🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Kümeler Ebob Ekok Permütasyon Kombinasyon Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Kümeler Ebob Ekok Permütasyon Kombinasyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıftaki 30 öğrenciden 18'i futbol oynamayı, 15'i ise basketbol oynamayı sevmektedir. Her öğrenci bu sporlardan en az birini sevdiğine göre, hem futbol hem de basketbol oynamayı seven kaç öğrenci vardır? ⚽🏀
Çözüm:
Bu problemi kümelerdeki eleman sayısı formüllerini kullanarak çözebiliriz.
- 💡 Futbol sevenlerin kümesi \(F\), basketbol sevenlerin kümesi \(B\) olsun.
- Toplam öğrenci sayısı \(s(F \cup B) = 30\) olarak verilmiştir, çünkü her öğrenci en az birini sevmektedir.
- Futbol seven öğrenci sayısı \(s(F) = 18\).
- Basketbol seven öğrenci sayısı \(s(B) = 15\).
- Kümelerde birleşim formülü şöyledir:
\(s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B)\) - Şimdi bilinen değerleri yerine koyalım:
\(30 = 18 + 15 - s(F \cap B)\) - Denklemi çözelim:
\(30 = 33 - s(F \cap B)\) - \(s(F \cap B) = 33 - 30\)
- \(s(F \cap B) = 3\)
- ✅ Yani, hem futbol hem de basketbol oynamayı seven 3 öğrenci vardır.
Örnek 2:
5 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
📌 Not: Aynı türden kitaplar yan yana olmak zorundadır. 📚
📌 Not: Aynı türden kitaplar yan yana olmak zorundadır. 📚
Çözüm:
Bu bir permütasyon problemidir ve şartlı sıralama içerir.
- 👉 Öncelikle, 5 matematik kitabını kendi aralarında sıralayalım. Bu \(5!\) farklı şekilde yapılabilir.
\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) - 👉 Ardından, 3 fizik kitabını kendi aralarında sıralayalım. Bu \(3!\) farklı şekilde yapılabilir.
\(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) - Şimdi, matematik kitaplarını bir blok ve fizik kitaplarını başka bir blok olarak düşünelim. Bu iki blok kendi aralarında 2 farklı şekilde sıralanabilir (Matematik-Fizik veya Fizik-Matematik). Yani \(2!\) farklı sıralama.
\(2! = 2 \times 1 = 2\) - Toplam sıralama sayısını bulmak için bu sayıları çarpalım:
\( \text{Toplam Sıralama} = (5! \times 3!) \times 2! \) - \( \text{Toplam Sıralama} = (120 \times 6) \times 2 \)
- \( \text{Toplam Sıralama} = 720 \times 2 \)
- \( \text{Toplam Sıralama} = 1440 \)
- ✅ 5 farklı matematik ve 3 farklı fizik kitabı, aynı türden kitaplar yan yana olmak koşuluyla rafa 1440 farklı şekilde sıralanabilir.
Örnek 3:
Bir sınıfta 7 erkek ve 5 kız öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerden 3 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır.
Bu komisyonda 2 erkek ve 1 kız öğrenci bulunması şartıyla kaç farklı komisyon oluşturulabilir? 🧑🎓👩🎓
Bu komisyonda 2 erkek ve 1 kız öğrenci bulunması şartıyla kaç farklı komisyon oluşturulabilir? 🧑🎓👩🎓
Çözüm:
Bu bir kombinasyon problemidir, çünkü seçilen kişilerin sıralaması önemli değildir.
- Komisyonda 2 erkek öğrenci olması gerekiyor. 7 erkek öğrenci arasından 2 erkek seçimi yapmalıyız.
Bu, \(C(7, 2)\) ile gösterilir. - \(C(7, 2) = \frac{7!}{2! \times (7-2)!} = \frac{7!}{2! \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
- Komisyonda 1 kız öğrenci olması gerekiyor. 5 kız öğrenci arasından 1 kız seçimi yapmalıyız.
Bu, \(C(5, 1)\) ile gösterilir. - \(C(5, 1) = \frac{5!}{1! \times (5-1)!} = \frac{5!}{1! \times 4!} = \frac{5}{1} = 5\)
- Toplam komisyon sayısını bulmak için erkek ve kız seçimlerini çarpalım:
\( \text{Toplam Komisyon} = C(7, 2) \times C(5, 1) \) - \( \text{Toplam Komisyon} = 21 \times 5 \)
- \( \text{Toplam Komisyon} = 105 \)
- ✅ Belirtilen şartlara uygun 105 farklı komisyon oluşturulabilir.
