💡 12. Sınıf Matematik: İntegral Çözümlü Örnekler

Bu soru, türev alma kurallarının temelini anlamak için bir başlangıç noktasıdır.
Türev alma kuralları şunlardır:

• Sabit fonksiyonun türevi 0'dır: \( \frac{d}{dx}(c) = 0 \)
• Kuvvet fonksiyonunun türevi: \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
• Sabit çarpım kuralı: \( \frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot \frac{d}{dx}(f(x)) \)
• Toplam ve fark kuralı: \( \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}(f(x)) \pm \frac{d}{dx}(g(x)) \)

Şimdi verilen ifadeye bu kuralları uygulayalım:
\( \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 - 5x + 1) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(1) \)
\( = 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} - 5 \cdot 1x^{1-1} + 0 \)
\( = 3x^2 + 4x^1 - 5x^0 + 0 \)
\( = 3x^2 + 4x - 5 \)
✅ Sonuç olarak, ifadenin türevi \( 3x^2 + 4x - 5 \) olarak bulunur.

Bu soru, bir önceki soruda bulduğumuz türevin tersi olan belirsiz integrali hesaplamayı gösterir.
İntegral alma kuralları şunlardır:

• Sabit fonksiyonun integrali: \( \int c \, dx = cx + C \)
• Kuvvet fonksiyonunun integrali: \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (burada \( n \neq -1 \))
• Sabit çarpım kuralı: \( \int c \cdot f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx \)
• Toplam ve fark kuralı: \( \int (f(x) \pm g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx \)

Şimdi verilen integrali bu kuralları kullanarak çözelim:
\( \int (3x^2 + 4x - 5) dx = \int 3x^2 \, dx + \int 4x \, dx - \int 5 \, dx \)
\( = 3 \int x^2 \, dx + 4 \int x^1 \, dx - 5 \int 1 \, dx \)
\( = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 5 \cdot x + C \)
\( = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C \)
\( = x^3 + 2x^2 - 5x + C \)
✅ İntegralin sonucu \( x^3 + 2x^2 - 5x + C \) olarak bulunur. Unutmayın, belirsiz integrallerde her zaman bir \( +C \) sabiti eklenir.

Belirli integraller, bir fonksiyonun grafiği ile \( x \)-ekseni arasındaki alanı hesaplamak için kullanılır.
Bu soruda, \( y = x+1 \) doğrusunun \( x=0 \) ve \( x=2 \) arasındaki alanı bulacağız.
İntegrali hesaplayalım:
\( \int_0^2 (x+1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2 \)
Üst sınırı yerine koyalım:
\( \frac{2^2}{2} + 2 = \frac{4}{2} + 2 = 2 + 2 = 4 \)
Alt sınırı yerine koyalım:
\( \frac{0^2}{2} + 0 = 0 + 0 = 0 \)
Değerleri birbirinden çıkaralım:
\( 4 - 0 = 4 \)
Geometrik olarak bu alan bir yamuktur. Yamuğun üst tabanı \( x=0 \) iken \( y=1 \), alt tabanı \( x=2 \) iken \( y=3 \) ve yüksekliği 2'dir. Yamuğun alanı \( \frac{(a+b)h}{2} \) formülüyle bulunur: \( \frac{(1+3) \cdot 2}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4 \).
✅ İntegralin değeri 4'tür ve bu, \( x \)-ekseni ile \( y=x+1 \) doğrusu arasında kalan alanı temsil eder.

Değişken değiştirme yöntemi, karmaşık görünen integralleri çözmek için çok etkilidir.
Bu integralde, \( u = x^2+1 \) değişkenini seçelim.
Şimdi \( u \)'nun \( x \)'e göre türevini alalım: \( \frac{du}{dx} = 2x \).
Buradan \( dx \) ifadesini çekelim: \( dx = \frac{du}{2x} \).
Şimdi orijinal integrale bu yeni değişkenleri yerleştirelim:
\( \int x \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2x} \)
\( x \) terimleri sadeleşir:
\( \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} \)
\( = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du \)
Şimdi kuvvet fonksiyonunun integralini alalım:
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C \)
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C \)
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C \)
\( = \frac{1}{3} u^{3/2} + C \)
Son olarak, \( u \) yerine \( x^2+1 \) yazalım:
\( = \frac{1}{3} (x^2+1)^{3/2} + C \)
✅ Değişken değiştirme yöntemiyle integralin sonucu \( \frac{1}{3} (x^2+1)^{3/2} + C \) olarak bulunur.

