nin kendisi olmalıdır. Ama DC = 9 verilmiş.
Bu durumda, sorunun çizimi şu şekilde olmalı: ABC bir üçgen. C açısı dik değil. A'dan BC'ye bir dikme AD iniyor. D noktası BC üzerinde. AC = 15, DC = 9. AB'yi bulmak istiyoruz.
Bu durumda, ADC dik üçgeninde (çünkü AD dik BC): \(AD^2 + DC^2 = AC^2 \implies AD^2 + 9^2 = 15^2 \implies AD^2 + 81 = 225 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12\).
Şimdi ABC üçgenine bakalım. \(\angle ADB = 90^\circ\).
Pisagor Teoremi'ni ABD üçgenine uygulayalım: \(AD^2 + BD^2 = AB^2\).
\(12^2 + BD^2 = AB^2 \implies 144 + BD^2 = AB^2\).
BC kenarının uzunluğunu bilmiyoruz. BC = BD + DC veya BC = BD - DC olabilir.
Soruda "ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir" deniyor. Bu bilgi çok önemli.
Eğer C 90 ise, AC dik kenarı BC dik kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerindedir.
Bu durumda, AD'nin uzunluğu AC'den küçük olamaz.
Eğer D noktası C'nin kendisi değilse, BC kenarı üzerinde bir noktaysa ve AD dik BC ise, bu ancak AD'nin AC'ye paralel olmasıyla mümkün olur. Bu da A=C anlamına gelir ki bu bir üçgen olamaz.
Sorunun ifadesiyle çelişen durumlar var. En olası yorum, sorunun yazımında bir hata olduğudur.
Eğer soru şu şekilde olsaydı: "Bir ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). C noktasından hipotenüs AB'ye bir dikme çizilmiştir ve bu dikmenin AB kenarını kestiği nokta D'dir. AC = 15 birim ve CD = 9 birimdir. Buna göre AB kenarının uzunluğunu bulunuz."
Bu durumda çözüm yukarıda yapıldı ve \(AB = 18.75\) bulundu.
Ancak soruyu olduğu gibi yorumlamaya çalışalım: ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). A'dan BC'ye dikme AD. D noktası BC üzerindedir. AC = 15, DC = 9.
Bu durumda, AD'nin uzunluğu AC'den küçük olmalıdır. \(AD < AC\).
Eğer \( \angle C = 90^\circ \), o zaman AC, BC'ye diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, AD'nin BC'ye dik olması gerekir.
Eğer AC ve AD ikisi de BC'ye dik ise, AC ve AD aynı doğru üzerindedir. Bu durumda D noktası C ile aynı olmalıdır.
Ancak DC = 9 verilmiş. Bu, D'nin C'den farklı olduğunu gösterir.
Bu çelişkiyi gidermek için, sorunun "ABC dik üçgeninde" ifadesini değil de, "ABC bir üçgen" olduğunu varsayalım ve AD dik BC olsun.
Yeniden yorumlama 2: ABC bir üçgen. AD, BC'ye diktir. D noktası BC üzerindedir. AC = 15, DC = 9. \( \angle C = 90^\circ \) bilgisi ise, bu durumda A noktasının BC üzerindeki izdüşümü C olmalıydı, yani D=C olmalıydı.
Eğer \( \angle C = 90^\circ \) ise, o zaman AC kenarı BC kenarına diktir. A'dan BC'ye inen dikme AD ise, D noktası BC üzerinde olmalı ve AD'nin BC'ye dik olması gerekir.
Bu durumda, AD ve AC aynı doğru üzerinde olmalıdır. Bu da D'nin C ile aynı nokta olması anlamına gelir.
Ancak DC = 9 verilmiş. Bu, D'nin C'den farklı olduğunu gösterir.
Bu çelişkiyi gidermek için, sorunun "ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir" ifadesini, "ABC bir üçgen ve \(\angle ACB = 90^\circ\)" şeklinde değil de, "ABC bir üçgen ve \(\angle BAC = 90^\circ\)" veya "\(\angle ABC = 90^\circ\)" şeklinde yorumlamak gerekebilir.
Ancak soruda "C açısı 90 derecedir" açıkça belirtilmiş.
En tutarlı yorum, sorunun yazımında bir hata olduğudur ve muhtemelen C'den AB'ye inen dikme kastedilmiştir.
Ancak, soruyu olduğu gibi kabul edip, çelişkili durumları belirterek ilerleyelim.
Eğer \( \angle C = 90^\circ \) ve AD dik BC ise, bu ancak D=C olduğunda mümkündür.
Eğer D=C ise, DC=0 olmalıdır. Ancak DC=9 verilmiş.
Bu durumda, sorunun ifadesinde bir tutarsızlık vardır.
Eğer soruyu "ABC bir üçgen, AD dik BC, AC=15, DC=9 ve \(\angle C = 90^\circ\)" şeklinde yorumlarsak, bu bir çelişkidir.
Eğer soruyu "ABC bir üçgen, AD dik BC, AC=15, DC=9" olarak alıp, \(\angle C = 90^\circ\) bilgisini göz ardı edersek:
ADC dik üçgeninde (AD dik BC): \(AD^2 + DC^2 = AC^2 \implies AD^2 + 9^2 = 15^2 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12\).
Şimdi ABC üçgenini ele alalım. \(\angle ADB = 90^\circ\).
Pisagor Teoremi'ni ABD üçgenine uygulayalım: \(AD^2 + BD^2 = AB^2 \implies 144 + BD^2 = AB^2\).
\(\angle C = 90^\circ\) bilgisini kullanmamız gerekiyor.
Eğer \( \angle C = 90^\circ \), o zaman AC, BC'ye diktir.
Bu durumda, A noktasının BC üzerindeki izdüşümü C noktasıdır.
Yani, A'dan BC'ye indirilen dikme AC'dir ve D noktası C olmalıdır.
Ancak DC = 9 verilmiş. Bu, D'nin C'den farklı olduğunu gösterir.
Bu çelişkiyi gidermek için, sorunun "A noktasından BC kenarına bir dikme çizilmiştir" ifadesini, "C noktasından AB kenarına bir dikme çizilmiştir" olarak değiştirdiğimizi varsayalım.
Varsayım: ABC dik üçgeninde \(\angle C = 90^\circ\). C'den AB'ye inen dikme CD'dir. D noktası AB üzerindedir. AC = 15, CD = 9. AB'yi bulunuz.
Bu durumda ADC dik üçgeninde (hipotenüs AC): \(AD^2 + CD^2 = AC^2 \implies AD^2 + 9^2 = 15^2 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12\).
Öklid'in Dikme Teoremi'ne göre: \(AC^2 = AD \times AB\)
\(15^2 = 12 \times AB\)
\(225 = 12 \times AB\)
\(AB = \frac{225}{12} = \frac{75}{4} = 18.75\) birim. ✅