Örnek 4:
Bir kelime oyununda, "MATEMATİK" kelimesinin harfleri kullanılarak anlamlı veya anlamsız 9 harfli kaç farklı kelime yazılabilir? 🧩
Çözüm:
Bu bir tekrarlı permütasyon problemidir.
- Öncelikle "MATEMATİK" kelimesindeki harfleri ve tekrar sayılarını belirleyelim:
- M: 2 tane
- A: 2 tane
- T: 2 tane
- E: 1 tane
- İ: 1 tane
- K: 1 tane
- Toplam harf sayısı \(n = 9\).
- Tekrar eden harfler M, A, T olup, her biri 2'şer kez tekrar etmektedir.
- Tekrarlı permütasyon formülü şöyledir:
\(P(n; n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!}\) - Formülü uygulayalım:
\( \text{Farklı Kelime Sayısı} = \frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} \) - Faktöriyel değerlerini hesaplayalım:
- \(9! = 362880\)
- \(2! = 2\)
- Şimdi yerine koyalım:
\( \text{Farklı Kelime Sayısı} = \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} \) - \( \text{Farklı Kelime Sayısı} = \frac{362880}{8} \)
- \( \text{Farklı Kelime Sayısı} = 45360 \)
- ✅ "MATEMATİK" kelimesinin harfleriyle 45360 farklı kelime yazılabilir.
Örnek 5:
İki farklı alarm saati bulunmaktadır. Birinci alarm saati 12 dakikada bir, ikinci alarm saati ise 18 dakikada bir çalmaktadır.
Bu iki alarm ilk kez saat 09:00'da birlikte çaldıktan sonra, tekrar saat kaçta birlikte çalacaklardır? ⏰
Bu iki alarm ilk kez saat 09:00'da birlikte çaldıktan sonra, tekrar saat kaçta birlikte çalacaklardır? ⏰
Çözüm:
Bu problem, iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulma problemidir.
- Birinci alarm 12 dakikada bir, ikinci alarm 18 dakikada bir çalıyor.
- Tekrar birlikte çalmaları için geçen sürenin, hem 12'nin hem de 18'in ortak bir katı olması gerekir. En erken ne zaman birlikte çalacaklarını bulmak için EKOK'larını bulmalıyız.
- 12 ve 18 sayılarının EKOK'unu bulalım:
- 12'nin asal çarpanları: \(2^2 \times 3\)
- 18'in asal çarpanları: \(2 \times 3^2\)
- EKOK(12, 18) = En büyük üslü asal çarpanları alarak çarpalım:
\(EKOK(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)
- Yani, iki alarm 36 dakika sonra tekrar birlikte çalacaktır.
- İlk kez saat 09:00'da birlikte çaldıklarına göre, 36 dakika sonraki zamanı bulalım:
09:00 + 36 dakika = 09:36 - ✅ İki alarm tekrar saat 09:36'da birlikte çalacaklardır.
Örnek 6:
Bir apartmanda 5 daire bulunmaktadır ve her daireye farklı bir renk zil butonu takılacaktır. Kullanılabilecek renkler arasında kırmızı, mavi, yeşil, sarı, turuncu ve mor vardır. Ancak, kırmızı ve mavi butonların yan yana olmaması istenmektedir.
Buna göre, 5 daireye kaç farklı şekilde zil butonu takılabilir? 🎨
Buna göre, 5 daireye kaç farklı şekilde zil butonu takılabilir? 🎨
Çözüm:
Bu, belirli koşulları içeren bir permütasyon problemidir.
- Toplam 6 farklı renk bulunmaktadır. 5 daireye 5 farklı renk butonu takılacaktır.
- Öncelikle, hiçbir kısıtlama olmasaydı kaç farklı şekilde buton takılabileceğini bulalım:
- 6 renkten 5'ini seçip 5 daireye sıralayacağız. Bu bir permütasyon işlemidir: \(P(6, 5)\).
- \(P(6, 5) = \frac{6!}{(6-5)!} = \frac{6!}{1!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720\)
- Yani, kısıtlama olmasaydı 720 farklı şekilde buton takılabilirdi.
- Şimdi kısıtlamayı ele alalım: Kırmızı ve mavi butonlar yan yana olamaz.
- Tüm durumlardan, kırmızı ve mavi butonların yan yana olduğu durumları çıkarırsak istenen sonucu buluruz.
- Kırmızı ve mavi butonların yan yana olduğu durumları hesaplayalım:
- Kırmızı ve mavi butonu tek bir "blok" gibi düşünelim. Bu blok kendi içinde 2 farklı şekilde sıralanabilir (Kırmızı-Mavi veya Mavi-Kırmızı). Yani \(2!\) farklı sıralama.
