💡 12. Sınıf Matematik: Logaritma Çözümlü Örnekler

Üstel bir ifadeyi logaritmik ifadeye dönüştürürken \( a^x = b \iff x = \log_a b \) kuralını kullanırız.

• Verilen denklemde taban \( a = 3 \) ve sonuç \( b = 10 \) dur.
• Tanım gereği, üs olan \( x \) yalnız bırakıldığında karşı tarafın logaritma tabanı, üstel ifadenin tabanı ile aynı olur.
• Bu durumda: \( x = \log_3 10 \) olarak bulunur. ✅

Logaritma fonksiyonunun \( \log_a b \) tanımlı olması için 3 şart vardır:

• 1. Şart (Üst kısım pozitif olmalı): \( 10 - x > 0 \implies x < 10 \)
• 2. Şart (Taban pozitif olmalı): \( x - 3 > 0 \implies x > 3 \)
• 3. Şart (Taban 1 olmamalı): \( x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4 \)

Bu üç şartı birleştirdiğimizde:

• \( 3 < x < 10 \) aralığını elde ederiz, ancak \( x \neq 4 \) olmalıdır.
• Bu aralıktaki tam sayılar: \( \{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
• \( x \neq 4 \) olduğu için bu değeri çıkarırız: \( \{5, 6, 7, 8, 9\} \)
• Sonuç olarak 5 farklı tam sayı değeri vardır. 💡

Öncelikle 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2 \)
• Logaritma çarpım özelliğini kullanalım: \( \log(x \times y) = \log x + \log y \)
• \( \log(2^3 \times 3^2) = \log(2^3) + \log(3^2) \)
• Logaritma kuvvet özelliğini kullanalım: \( \log(x^n) = n \times \log x \)
• \( 3 \times \log 2 + 2 \times \log 3 \)
• Soruda verilen \( a \) ve \( b \) değerlerini yerlerine yazalım:
• Sonuç: \( 3a + 2b \) olur. 🚀

Logaritmada zincir kuralı veya taban değiştirme özelliğini uygulayalım:

• Genel kural: \( \log_a b \times \log_b c = \log_a c \)
• Verilen ifadeyi adım adım sadeleştirelim:
• \( (\log_2 5 \times \log_5 7) \times \log_7 16 = \log_2 7 \times \log_7 16 \)
• Aynı kuralı tekrar uygulayalım: \( \log_2 16 \)
• 16 sayısını 2 tabanında yazalım: \( 16 = 2^4 \)
• \( \log_2 (2^4) = 4 \times \log_2 2 \)
• \( \log_2 2 = 1 \) olduğu için: \( 4 \times 1 = 4 \) bulunur. ✅

Çözüm adımları şu şekildedir:

• Toplam durumundaki logaritmaları tek bir logaritma içinde çarpım olarak yazalım:
• \( \log_3 ((x+2) \times (x-4)) = 3 \)
• Logaritma tanımını kullanarak üstel forma geçelim:
• \( (x+2) \times (x-4) = 3^3 \)
• \( x^2 - 4x + 2x - 8 = 27 \)
• \( x^2 - 2x - 35 = 0 \)
• Denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x-7) \times (x+5) = 0 \)
• Buradan \( x = 7 \) veya \( x = -5 \) gelir.
• Kontrol: Logaritmanın içi pozitif olmalıdır. \( x = -5 \) için \( \log_3 (-5+2) \) tanımsızdır.
• Bu yüzden tek çözüm \( x = 7 \) olur. 📌

Adım adım çözelim:

• 1. Adım (Tanım Aralığı): Logaritmanın içi pozitif olmalıdır. \( x - 2 > 0 \implies x > 2 \).
• 2. Adım (Eşitsizlik Çözümü): Taban \( 0.5 \) (yani \( 1/2 \)) olduğu için, yani 0 ile 1 arasında olduğu için, üstel forma geçerken eşitsizlik yön değiştirir.
• \( x - 2 \leq (0.5)^{-3} \)
• \( (0.5)^{-3} = (1/2)^{-3} = 2^3 = 8 \)
• \( x - 2 \leq 8 \implies x \leq 10 \)
• 3. Adım (Kesişim): \( x > 2 \) ve \( x \leq 10 \) şartlarını birleştirelim.
• Çözüm Kümesi: \( (2, 10] \) aralığıdır. 🎯

Verilen derişim değerini formülde yerine koyalım:

• pH = \( -\log (10^{-4}) \)
• Logaritma özelliğine göre üs başa çarpım olarak geçer:
• pH = \( -(-4) \times \log 10 \)
• \( \log 10 = 1 \) olduğu için:
• pH = \( 4 \times 1 = 4 \)
• Bu çözelti pH değeri 7'den küçük olduğu için asidiktir. 🧪

Verilen bilgileri formüle yerleştirelim:

• Depremin yoğunluğu \( I = 100.000 \times I_0 \) olarak verilmiştir.
• Formül: \( R = \log(100.000 \times I_0 / I_0) \)
• Burada \( I_0 \) değerleri birbirini sadeleştirir:
• \( R = \log(100.000) \)
• 100.000 sayısını 10'un kuvveti şeklinde yazalım: \( 100.000 = 10^5 \)
• \( R = \log(10^5) \)
• Logaritma özelliği gereği: \( R = 5 \times \log 10 \)
• \( \log 10 = 1 \) olduğundan, depremin büyüklüğü 5 olarak hesaplanır. 🌍