🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Faktöriyelli İşlemler Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Faktöriyelli İşlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 Faktöriyel kavramını hatırlayalım ve basit bir işlemle başlayalım.
\(5!\) (5 faktöriyel) ifadesinin değeri kaçtır?
\(5!\) (5 faktöriyel) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Haydi bu kolay soruyla faktöriyelli işlemlere giriş yapalım! 🚀
- Faktöriyel, bir sayma sayısının kendinden küçük tüm pozitif tam sayılarla çarpımını ifade eder.
- Tanım: \( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 \)
- Buna göre, \(5!\) ifadesini açarsak:
- \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
- Şimdi çarpma işlemini yapalım:
- \( 5 \times 4 = 20 \)
- \( 20 \times 3 = 60 \)
- \( 60 \times 2 = 120 \)
- \( 120 \times 1 = 120 \)
Örnek 2:
Aşağıdaki faktöriyelli ifadeyi en sade biçimde yazınız:
\[ \frac{8! + 7!}{7!} \]
\[ \frac{8! + 7!}{7!} \]
Çözüm:
Bu tür ifadelerde büyük faktöriyeli, küçük faktöriyele benzeterek sadeleştirme yaparız. 💡
- Pay kısmındaki \(8!\) ifadesini \(7!\) cinsinden yazalım:
- \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times \dots \times 1 = 8 \times (7!) \)
- Şimdi ifadeyi yerine yazalım:
- \[ \frac{8 \times 7! + 7!}{7!} \]
- Pay kısmını \(7!\) ortak parantezine alalım:
- \[ \frac{7! \times (8 + 1)}{7!} \]
- Pay ve paydadaki \(7!\) ifadelerini sadeleştirelim:
- \[ \frac{\cancel{7!} \times (8 + 1)}{\cancel{7!}} \]
- Geriye kalan işlemi yapalım:
- \( 8 + 1 = 9 \)
Örnek 3:
Verilen denklemi sağlayan \(n\) değerini bulunuz:
\[ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 42 \]
\[ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 42 \]
Çözüm:
Faktöriyelli denklemleri çözerken, ifadeleri en küçük faktöriyel cinsinden yazmak işimizi kolaylaştırır. 🎯
- Paydaki \( (n+1)! \) ifadesini, paydadaki \( (n-1)! \) cinsinden yazalım:
- \( (n+1)! = (n+1) \times n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 \)
- Yani, \( (n+1)! = (n+1) \times n \times (n-1)! \)
- Şimdi bu ifadeyi denklemde yerine koyalım:
- \[ \frac{(n+1) \times n \times (n-1)!}{(n-1)!} = 42 \]
- Pay ve paydadaki \( (n-1)! \) ifadelerini sadeleştirelim:
- \[ (n+1) \times n = 42 \]
- Denklemi açalım:
- \( n^2 + n = 42 \)
- Denklemi standart forma getirelim:
- \( n^2 + n - 42 = 0 \)
- Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayıralım:
- \( (n+7)(n-6) = 0 \)
- Buradan iki olası \(n\) değeri elde ederiz:
- \( n+7 = 0 \implies n = -7 \)
- \( n-6 = 0 \implies n = 6 \)
- Faktöriyel tanımına göre, \(n\) bir doğal sayı olmalıdır ve \(n-1 \ge 0\) olmalıdır. Bu yüzden \(n\) değeri negatif olamaz.
Örnek 4:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{10!}{9!} - \frac{6!}{5!} \]
\[ \frac{10!}{9!} - \frac{6!}{5!} \]
Çözüm:
Bu problemde iki ayrı faktöriyelli ifadeyi sadeleştirip farklarını alacağız. 🤔
- Önce ilk terimi inceleyelim: \( \frac{10!}{9!} \)
- \( 10! = 10 \times 9! \) olduğunu biliyoruz.
- O halde, \( \frac{10!}{9!} = \frac{10 \times 9!}{9!} = 10 \)
- Şimdi ikinci terimi inceleyelim: \( \frac{6!}{5!} \)
- \( 6! = 6 \times 5! \) olduğunu biliyoruz.
