💡 12. Sınıf Matematik: Katı cisimler Çözümlü Örnekler

Küre hacmi formülü: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Verilen yarıçap \( r = 6 \) cm.

1. Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( V = \frac{4}{3} \pi (6)^3 \)
2. Küp alma işlemini yapalım: \( 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216 \)
3. Hesaplamayı tamamlayalım: \( V = \frac{4}{3} \pi (216) \)
4. Sadeleştirme yapalım: \( V = 4 \pi \times 72 \)
5. Sonucu bulalım: \( V = 288\pi \) cm³

✅ Kürenin hacmi \( 288\pi \) cm³'tür.

Dik dairesel koninin yanal yüzey alanı formülü: \[ A_{yanal} = \pi r l \] Burada \( r \) taban yarıçapı ve \( l \) ana doğrudur. Yüksekliği \( h = 10 \) cm ve yarıçapı \( r = 4 \) cm olarak verilmiş. Ana doğru \( l \) Pisagor teoremi ile bulunur: \[ l^2 = r^2 + h^2 \] \[ l^2 = 4^2 + 10^2 \] \[ l^2 = 16 + 100 \] \[ l^2 = 116 \] \[ l = \sqrt{116} = \sqrt{4 \times 29} = 2\sqrt{29} \] cm. Şimdi yanal yüzey alanını hesaplayalım: \[ A_{yanal} = \pi \times 4 \times 2\sqrt{29} \] \[ A_{yanal} = 8\pi\sqrt{29} \] cm² 📌 Ana doğruyu hesaplamayı unutmayın!

Kare dik piramit hacim formülü: \[ V = \frac{1}{3} A_{taban} \times h \] Taban alanı \( A_{taban} \) bir kenarı 5 cm olan kare olduğundan: \[ A_{taban} = 5^2 = 25 \] cm² Yükseklik \( h = 12 \) cm. Hacim hesaplaması: \[ V = \frac{1}{3} \times 25 \times 12 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 300 \] \[ V = 100 \] cm³ ✅ Piramidin hacmi 100 cm³'tür.

Silindirin yanal yüzey alanı formülü: \[ A_{yanal} = 2 \pi r h \] Taban çevresi \( Ç = 2 \pi r \) olarak verilir. Verilen taban çevresi \( 16\pi \) cm'dir. \[ 16\pi = 2 \pi r \] Buradan yarıçap \( r \) bulunur: \[ r = \frac{16\pi}{2\pi} = 8 \] cm. Yükseklik \( h = 8 \) cm olarak verilmiş. Şimdi yanal yüzey alanını hesaplayalım: \[ A_{yanal} = 2 \pi \times 8 \times 8 \] \[ A_{yanal} = 128\pi \] cm² 👉 Taban çevresinden yarıçapı bulmak ilk adımdır.

Bu tür bir problemde koninin eksenel kesiti incelenir. Eksenel kesit, tabanı 6 cm (2r) ve yüksekliği \( h \) olan bir ikizkenar üçgendir. Ana doğru \( l = 5 \) cm'dir. Öncelikle koninin yüksekliğini bulalım: \[ h^2 + r^2 = l^2 \] \[ h^2 + 3^2 = 5^2 \] \[ h^2 + 9 = 25 \] \[ h^2 = 16 \] \[ h = 4 \] cm. Kesitteki ikizkenar üçgenin içine çizilen en büyük küre, bu üçgenin iç teğet çemberidir. Kürenin yarıçapı, bu iç teğet çemberin yarıçapına eşittir. Üçgenin alanı \( A_{üçgen} \) = \( \frac{1}{2} \times taban \times yükseklik \) = \( \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \) cm². Üçgenin çevresi \( Ç_{üçgen} \) = \( 6 + 5 + 5 = 16 \) cm. İç teğet çemberin yarıçapı \( r_{iç} \) formülü: \[ r_{iç} = \frac{A_{üçgen}}}{s} \] Burada \( s \) yarı çevredir: \( s = \frac{Ç_{üçgen}}}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) cm. \[ r_{iç} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \] cm. ✅ Kürenin yarıçapı \( \frac{3}{2} \) cm'dir.

Bu problemin çözümü için koninin hacim formülünü kullanacağız. Koninin hacim formülü: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Verilenler: Taban yarıçapı \( r = 4 \) cm. Yükseklik \( h = 12 \) cm. \( \pi = 3 \) olarak alınız. Hacim hesaplaması: \[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (4)^2 \times 12 \] \[ V = 1 \times 16 \times 12 \] \[ V = 192 \] cm³ 📌 Dondurma külahının hacmi, içine alabileceği dondurma miktarını verir.

Bir kürenin bir prizmanın içine tam olarak yerleştirilebilmesi için, kürenin çapı prizmanın taban ayrıtı uzunluğuna ve prizmanın yüksekliğine eşit olmalıdır. Kürenin yarıçapı \( r = 5 \) cm. Kürenin çapı \( d = 2r = 2 \times 5 = 10 \) cm. Prizmanın tabanı kare olduğundan, taban ayrıt uzunluğu kürenin çapına eşit olmalıdır: \( a = 10 \) cm. Prizmanın yüksekliği de kürenin çapına eşit olmalıdır: \( h = 10 \) cm. Prizmanın hacim formülü: \[ V_{prizma} = A_{taban} \times h \] Taban alanı \( A_{taban} = a^2 = 10^2 = 100 \) cm². Prizmanın hacmi: \[ V_{prizma} = 100 \times 10 \] \[ V_{prizma} = 1000 \] cm³ ✅ Prizmanın hacmi en az 1000 cm³ olur.

Su deposunun hacmi, silindirin hacim formülü ile hesaplanır. Silindir hacim formülü: \[ V = \pi r^2 h \] Verilenler: Taban yarıçapı \( r = 7 \) metre. Yükseklik \( h = 10 \) metre. \( \pi = 22/7 \) olarak alınacaktır. Hacim hesaplaması: \[ V = \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 10 \] \[ V = \frac{22}{7} \times 49 \times 10 \] Önce 7 ile 49 sadeleşir: \[ V = 22 \times 7 \times 10 \] \[ V = 154 \times 10 \] \[ V = 1540 \] m³ ✅ Deponun hacmi 1540 metreküptür.