💡 12. Sınıf Matematik: Ebob Ekok Çözümlü Örnekler

• Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayırın.
  \[ 60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \] \[ 96 = 2^5 \cdot 3^1 \]
• Adım 2: Ebob'u bulun.
  Ebob, ortak asal çarpanların en küçük üslerini alarak bulunur.
  Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
  2'nin en küçük üssü \(2^2\)
  3'ün en küçük üssü \(3^1\)
  Ebob\( (60, 96) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 \) ✅
• Adım 3: Ekok'u bulun.
  Ekok, tüm asal çarpanların en büyük üslerini alarak bulunur.
  Tüm asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir.
  2'nin en büyük üssü \(2^5\)
  3'ün en büyük üssü \(3^1\)
  5'in en büyük üssü \(5^1\)
  Ekok\( (60, 96) = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 32 \cdot 3 \cdot 5 = 480 \) ✅

Buna göre, 60 ve 96 sayılarının Ebobu 12, Ekoku ise 480'dir.

• Adım 1: Verilenleri yerine yazın.
  Sayılar \(a\) ve \(b\) olsun.
  Ebob\( (a,b) = 8 \)
  Ekok\( (a,b) = 240 \)
  Bir sayı \(a = 40 \)
  Diğer sayı \(b = ? \)
• Adım 2: Formülü kullanarak bilinmeyeni bulun.
  \[ 40 \cdot b = 8 \cdot 240 \] Denklemi çözmek için her iki tarafı 40'a bölelim.
  \[ b = \frac{8 \cdot 240}{40} \] Sadeleştirme yapalım:
  \[ b = \frac{8 \cdot 24 \cdot 10}{4 \cdot 10} \] \[ b = \frac{8 \cdot 24}{4} \] \[ b = 2 \cdot 24 \] \[ b = 48 \] ✅

Buna göre, diğer sayı 48'dir.

• Adım 1: Kalanları inceleyin.
  \(x \)'in 6 ile bölümünden kalan 4 \(\implies\) \(x = 6k + 4\)
  \(x \)'in 8 ile bölümünden kalan 6 \(\implies\) \(x = 8m + 6\)
  \(x \)'in 10 ile bölümünden kalan 8 \(\implies\) \(x = 10n + 8\)
  Dikkat ederseniz, her durumda bölen ile kalan arasındaki fark 2'dir: \(6-4=2\), \(8-6=2\), \(10-8=2\).
• Adım 2: Sayıya 2 ekleyerek ortak katı bulun.
  Eğer \(x\) sayısına 2 eklersek, yeni sayı her bir bölene tam bölünecektir.
  \(x+2 = 6k + 4 + 2 = 6k + 6 = 6(k+1)\)
  \(x+2 = 8m + 6 + 2 = 8m + 8 = 8(m+1)\)
  \(x+2 = 10n + 8 + 2 = 10n + 10 = 10(n+1)\)
  Yani, \(x+2\) sayısı hem 6'nın, hem 8'in, hem de 10'un bir katıdır. O halde, \(x+2\) bu sayıların Ekok'u olmalıdır.
• Adım 3: 6, 8 ve 10 sayılarının Ekok'unu hesaplayın.
  Asal çarpanlarına ayırma yöntemiyle:
  \[ 6 = 2 \cdot 3 \] \[ 8 = 2^3 \] \[ 10 = 2 \cdot 5 \] Ekok\( (6, 8, 10) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \)
• Adım 4: \(x\) değerini bulun.
  \(x+2 = \text{Ekok}(6, 8, 10)\)
  \(x+2 = 120\)
  \(x = 120 - 2\)
  \(x = 118 \) ✅

Bu koşulları sağlayan en küçük \(x\) doğal sayısı 118'dir.

• Adım 1: Aralarında asal olma özelliğini kullanın.
  Eğer \(a\) ve \(b\) aralarında asal ise, Ebob\( (a,b) = 1 \) olur.
• Adım 2: Ebob ve Ekok formülünü hatırlayın.
  İki sayının çarpımı, Ebobları ile Ekoklarının çarpımına eşittir:
  \( a \cdot b = \text{Ebob}(a,b) \cdot \text{Ekok}(a,b) \)
• Adım 3: Verilenleri yerine yazın.
  Ekok\( (a,b) = 156 \)
  Ebob\( (a,b) = 1 \)
  Bir sayı \(a = 13 \)
  Diğer sayı \(b = ? \)
• Adım 4: Denklemi çözün.
  \[ 13 \cdot b = 1 \cdot 156 \] Her iki tarafı 13'e bölelim:
  \[ b = \frac{156}{13} \] \[ b = 12 \] ✅

Buna göre, aralarında asal olan diğer sayı 12'dir.