- O halde, \( \frac{6!}{5!} = \frac{6 \times 5!}{5!} = 6 \)
- Son olarak, bu iki sonucun farkını alalım:
- \( 10 - 6 = 4 \)
Örnek 5:
Verilen denklemi sağlayan \(k\) değerini bulunuz:
\[ \frac{(k+2)!}{k!} = 56 \]
\[ \frac{(k+2)!}{k!} = 56 \]
Çözüm:
Bir önceki denkleme benzer şekilde, büyük faktöriyeli küçük faktöriyel cinsinden yazarak sadeleştirme yapacağız. 🧐
- Paydaki \( (k+2)! \) ifadesini, paydadaki \( k! \) cinsinden yazalım:
- \( (k+2)! = (k+2) \times (k+1) \times k! \)
- Şimdi bu ifadeyi denklemde yerine koyalım:
- \[ \frac{(k+2) \times (k+1) \times k!}{k!} = 56 \]
- Pay ve paydadaki \( k! \) ifadelerini sadeleştirelim:
- \[ (k+2) \times (k+1) = 56 \]
- Bu ifadeyi açarak bir ikinci dereceden denklem elde edelim:
- \( k^2 + k + 2k + 2 = 56 \)
- \( k^2 + 3k + 2 = 56 \)
- Denklemi standart forma getirelim:
- \( k^2 + 3k - 54 = 0 \)
- Şimdi bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları \(-54\), toplamları \(3\) olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar \(9\) ve \(-6\)'dır.
- \( (k+9)(k-6) = 0 \)
- Buradan iki olası \(k\) değeri elde ederiz:
- \( k+9 = 0 \implies k = -9 \)
- \( k-6 = 0 \implies k = 6 \)
- Faktöriyel tanımına göre, \(k\) bir doğal sayı olmalıdır ve \(k \ge 0\) olmalıdır. Bu yüzden \(k\) değeri negatif olamaz.
Örnek 6:
Aşağıdaki eşitlikte \(x\) değerini bulunuz:
\[ \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!} \]
\[ \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!} \]
Çözüm:
Bu tip yeni nesil sorularda, paydaları eşitlemek için faktöriyelleri genişletme yoluna gideriz. 🧐
- Eşitliğin sol tarafındaki paydaları \(8!\) yapmaya çalışalım.
- İlk terim \( \frac{1}{6!} \)'i \( \frac{8 \times 7}{8 \times 7 \times 6!} \) şeklinde genişletelim. Bu da \( \frac{56}{8!} \) olur.
- İkinci terim \( \frac{1}{7!} \)'i \( \frac{8}{8 \times 7!} \) şeklinde genişletelim. Bu da \( \frac{8}{8!} \) olur.
- Şimdi eşitliği yeniden yazalım:
- \[ \frac{56}{8!} + \frac{8}{8!} = \frac{x}{8!} \]
- Sol taraftaki toplama işlemini yapalım, paydalar eşit olduğu için payları toplarız:
- \[ \frac{56 + 8}{8!} = \frac{x}{8!} \]
- \[ \frac{64}{8!} = \frac{x}{8!} \]
- Eşitliğin her iki tarafının paydası aynı olduğuna göre, paylar da birbirine eşit olmalıdır.
- \( x = 64 \)
Örnek 7:
Bir sınıftaki \(n\) öğrencinin yan yana sıralanma sayısı \(120\) olduğuna göre, bu sınıfa 2 öğrenci daha katıldığında, toplam öğrenci sayısının yan yana sıralanma sayısı kaç olur?
Çözüm:
Bu problemde önce mevcut öğrenci sayısını bulacak, sonra yeni duruma göre sıralanma sayısını hesaplayacağız. 🔢
- Adım 1: Mevcut öğrenci sayısını bulalım.
- \(n\) öğrencinin yan yana sıralanma sayısı \(n!\) ile ifade edilir.
- Bize \(n! = 120\) olarak verilmiş.
- Hangi sayının faktöriyeli \(120\) eder?