Sorunun orijinal ifadesindeki çelişki nedeniyle, en olası yorumla çözüm sunulmuştur. Eğer soru farklı bir anlama geliyorsa, ek açıklama gerekebilir.

Örnek 6:

Bir evin çatısının eğimi için kullanılan bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 4 metre, diğeri 3 metredir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🏠

Çözüm:

Bu problemi çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.

Dik kenarlarımız \(a = 3\) m ve \(b = 4\) m olsun.
Hipotenüsümüz \(c\) olsun.
Pisagor Teoremi formülü: \(a^2 + b^2 = c^2\)
Değerleri yerine koyalım: \(3^2 + 4^2 = c^2\)
Kareleri hesaplayalım: \(9 + 16 = c^2\)
Toplamı bulalım: \(25 = c^2\)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{25}\)
Hipotenüs uzunluğunu bulalım: \(c = 5\) m ✅

Evin çatısının eğimini oluşturan dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 5 metredir.

Örnek 7:

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'nin tersini kullanacağız. Eğer bir üçgende en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse, bu üçgen dik üçgendir ve en uzun kenarın karşısındaki açı dik açıdır.

Kenar uzunluklarımız: \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\).
En uzun kenar \(c = 13\) birimdir.
Diğer iki kenarın karelerini hesaplayalım: \(a^2 = 5^2 = 25\) ve \(b^2 = 12^2 = 144\).
Bu iki kenarın kareleri toplamını bulalım: \(a^2 + b^2 = 25 + 144 = 169\).
Şimdi en uzun kenarın karesini hesaplayalım: \(c^2 = 13^2 = 169\).
Gördüğümüz gibi, \(a^2 + b^2 = c^2\) eşitliği sağlanmaktadır (\(169 = 169\)). ✅

Bu durum, Pisagor Teoremi'nin tersine göre, üçgenin dik üçgen olduğunu gösterir. En uzun kenar \(c\) (AB kenarı) olduğu için, bu kenarın karşısındaki açı, yani \(C\) açısı dik açıdır (\(90^\circ\)).

Örnek 8:

Çözüm:

Bu problemi çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Merdiven, duvar ve yerdeki zemin bir dik üçgen oluşturur.

Duvarın yüksekliği, dik üçgenin bir dik kenarıdır: \(a = 5\) m.
Merdivenin tabanının yerdeki noktası ile duvar arasındaki mesafe, dik üçgenin diğer dik kenarıdır: \(b = 3\) m.
Merdivenin uzunluğu, dik üçgenin hipotenüsüdür. Buna \(c\) diyelim.
Pisagor Teoremi formülü: \(a^2 + b^2 = c^2\)
Değerleri yerine koyalım: \(5^2 + 3^2 = c^2\)
Kareleri hesaplayalım: \(25 + 9 = c^2\)
Toplamı bulalım: \(34 = c^2\)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{34}\)
Merdivenin uzunluğu yaklaşık olarak \(c \approx 5.83\) metredir. ✅

Merdivenin uzunluğu \( \sqrt{34} \) metredir (yaklaşık 5.83 metre).

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-oklid-ve-pisagor/sorular

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.

💡 12. Sınıf Matematik: Öklid ve Pisagor Çözümlü Örnekler

12. Sınıf Matematik: Öklid ve Pisagor Çözümlü Örnekler

İçerik Hazırlanıyor...