Hareketlinin aldığı yol, hız fonksiyonunun belirli integralini alarak bulunur. Hız, konumun zamana göre türevi olduğundan, konum integrali hızın zamana göre integralidir.
İlk 3 saniyede alınan yolu bulmak için \( v(t) \) fonksiyonunu \( t=0 \) 'dan \( t=3 \) 'e kadar integre edeceğiz.
Yol \( s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt \) formülü ile hesaplanır.
\( s = \int_0^3 (6t^2 - 4t + 2) \, dt \)
İntegrali hesaplayalım:
\( s = \left[ 6 \cdot \frac{t^3}{3} - 4 \cdot \frac{t^2}{2} + 2t \right]_0^3 \)
\( s = \left[ 2t^3 - 2t^2 + 2t \right]_0^3 \)
Şimdi üst sınırı (t=3) yerine koyalım:
\( 2(3)^3 - 2(3)^2 + 2(3) = 2(27) - 2(9) + 6 = 54 - 18 + 6 = 42 \)
Şimdi alt sınırı (t=0) yerine koyalım:
\( 2(0)^3 - 2(0)^2 + 2(0) = 0 - 0 + 0 = 0 \)
Alınan yolu bulmak için üst sınırdan alt sınırı çıkaralım:
\( s = 42 - 0 = 42 \)
✅ Hareketlinin ilk 3 saniyede aldığı yol 42 metredir.

Bu soruda, ekmek üretim hızını veren fonksiyonun belirli integralini alarak belirli bir zaman aralığındaki toplam üretimi bulacağız. Üretim fonksiyonu \( N(t) \) ise, üretim hızını \( N'(t) \) olarak düşünebiliriz. Ancak soruda doğrudan üretim sayısını veren fonksiyon verilmiş, bu nedenle bu fonksiyonun kendisini integre etmemiz gerekiyor. Eğer soru üretim hızını verseydi, o zaman integral alırdık. Sorunun ifadesiyle, \( N(t) \) fonksiyonunun kendisi, toplam üretim miktarını değil, o andaki üretimi veya üretim kapasitesini temsil ediyor olabilir. Ancak "ilk 4 saatte ürettiği toplam ekmek sayısı" sorulduğu için, bu fonksiyonun türevinin integralini almamız gerekir. Eğer \( N(t) \) üretim hızı olsaydı, \( \int_0^4 N(t) dt \) hesaplardık. Sorunun ifadesi biraz muğlak olsa da, genellikle bu tür "toplam miktar" sorularında verilen fonksiyon hız veya değişim oranıdır. Bu durumda, \( N(t) \) üretim hızı olarak kabul edilirse, ilk 4 saatte üretilen toplam ekmek sayısı şu şekilde bulunur:
Toplam Ekmek \( = \int_0^4 (-t^2 + 10t + 50) \, dt \)
İntegrali hesaplayalım:
\( = \left[ -\frac{t^3}{3} + 10 \cdot \frac{t^2}{2} + 50t \right]_0^4 \)
\( = \left[ -\frac{t^3}{3} + 5t^2 + 50t \right]_0^4 \)
Üst sınırı (t=4) yerine koyalım:
\( -\frac{4^3}{3} + 5(4)^2 + 50(4) = -\frac{64}{3} + 5(16) + 200 = -\frac{64}{3} + 80 + 200 = 280 - \frac{64}{3} \)
\( = \frac{840 - 64}{3} = \frac{776}{3} \)
Alt sınırı (t=0) yerine koyalım:
\( -\frac{0^3}{3} + 5(0)^2 + 50(0) = 0 \)
Toplam üretimi bulalım:
\( \frac{776}{3} - 0 = \frac{776}{3} \)
\( \frac{776}{3} \approx 258.67 \)
Ekmek sayısı tam sayı olmalıdır. Sorunun ifadesi, \( N(t) \) 'nin doğrudan üretim sayısı olduğunu ima ediyorsa, bu durumda integral almak yerine \( N(4) \) değerini bulmak daha mantıklı olabilir. Ancak "toplam üretilen" ifadesi integral almayı gerektirir. Eğer \( N(t) \) üretim hızı ise, sonuç yaklaşık 259 ekmektir. Sorunun bu şekilde sorulması, integralin günlük hayattaki uygulamalarını göstermek içindir. Eğer \( N(t) \) doğrudan ekmek sayısını veriyorsa, bu modelde bir sorun vardır çünkü türevi alınmadan doğrudan bu fonksiyonla toplam üretim hesaplanamaz. Genellikle bu tür sorularda verilen fonksiyon hızdır. Bu nedenle, \( N(t) \) üretim hızı olarak kabul edilerek hesaplama yapılmıştır. ✅ Fırının ilk 4 saatte ürettiği toplam ekmek sayısı yaklaşık \( \frac{776}{3} \) veya \( 258.67 \) olarak bulunur. Tam sayı olması gerektiği için, bu modelin gerçek hayatta daha hassas olması gerekebilir veya yuvarlama yapılabilir.