• Adım 1: Zillerin birlikte çalma sıklığını bulun (Ekok).
  Zillerin birlikte çalması için geçen süre, 30 ve 45'in Ekok'u olmalıdır.
  \[ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \] \[ 45 = 3^2 \cdot 5 \] Ekok\( (30, 45) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90 \) dakika. Yani, ziller her 90 dakikada bir birlikte çalar.
• Adım 2: Toplam zaman aralığını hesaplayın.
  İlk çalma saati: 08:00
  Son kontrol saati: 13:00
  Toplam geçen süre = 13:00 - 08:00 = 5 saat.
  5 saati dakikaya çevirelim: \( 5 \text{ saat} \cdot 60 \text{ dakika/saat} = 300 \text{ dakika} \).
• Adım 3: Kaç kez birlikte çaldıklarını bulun.
  İlk kez 08:00'de çaldılar. Bu başlangıç anı.
  Sonraki birlikte çalma zamanları 90 dakikada bir olacak.
  \( 300 \text{ dakika} / 90 \text{ dakika/çalma} \approx 3.33 \) Bu, 300 dakika içinde 3 tam 90 dakikalık periyot olduğunu gösterir.
  Hesaplayalım:
  08:00 (İlk çalma)
  08:00 + 90 dakika = 09:30 (1. kez)
  09:30 + 90 dakika = 11:00 (2. kez)
  11:00 + 90 dakika = 12:30 (3. kez)
  12:30 + 90 dakika = 14:00 (13:00 sonrasına denk geldiği için sayılmaz)
• Adım 4: Sorudaki koşulu dikkate alın.
  Soruda "aynı gün içinde saat 13:00'e kadar kaç kez daha birlikte çalarlar?" deniyor. Yani 08:00'deki çalma sayılmayacak. Bulduğumuz 3 çalma, 08:00'den sonraki çalmalardır.

Buna göre, 13:00'e kadar 3 kez daha birlikte çalarlar. ✅

• Adım 1: Her bir parçanın uzunluğunu bulun (Ebob).
  Parçaların uzunluğu, 108 ve 144'ün Ebob'u olmalıdır.
  \[ 108 = 2^2 \cdot 3^3 \] \[ 144 = 2^4 \cdot 3^2 \] Ebob\( (108, 144) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \) cm. Yani, her bir parçanın uzunluğu 36 cm olmalıdır.
• Adım 2: Toplam parça sayısını bulun.
  Birinci kumaş parçasından elde edilen parça sayısı: \( 108 \text{ cm} / 36 \text{ cm/parça} = 3 \text{ parça} \)
  İkinci kumaş parçasından elde edilen parça sayısı: \( 144 \text{ cm} / 36 \text{ cm/parça} = 4 \text{ parça} \)
  Toplam parça sayısı = \( 3 + 4 = 7 \) parça.

Buna göre, her bir parçanın uzunluğu 36 cm olmalı ve toplamda 7 parça kumaş elde edilir. ✅

• Adım 1: Her paketteki kurabiye sayısını bulun (Ebob).
  Her paketteki kurabiye sayısı, 48 ve 72'nin Ebob'u olmalıdır.
  \[ 48 = 2^4 \cdot 3^1 \] \[ 72 = 2^3 \cdot 3^2 \] Ebob\( (48, 72) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24 \) kurabiye. Yani, her pakette 24 kurabiye olacaktır.
• Adım 2: Toplam paket sayısını bulun.
  Çikolatalı kurabiyelerden elde edilen paket sayısı: \( 48 \text{ adet} / 24 \text{ adet/paket} = 2 \text{ paket} \)
  Vanilyalı kurabiyelerden elde edilen paket sayısı: \( 72 \text{ adet} / 24 \text{ adet/paket} = 3 \text{ paket} \)
  Toplam paket sayısı = \( 2 + 3 = 5 \) paket.

Buna göre, her pakette 24 kurabiye olur ve toplamda 5 paket elde edilir. ✅

• Adım 1: Sayıların yapısını belirleyin.
  Ebob\( (a,b) = 5 \) olduğu için, \(a\) ve \(b\) sayıları 5'in katı olmalıdır. \(a = 5k\) ve \(b = 5m\) şeklinde yazabiliriz. Burada \(k\) ve \(m\) aralarında asal olmalıdır (çünkü Ebob'u zaten 5 olarak ayırdık). Ayrıca, \(a \neq b\) olduğu için \(k \neq m\) olmalıdır.
• Adım 2: Ebob ve Ekok formülünü kullanın.
  \( a \cdot b = \text{Ebob}(a,b) \cdot \text{Ekok}(a,b) \)
  Yerine yazarsak:
  \( (5k) \cdot (5m) = 5 \cdot 150 \)
  \( 25km = 750 \)
  Her iki tarafı 25'e bölelim:
  \[ km = \frac{750}{25} \] \[ km = 30 \]
• Adım 3: \(k\) ve \(m\) için uygun aralarında asal çarpan çiftlerini bulun.
  \(k \cdot m = 30\) ve \(k, m\) aralarında asal ve \(k \neq m\) olmalı.
  Olası \( (k, m) \) çiftleri:
  
  • \( (1, 30) \): 1 ve 30 aralarında asaldır.
  • \( (2, 15) \): 2 ve 15 aralarında asaldır.
  • \( (3, 10) \): 3 ve 10 aralarında asaldır.
  • \( (5, 6) \): 5 ve 6 aralarında asaldır.
  Bu çiftlerin tersleri de geçerlidir (örneğin (30,1), (15,2) vb.) ancak \(a+b\) toplamı için aynı sonucu verecektir.
• Adım 4: \(a+b\) toplamının en küçük değerini bulun.
  \(a+b = 5k + 5m = 5(k+m)\)
  Toplamın en küçük olması için \(k+m\) toplamının en küçük olması gerekir.
  
  • \(k=1, m=30 \implies k+m = 31 \implies a+b = 5(31) = 155\)
  • \(k=2, m=15 \implies k+m = 17 \implies a+b = 5(17) = 85\)
  • \(k=3, m=10 \implies k+m = 13 \implies a+b = 5(13) = 65\)
  • \(k=5, m=6 \implies k+m = 11 \implies a+b = 5(11) = 55\)

Bu durumda, \(a+b\) toplamının alabileceği en küçük değer 55'tir. (Bu durumda sayılar \(a=5 \cdot 5 = 25\) ve \(b=5 \cdot 6 = 30\) olur.) ✅