🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: İntegral türev trigonometri Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: İntegral türev trigonometri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir \( f(x) = 3x^2 + 5x - 2 \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda temel türev kurallarını uygulayacağız. 💡
- Verilen fonksiyon: \( f(x) = 3x^2 + 5x - 2 \)
- Türev alma kuralı: \( \frac{d}{dx}(ax^n) = n \cdot ax^{n-1} \) ve \( \frac{d}{dx}(c) = 0 \).
- \( 3x^2 \) teriminin türevi: \( 2 \cdot 3x^{2-1} = 6x \)
- \( 5x \) teriminin türevi: \( 1 \cdot 5x^{1-1} = 5x^0 = 5 \)
- \( -2 \) sabit teriminin türevi: \( 0 \)
- Tüm terimlerin türevlerini toplarsak: \( f'(x) = 6x + 5 \)
Örnek 2:
\( \int (4x^3 - 2x + 1) dx \) integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu bir belirsiz integral sorusudur ve temel integral alma kuralları kullanılacaktır. 💡
- İntegral alma kuralı: \( \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C \) ve \( \int k dx = kx + C \).
- \( 4x^3 \) teriminin integrali: \( \frac{4}{3+1}x^{3+1} = \frac{4}{4}x^4 = x^4 \)
- \( -2x \) teriminin integrali: \( \frac{-2}{1+1}x^{1+1} = \frac{-2}{2}x^2 = -x^2 \)
- \( 1 \) teriminin integrali: \( 1x = x \)
- İntegral sabitini \( C \) eklemeyi unutmayalım.
Örnek 3:
\( \sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{6}) \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda trigonometrik fonksiyonların özel açı değerlerini kullanacağız. 💡
- \( \sin(\frac{\pi}{3}) \) değeri \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 'dir.
- \( \cos(\frac{\pi}{6}) \) değeri de \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 'dir.
- Bu iki değeri toplarsak: \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- Toplama işlemi sonucunda \( \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) elde ederiz.
Örnek 4:
\( \frac{d}{dx}(\sin(x) \cdot e^x) \) türevini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda çarpımın türevi kuralını kullanacağız. 💡
- Çarpımın türevi kuralı: \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \)
- Burada \( u = \sin(x) \) ve \( v = e^x \) olsun.
- \( u' = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \)
- \( v' = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
- Kuralları uygulayalım: \( (\cos(x) \cdot e^x) + (\sin(x) \cdot e^x) \)
- Ortak çarpan \( e^x \) parantezine alırsak: \( e^x(\cos(x) + \sin(x)) \)
Örnek 5:
Belirli integral \( \int_{1}^{2} (2x + 3) dx \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda belirli integralin temel teoreminden yararlanacağız. 💡
- Önce fonksiyonun belirsiz integralini alalım: \( \int (2x + 3) dx = x^2 + 3x + C \)
- Şimdi üst sınırı (2) ve alt sınırı (1) yerine koyup farkını alalım.
- Üst sınır için: \( (2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 \)
- Alt sınır için: \( (1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4 \)
- Fark: \( 10 - 4 = 6 \)
Örnek 6:
Bir hareketlinin \( t \) saniyedeki konumu \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 5 \) metre olarak veriliyor. Bu hareketlinin 3. saniyedeki anlık hızını bulunuz.
Çözüm:
Anlık hız, konum fonksiyonunun zamana göre türevidir. 💡
- Konum fonksiyonu: \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 5 \)
- Hız fonksiyonu \( v(t) \) , konum fonksiyonunun türevidir: \( v(t) = s'(t) \)
- \( s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 5) = 3t^2 - 12t \)
- Hareketlinin 3. saniyedeki hızını bulmak için \( t=3 \) değerini hız fonksiyonunda yerine koyalım.
- \( v(3) = 3(3)^2 - 12(3) = 3(9) - 36 = 27 - 36 = -9 \)
Örnek 7:
Bir ürünün maliyet fonksiyonu \( C(x) = 0.1x^2 + 10x + 500 \) TL olarak veriliyor. Bu ürünün üretim miktarı 100 birim olduğunda, marjinal maliyeti (yani 101. birimin ek maliyetini yaklaşık olarak) hesaplayınız.
Çözüm:
Marjinal maliyet, maliyet fonksiyonunun türevidir. 💡
- Maliyet fonksiyonu: \( C(x) = 0.1x^2 + 10x + 500 \)
- Marjinal maliyet fonksiyonu \( MC(x) \) , maliyet fonksiyonunun türevidir: \( MC(x) = C'(x) \)
- \( C'(x) = \frac{d}{dx}(0.1x^2 + 10x + 500) = 0.2x + 10 \)
- Üretim miktarı 100 birim olduğunda marjinal maliyeti bulmak için \( x=100 \) değerini marjinal maliyet fonksiyonunda yerine koyalım.
- \( MC(100) = 0.2(100) + 10 = 20 + 10 = 30 \)
Örnek 8:
\( \int \sin^2(x) dx \) integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu integral için trigonometrik özdeşliklerden yararlanmamız gerekecek. 💡
- Kullanacağımız özdeşlik: \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \)
- İntegrali bu özdeşlikle yeniden yazalım: \( \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx \)
- Sabiti dışarı alalım: \( \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) dx \)
- İntegrali iki parçaya ayıralım: \( \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \cos(2x) dx \right) \)
- İlk integral: \( \int 1 dx = x \)
- İkinci integral için \( u = 2x \) dersek, \( du = 2dx \) yani \( dx = \frac{du}{2} \) olur. Bu durumda \( \int \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) = \frac{1}{2} \sin(2x) \) olur.
- Şimdi bu sonuçları birleştirelim: \( \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \sin(2x) \right) + C \)
- Parantezi dağıtalım: \( \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-integral-turev-trigonometri/sorular