- \( 1! = 1 \)
- \( 2! = 2 \)
- \( 3! = 6 \)
- \( 4! = 24 \)
- \( 5! = 120 \)
- Demek ki, \(n = 5\) 'tir. Sınıfta başlangıçta 5 öğrenci vardır.
- Adım 2: Yeni öğrenci sayısını hesaplayalım.
- Sınıfa 2 öğrenci daha katılırsa, toplam öğrenci sayısı \( 5 + 2 = 7 \) olur.
- Adım 3: Yeni öğrenci sayısının sıralanma sayısını bulalım.
- 7 öğrencinin yan yana sıralanma sayısı \(7!\) ile ifade edilir.
- \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
- \( 7! = 7 \times (6!) \)
- \( 6! = 720 \) olduğunu biliyoruz.
- \( 7! = 7 \times 720 \)
- \( 7 \times 720 = 5040 \)
Örnek 8:
Bir kafeteryada öğle yemeği için \(4\) çeşit ana yemek ve \(3\) çeşit tatlı seçeneği bulunmaktadır.
Bir müşterinin sadece ana yemek seçme durumu ile sadece tatlı seçme durumu arasındaki farkın faktöriyeli kaçtır?
Bir müşterinin sadece ana yemek seçme durumu ile sadece tatlı seçme durumu arasındaki farkın faktöriyeli kaçtır?
Çözüm:
Bu günlük hayat probleminde, faktöriyel kavramını somut bir örnek üzerinden ele alacağız. 🍽️
- Adım 1: Ana yemek seçme durumlarının sayısını bulalım.
- Müşteri 4 çeşit ana yemek arasından birini seçecektir. Bu, 4 farklı şekilde yapılabilir.
- Ancak soru "farkın faktöriyeli" dediği için, seçim sayısının faktöriyelini almamız isteniyor.
- Ana yemek seçme durumu sayısı \(4\). Bunun faktöriyeli \(4!\) olur.
- \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
- Adım 2: Tatlı seçme durumlarının sayısını bulalım.
- Müşteri 3 çeşit tatlı arasından birini seçecektir. Bu, 3 farklı şekilde yapılabilir.
- Tatlı seçme durumu sayısı \(3\). Bunun faktöriyeli \(3!\) olur.
- \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
- Adım 3: Farkın faktöriyelini hesaplayalım.
- Soru, "sadece ana yemek seçme durumu ile sadece tatlı seçme durumu arasındaki farkın faktöriyeli"ni soruyor.
- Önce bu iki durumun faktöriyellerinin farkını bulalım:
- \( 4! - 3! = 24 - 6 = 18 \)
- Soruda "farkın faktöriyeli" dendiği için, bulduğumuz \(18\) sayısının faktöriyelini almamız gerekmektedir.
- Ancak, 12. sınıf müfredatında bu tarz bir ifade genellikle (seçenek sayısı)! anlamında değil, (seçenek sayısı - seçenek sayısı)! anlamında kullanılır. Eğer "farkın faktöriyeli" olarak kastedilen \( (4-3)! \) ise:
- \( (4-3)! = 1! = 1 \) olur.
- Genellikle bu tür ifadelerde kastedilen, seçenek sayılarının kendi faktöriyellerinin farkı değil, seçenek sayılarının farkının faktöriyeli veya bir ifadenin sonucunun faktöriyelidir. Sorunun bağlamı "Faktöriyelli İşlemler" olduğu için, sayıların faktöriyellerinin farkı daha uygun olacaktır.
- Fakat "farkın faktöriyeli" ifadesi matematiksel olarak \( (A-B)! \) şeklinde yorumlanır. Eğer "faktöriyellerin farkı" denilseydi \( A! - B! \) olurdu.
- Bu durumda, ana yemek seçeneği sayısı \(A=4\) ve tatlı seçeneği sayısı \(B=3\) olarak alırsak, fark \( (A-B) = 4-3 = 1 \) olur.
- Bu farkın faktöriyeli ise \( 1! \) dir.
- \( 1! = 1 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-faktoriyelli-islemler/sorular