📄 12. Sınıf Matematik: İntegral türev trigonometri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz.\

\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)

\(3x^2 - 12x + 9 = 0\)

Her tarafı 3'e bölelim:

\(x^2 - 4x + 3 = 0\)

Bu denklemi çarpanlarına ayıralım:

\((x-1)(x-3) = 0\)

Buradan \(x_1 = 1\) ve \(x_2 = 3\) kritik noktalar bulunur.\

Şimdi bu kritik noktaların yerel ekstremum olup olmadığını anlamak için işaret tablosu oluşturalım veya ikinci türev testini kullanalım.

İşaret tablosu için \(f'(x)\) fonksiyonunun kökleri olan 1 ve 3'ü yerleştirelim. \(f'(x)\) bir parabol olduğu için katsayısı pozitif olduğundan, köklerin dışında pozitif, arasında negatif olacaktır.

\(x < 1\) için \(f'(x) > 0\) (Fonksiyon artan)

\(1 < x < 3\) için \(f'(x) < 0\) (Fonksiyon azalan)

\(x > 3\) için \(f'(x) > 0\) (Fonksiyon artan)

\(x=1\) noktasında fonksiyon artanlıktan azalanlığa geçtiği için yerel maksimum vardır. \(f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 2 = 1 - 6 + 9 - 2 = 2\). Yerel maksimum noktası \((1, 2)\)'dir.\

\(x=3\) noktasında fonksiyon azalanlıktan artanlığa geçtiği için yerel minimum vardır. \(f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 2 = 27 - 54 + 27 - 2 = -2\). Yerel minimum noktası \((3, -2)\)'dir.

💡 Çözüm Adımları:

İstenen alan, \(y = x^2\) eğrisi ile x ekseni arasında \(x=0\) (çünkü eğri orijinden geçer) ile \(x=2\) arasında kalan bölgenin alanıdır. Bu alan belirli integral ile hesaplanır.\

Alan \(A = \int_{0}^{2} x^2 dx\)

İntegrali alalım:

\(\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C\)

Şimdi belirli integrali hesaplayalım:

\(A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}\)

Üst sınırı yerine koyup alt sınırı çıkaralım:

\(A = \frac{(2)^3}{3} - \frac{(0)^3}{3}\)

\(A = \frac{8}{3} - 0\)

\(A = \frac{8}{3}\)

Buna göre, belirtilen bölgenin alanı \(\frac{8}{3}\) birimkaredir.

💡 Çözüm Adımları:

a) Hareketlinin hız denklemi, konum denkleminin zamana göre birinci türevi alınarak bulunur. \(v(t) = s'(t)\)

\(s(t) = t^3 - 3t^2 + 2t\)

\(v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 + 2t)\)

\(v(t) = 3t^2 - 6t + 2\) metre/saniye.



b) Hareketlinin ivme denklemi, hız denkleminin zamana göre birinci türevi (veya konum denkleminin zamana göre ikinci türevi) alınarak bulunur. \(a(t) = v'(t) = s''(t)\)

\(v(t) = 3t^2 - 6t + 2\)

\(a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 2)\)

\(a(t) = 6t - 6\) metre/saniye kare.



c) Hareketlinin hızının sıfır olduğu anları bulmak için hız denklemini sıfıra eşitlemeliyiz.

\(v(t) = 3t^2 - 6t + 2 = 0\)

Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Diskriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) ile kökleri bulabiliriz.

\(a=3, b=-6, c=2\)

\(\Delta = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12\)

Kökler \(t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) formülü ile bulunur.

\(t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(3)}\)

\(t = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}\)

\(t = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}\)

Buna göre, hareketlinin hızının sıfır olduğu anlar \(t_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}\) saniye ve \(t_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}\) saniyedir.