💡 12. Sınıf Matematik: Limit Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Limit Çözümlü Örnekler
- 👉 Adım 1: Fonksiyonda \( x \) yerine \( 2 \) yazalım. \[ \lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 7) = 3(2)^2 - 5(2) + 7 \]
- 👉 Adım 2: İşlemleri yapalım. \[ = 3(4) - 10 + 7 \] \[ = 12 - 10 + 7 \] \[ = 2 + 7 \] \[ = 9 \]
- ✅ Sonuç: Fonksiyonun \( x \to 2 \) için limiti \( 9 \) dur.
- 👉 Adım 1: Limit alınan değer olan \( x = 3 \) değerini paydada yerine koyarak kontrol edelim.
- 👉 Adım 2: Fonksiyonda \( x \) yerine \( 3 \) yazalım. \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4}{x + 1} = \frac{(3)^2 - 4}{3 + 1} \]
- 👉 Adım 3: İşlemleri yapalım. \[ = \frac{9 - 4}{4} \] \[ = \frac{5}{4} \]
- ✅ Sonuç: Fonksiyonun \( x \to 3 \) için limiti \( \frac{5}{4} \) tür.
Payda: \( x + 1 \)
\( 3 + 1 = 4 \)
Payda sıfır olmadığı için doğrudan yerine koyabiliriz.
\[ f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 2 \\ x^2 - 1, & x \ge 2 \end{cases} \] Bu fonksiyonun \( x \to 2 \) için limiti var mıdır? Varsa kaçtır? 🤔
- 👉 Adım 1: \( x \to 2^- \) (soldan limit) için fonksiyonu inceleyelim.
- 👉 Adım 2: \( x \to 2^+ \) (sağdan limit) için fonksiyonu inceleyelim.
- 👉 Adım 3: Sağdan ve soldan limitleri karşılaştıralım.
- ✅ Sonuç: Sağdan ve soldan limitler farklı olduğu için, \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \to 2 \) için limiti yoktur.
\( x < 2 \) durumunda \( f(x) = 2x + 1 \) kullanılır.
\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x + 1) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \]Soldan limit \( 5 \) tir.
\( x \ge 2 \) durumunda \( f(x) = x^2 - 1 \) kullanılır.
\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 1) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \]Sağdan limit \( 3 \) tür.
Soldan limit \( 5 \), sağdan limit \( 3 \) tür. \( 5 \ne 3 \) olduğu için sağdan ve soldan limitler birbirine eşit değildir.
- 👉 Adım 1: \( x = 1 \) değerini fonksiyonda yerine koyarak belirsizliği kontrol edelim.
- 👉 Adım 2: Pay kısmını çarpanlara ayıralım.
- 👉 Adım 3: Sadeleştirme yapalım.
- 👉 Adım 4: Kalan ifadede limiti hesaplayalım. \[ \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \]
- ✅ Sonuç: Limit değeri \( 2 \) dir.
Pay: \( 1^2 - 1 = 0 \)
Payda: \( 1 - 1 = 0 \)
\( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Pay kısmındaki \( x^2 - 1 \) ifadesi, iki kare farkı özdeşliğinden \( (x - 1)(x + 1) \) şeklinde yazılabilir.
\[ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \]\( x \to 1 \) olduğu için \( x \ne 1 \) dir. Bu yüzden \( (x - 1) \) ifadelerini sadeleştirebiliriz.
\[ = x + 1 \]- 👉 Adım 1: \( x = 4 \) değerini fonksiyonda yerine koyarak belirsizliği kontrol edelim.
- 👉 Adım 2: Pay kısmının eşleniği olan \( (\sqrt{x} + 2) \) ile hem payı hem de paydayı çarpalım. \[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \times \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} \]
- 👉 Adım 3: Pay kısmında iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).
- 👉 Adım 4: Sadeleştirme yapalım.
- 👉 Adım 5: Kalan ifadede limiti hesaplayalım. \[ = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \]
- ✅ Sonuç: Limit değeri \( \frac{1}{4} \) tür.
Pay: \( \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 \)
Payda: \( 4 - 4 = 0 \)
\( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Pay: \( (\sqrt{x})^2 - (2)^2 = x - 4 \)
\[ = \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} \]\( x \to 4 \) olduğu için \( x \ne 4 \) dir. Bu yüzden \( (x - 4) \) ifadelerini sadeleştirebiliriz.
\[ = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \]- 👉 Adım 1: Fonksiyonun pay ve paydasındaki en yüksek dereceli terimleri belirleyelim.
- 👉 Adım 2: Pay ve paydanın derecelerini karşılaştıralım.
- 👉 Adım 3: Dereceler eşit olduğunda, limit en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranına eşittir.