Belirli integralin temel teoremi, belirli integralleri hesaplamak için türev ve integral arasındaki ilişkiyi kullanmamızı sağlar.
Teoreme göre, eğer \( F'(x) = f(x) \) ise, \( \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \) olur.
Bu soruda, \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun integralini alacağız.
\( \frac{1}{x} \) fonksiyonunun integrali \( \ln|x| \) 'dir. Yani, \( F(x) = \ln|x| \).
Şimdi teoremi uygulayalım:
\( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = [\ln|x|]_1^e \)
Üst sınırı (e) yerine koyalım:
\( \ln|e| = \ln(e) = 1 \)
Alt sınırı (1) yerine koyalım:
\( \ln|1| = \ln(1) = 0 \)
Değerleri birbirinden çıkaralım:
\( 1 - 0 = 1 \)
✅ Belirli integralin temel teoremi kullanılarak \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \) integralinin değeri 1 olarak bulunur.

Kısmi integrasyon formülü \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \) şeklindedir.
Bu yöntemi uygulamak için integrali \( u \) ve \( dv \) olarak iki kısma ayırmamız gerekir.
\( \int x e^x \, dx \) integralinde, \( u = x \) ve \( dv = e^x \, dx \) seçelim.
Şimdi \( du \) ve \( v \) değerlerini bulalım:
\( du = \frac{d}{dx}(x) \, dx = 1 \, dx = dx \)
\( v = \int dv = \int e^x \, dx = e^x \)
Şimdi kısmi integrasyon formülünü uygulayalım:
\( \int x e^x \, dx = x \cdot e^x - \int e^x \, dx \)
Sağ taraftaki integrali hesaplayalım:
\( \int e^x \, dx = e^x \)
Formülde yerine koyalım:
\( \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C \)
✅ Kısmi integrasyon yöntemiyle \( \int x e^x \, dx \) integralinin sonucu \( x e^x - e^x + C \) olarak bulunur.