- Bu durumda, elimizde 4 farklı renk butonu (yeşil, sarı, turuncu, mor) ve 1 adet "kırmızı-mavi" bloğu olmak üzere toplam 5 eleman varmış gibi düşünelim.
- Bu 5 elemanı 5 daireye sıralayacağız. Ayrıca, toplamda 6 renk arasından 5 renk seçtiğimiz için, kırmızı ve mavi zaten seçilmiş oluyor. Geriye kalan 4 renkten 3 renk daha seçmemiz gerekiyor: \(C(4, 3) = 4\) farklı şekilde.
- Yani, Kırmızı ve Mavi'nin yan yana olduğu ve diğer 3 rengin seçildiği durum sayısı:
- Kırmızı ve Mavinin yan yana olduğu yer: 2 yer (KM veya MK)
- Geriye kalan 4 renkten 3 renk seçimi: \(C(4, 3) = 4\)
- Bu 3 renk ve KM bloğu toplam 4 eleman gibi davranır ve kendi aralarında \(4!\) farklı şekilde sıralanır.
- Kırmızı ve mavi yan yana olma durumu: \(2! \times C(4, 3) \times 4! \)
- \(2! \times 4 \times 4! = 2 \times 4 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 8 \times 24 = 192\)
- İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - (Kırmızı ve mavi yan yana olduğu durumlar)
- \( \text{İstenen Durum} = 720 - 192 \)
- \( \text{İstenen Durum} = 528 \)
- ✅ 5 daireye, kırmızı ve mavi butonların yan yana olmaması şartıyla 528 farklı şekilde zil butonu takılabilir.
Örnek 7:
Bir kafede 4 farklı sandviç, 3 farklı salata ve 2 farklı içecek seçeneği bulunmaktadır.
Bir müşteri bir sandviç, bir salata ve bir içecekten oluşan bir menüyü kaç farklı şekilde oluşturabilir? 🥪🥗🥤
Bir müşteri bir sandviç, bir salata ve bir içecekten oluşan bir menüyü kaç farklı şekilde oluşturabilir? 🥪🥗🥤
Çözüm:
Bu, temel sayma prensibi veya çarpma yoluyla sayma yönteminin bir uygulamasıdır. Her seçimin birbirinden bağımsız olduğu durumlarda seçenek sayıları çarpılır.
- Müşterinin seçebileceği sandviç sayısı: 4
- Müşterinin seçebileceği salata sayısı: 3
- Müşterinin seçebileceği içecek sayısı: 2
- Müşteri bu üç seçimi birbirinden bağımsız olarak yapabilir.
- Toplam menü sayısını bulmak için her bir seçeneğin sayısını çarparız:
\( \text{Toplam Menü Sayısı} = \text{Sandviç Seçenekleri} \times \text{Salata Seçenekleri} \times \text{İçecek Seçenekleri} \) - \( \text{Toplam Menü Sayısı} = 4 \times 3 \times 2 \)
- \( \text{Toplam Menü Sayısı} = 24 \)
- ✅ Müşteri, 24 farklı şekilde bir menü oluşturabilir.
Örnek 8:
Bir kümenin 5 elemanı vardır. Bu kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı ile 4 elemanlı alt küme sayısı arasındaki fark kaçtır? 🔢
Çözüm:
Bu problem, kombinasyon kavramı ile ilgilidir, çünkü alt kümelerde elemanların sırası önemli değildir.
- Kümenin toplam eleman sayısı \(n = 5\).
- 3 elemanlı alt küme sayısı, 5 eleman arasından 3 eleman seçmek demektir. Bu \(C(5, 3)\) ile gösterilir.
- \(C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
- 4 elemanlı alt küme sayısı, 5 eleman arasından 4 eleman seçmek demektir. Bu \(C(5, 4)\) ile gösterilir.
- \(C(5, 4) = \frac{5!}{4! \times (5-4)!} = \frac{5!}{4! \times 1!} = \frac{5}{1} = 5\)
- Şimdi bu iki alt küme sayısı arasındaki farkı bulalım:
\( \text{Fark} = C(5, 3) - C(5, 4) \) - \( \text{Fark} = 10 - 5 \)
- \( \text{Fark} = 5 \)
- ✅ 5 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı ile 4 elemanlı alt küme sayısı arasındaki fark 5'tir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-kumeler-ebob-ekok-permutasyon-kombinasyon/sorular