- ✅ Sonuç: Limit değeri \( \frac{3}{2} \) dir.
Payın en yüksek dereceli terimi: \( 3x^2 \)
Paydanın en yüksek dereceli terimi: \( 2x^2 \)
Payın derecesi \( 2 \), paydanın derecesi \( 2 \) dir. Dereceler birbirine eşittir.
Paydaki \( x^2 \) teriminin katsayısı: \( 3 \)
Paydadaki \( x^2 \) teriminin katsayısı: \( 2 \)
Ek Bilgi:
* Eğer payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, limit \( \infty \) veya \( -\infty \) olur.
* Eğer payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, limit \( 0 \) olur.
(Grafik metinsel olarak betimlenmiştir: \( x \) ekseninde \( -3 \) ile \( 3 \) arasında bir fonksiyon çizilmiştir.)
Fonksiyonun özellikleri:
- \( x < 1 \) için grafik \( y = x+2 \) doğrusu gibi davranır. (Örn: \( x=0 \Rightarrow y=2 \), \( x=1 \) için içi boş nokta \( (1,3) \))
- \( x = 1 \) noktasında \( f(1) = 1 \) (dolu nokta \( (1,1) \))
- \( 1 < x < 2 \) için grafik \( y = 1 \) doğrusu gibi davranır. (Örn: \( x=1 \) için içi boş nokta \( (1,1) \), \( x=2 \) için içi boş nokta \( (2,1) \))
- \( x \ge 2 \) için grafik \( y = x-1 \) doğrusu gibi davranır. (Örn: \( x=2 \) için dolu nokta \( (2,1) \), \( x=3 \Rightarrow y=2 \))
- 👉 Adım 1: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) \) ifadesini bulalım.
- 👉 Adım 2: \( \lim_{x \to 2^+} f(x) \) ifadesini bulalım.
- 👉 Adım 3: \( f(1) \) değerini bulalım.
- 👉 Adım 4: Tüm değerleri yerine koyarak istenen ifadeyi hesaplayalım. \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) + \lim_{x \to 2^+} f(x) - f(1) = 3 + 1 - 1 \] \[ = 4 - 1 \] \[ = 3 \]
- ✅ Sonuç: İfadenin değeri \( 3 \) tür.
\( x \to 1^- \) demek, \( x \) değerlerinin \( 1 \) e soldan yaklaşması demektir. Grafikte \( x=1 \) in sol tarafına baktığımızda, fonksiyonun \( y=x+2 \) doğrusu gibi davrandığını görüyoruz. \( x \) değeri \( 1 \) e soldan yaklaştıkça, \( f(x) \) değeri \( 1+2=3 \) e yaklaşır.
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 \]\( x \to 2^+ \) demek, \( x \) değerlerinin \( 2 \) ye sağdan yaklaşması demektir. Grafikte \( x=2 \) nin sağ tarafına baktığımızda, fonksiyonun \( y=x-1 \) doğrusu gibi davrandığını görüyoruz. \( x \) değeri \( 2 \) ye sağdan yaklaştıkça, \( f(x) \) değeri \( 2-1=1 \) e yaklaşır.
\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 1 \]\( f(1) \) demek, fonksiyonun \( x=1 \) noktasındaki gerçek değeri demektir. Grafikte \( x=1 \) noktasında dolu nokta \( (1,1) \) olduğu belirtilmiştir.
\[ f(1) = 1 \]- 👉 Adım 1: İfadeyi limit formunda yazalım.
- 👉 Adım 2: Bu bir rasyonel fonksiyonun sonsuzdaki limitidir. Pay ve paydanın en yüksek dereceli terimlerini belirleyelim.
- 👉 Adım 3: Pay ve paydanın derecelerini karşılaştıralım.
- 👉 Adım 4: Dereceler eşit olduğunda, limit en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranına eşittir.
- ✅ Sonuç: Köprüye çok büyük bir yük uygulandığında, köprünün esneme miktarı \( 2 \) metreye yaklaşır. Bu, köprünün belirli bir esneme sınırına sahip olduğunu ve bu sınırın ötesine geçmeyeceğini gösteren önemli bir mühendislik bilgisidir.
Bizden istenen, \( t \to \infty \) için \( E(t) \) fonksiyonunun limitidir:
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{2t}{t+1} \]Payın en yüksek dereceli terimi: \( 2t \)
Paydanın en yüksek dereceli terimi: \( t \)
Payın derecesi \( 1 \), paydanın derecesi \( 1 \) dir. Dereceler birbirine eşittir.
Paydaki \( t \) teriminin katsayısı: \( 2 \)
Paydadaki \( t \) teriminin katsayısı: \( 1 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-limit/sorular