Bu soruda, maliyet fonksiyonunun türevi olan marjinal maliyet fonksiyonunu kullanarak belirli bir üretim aralığındaki maliyet artışını hesaplayacağız.
Marjinal maliyet fonksiyonu \( MC(q) = C'(q) \) olarak bulunur.
Önce maliyet fonksiyonunun türevini alalım:
\( C'(q) = \frac{d}{dq}(0.01q^3 - 0.3q^2 + 5q + 1000) \)
\( C'(q) = 0.01 \cdot 3q^2 - 0.3 \cdot 2q + 5 \)
\( C'(q) = 0.03q^2 - 0.6q + 5 \)
Şimdi ilk 20 birim malın üretim maliyetindeki artışı bulmak için marjinal maliyet fonksiyonunu \( q=0 \) 'dan \( q=20 \) 'ye kadar integre etmemiz gerekir. Bu, belirli integralin temel teoreminin bir uygulamasıdır: \( \int_{q_1}^{q_2} C'(q) \, dq = C(q_2) - C(q_1) \).
\( \int_0^{20} (0.03q^2 - 0.6q + 5) \, dq \)
İntegrali hesaplayalım:
\( = \left[ 0.03 \cdot \frac{q^3}{3} - 0.6 \cdot \frac{q^2}{2} + 5q \right]_0^{20} \)
\( = \left[ 0.01q^3 - 0.3q^2 + 5q \right]_0^{20} \)
Üst sınırı (q=20) yerine koyalım:
\( 0.01(20)^3 - 0.3(20)^2 + 5(20) = 0.01(8000) - 0.3(400) + 100 \)
\( = 80 - 120 + 100 = 60 \)
Alt sınırı (q=0) yerine koyalım:
\( 0.01(0)^3 - 0.3(0)^2 + 5(0) = 0 \)
Maliyet artışı:
\( 60 - 0 = 60 \)
Alternatif olarak, doğrudan maliyet fonksiyonundaki değişimi hesaplayabiliriz:
\( C(20) - C(0) = (0.01(20)^3 - 0.3(20)^2 + 5(20) + 1000) - (0.01(0)^3 - 0.3(0)^2 + 5(0) + 1000) \)
\( = (0.01(8000) - 0.3(400) + 100 + 1000) - (1000) \)
\( = (80 - 120 + 100 + 1000) - 1000 \)
\( = (160 + 1000) - 1000 = 1160 - 1000 = 160 \) TL.
Soruda "ilk 20 birim malın üretim maliyetindeki artışı" sorulduğu için, bu \( C(20) - C(0) \) ile bulunur. Eğer "ilk 20 birim malın marjinal maliyetinin ortalaması" sorulsaydı, o zaman integralini alırdık. Sorunun ifadesi "maliyetindeki artış" olduğu için, doğrudan maliyet fonksiyonundaki değişimi hesaplamak daha doğrudur. Bu durumda cevap 160 TL'dir. ✅ İlk 20 birim malın üretim maliyetindeki artış 160 TL'dir.

Depoya giren suyun toplam miktarını bulmak için akış hızının (litre/dakika) belirli integralini almalıyız. Bu bize belirli bir zaman aralığında depoya giren toplam su miktarını verecektir.
Toplam giren su miktarı \( = \int_{t_1}^{t_2} R(t) \, dt \)
Başlangıçta depoda 500 litre su var ve ilk 10 dakika sonunda depodaki toplam suyu bulmak istiyoruz. Bu nedenle integrali \( t=0 \) 'dan \( t=10 \) 'a kadar alacağız.
\( \int_0^{10} (2t + 10) \, dt \)
İntegrali hesaplayalım:
\( = \left[ 2 \cdot \frac{t^2}{2} + 10t \right]_0^{10} \)
\( = \left[ t^2 + 10t \right]_0^{10} \)
Üst sınırı (t=10) yerine koyalım:
\( (10)^2 + 10(10) = 100 + 100 = 200 \) litre.
Alt sınırı (t=0) yerine koyalım:
\( (0)^2 + 10(0) = 0 \) litre.
İlk 10 dakikada depoya giren toplam su miktarı \( 200 - 0 = 200 \) litredir.
Depodaki toplam su miktarını bulmak için başlangıçtaki su miktarını eklemeliyiz:
Toplam Su = Başlangıç Suyu + Giren Su
Toplam Su = \( 500 + 200 = 700 \) litre.
✅ İlk 10 dakika sonunda depoda toplam 700 litre su olur.