🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Ebob Ekok Bölünebilme Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Ebob Ekok Bölünebilme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki doğal sayının en büyük ortak böleninin (EBOB) 12 ve en küçük ortak katının (EKOK) 72 olduğu biliniyor. Bu iki doğal sayının toplamı en az kaç olabilir? 💡
Çözüm:
Bu tür sorularda, sayılar arasındaki ilişkiyi EBOB ve EKOK üzerinden kurmak önemlidir.
- İki doğal sayı, a ve b olsun.
- Verilen bilgilere göre, EBOB(a, b) = 12 ve EKOK(a, b) = 72'dir.
- İki sayının çarpımı, EBOB'ları ile EKOK'larının çarpımına eşittir: \( a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \).
- Bu durumda, \( a \times b = 12 \times 72 = 864 \) olur.
- Ayrıca, sayılar EBOB'ları ile orantılıdır. Yani, \( a = 12x \) ve \( b = 12y \) şeklinde yazılabilir, burada x ve y aralarında asal iki doğal sayıdır.
- Bu ifadeleri çarpımlarında yerine koyalım: \( (12x) \times (12y) = 864 \).
- Bu denklem \( 144xy = 864 \) haline gelir.
- Her iki tarafı 144'e bölersek, \( xy = 6 \) elde ederiz.
- Şimdi x ve y'nin aralarında asal olduğu ve çarpımlarının 6 olduğu sayı çiftlerini bulmalıyız:
- (1, 6) çifti aralarında asaldır.
- (2, 3) çifti aralarında asaldır.
- Bu çiftlere karşılık gelen a ve b sayılarını hesaplayalım:
- Eğer (x, y) = (1, 6) ise, a = 12 1 = 12 ve b = 12 6 = 72 olur. Toplamları: 12 + 72 = 84.
- Eğer (x, y) = (2, 3) ise, a = 12 2 = 24 ve b = 12 3 = 36 olur. Toplamları: 24 + 36 = 60.
- Soruda bizden sayıların toplamının en az kaç olabileceği isteniyor.
Örnek 2:
Bir manav elindeki elmaların tamamını 3'erli, 5'erli ve 7'şerli gruplara ayırdığında her seferinde 2 elma artmaktadır. Manavın elindeki elma sayısı 300'den az olduğuna göre, manavın elinde kaç elma olabilir? 🍎
Çözüm:
Bu problem, bölünebilme kurallarını ve EKOK kavramını içeren bir problemdir.
- Manavın elindeki elma sayısına N diyelim.
- Verilen bilgilere göre, N sayısı 3'e bölündüğünde 2, 5'e bölündüğünde 2 ve 7'ye bölündüğünde 2 kalanını vermektedir.
- Bu durum şu şekilde ifade edilebilir:
- \( N \equiv 2 \pmod{3} \)
- \( N \equiv 2 \pmod{5} \)
- \( N \equiv 2 \pmod{7} \)
- Bu, N - 2 sayısının 3, 5 ve 7'ye tam bölündüğü anlamına gelir.
- Yani, N - 2 sayısı, 3, 5 ve 7'nin ortak katlarından biridir.
- Bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:
- EKOK(3, 5, 7) = 3 × 5 × 7 = 105 (Çünkü 3, 5 ve 7 aralarında asal sayılardır).
- O halde, N - 2 sayısı 105'in katları olmalıdır.
- Yani, \( N - 2 = 105k \), burada k bir doğal sayıdır.
- Bu durumda, \( N = 105k + 2 \) şeklinde yazılabilir.
- Manavın elindeki elma sayısı 300'den azdır.
- Şimdi k'nın farklı değerleri için N'yi hesaplayalım ve 300'den küçük olanları bulalım:
- Eğer k = 1 ise, \( N = 105 \times 1 + 2 = 107 \). (300'den küçük)
- Eğer k = 2 ise, \( N = 105 \times 2 + 2 = 210 + 2 = 212 \). (300'den küçük)
- Eğer k = 3 ise, \( N = 105 \times 3 + 2 = 315 + 2 = 317 \). (300'den büyük)
Örnek 3:
Bir okulun spor salonunda bulunan basketbol topları 6'şarlı paketlendiğinde hiç top artmıyor, voleybol topları ise 8'erli paketlendiğinde hiç top artmıyor. Basketbol toplarının sayısı 100 ile 150 arasında, voleybol toplarının sayısı ise 150 ile 200 arasında olduğuna göre, toplam top sayısı en az kaç olabilir? 🏀🏐
Çözüm:
Bu soruda, her bir top türünün sayısının verilen sayılara tam bölünebildiği bilgisi kullanılarak EKOK kavramına ulaşılır.
- Basketbol toplarının sayısına B diyelim.
- Voleybol toplarının sayısına V diyelim.
- Basketbol topları 6'şarlı paketlendiğinde artmadığına göre, B sayısı 6'nın bir katıdır.
- Voleybol topları 8'erli paketlendiğinde artmadığına göre, V sayısı 8'in bir katıdır.
- Basketbol toplarının sayısı 100 ile 150 arasında: \( 100 < B < 150 \).
- Voleybol toplarının sayısı 150 ile 200 arasında: \( 150 < V < 200 \).
- Şimdi 6'nın katlarını 100 ile 150 arasında inceleyelim:
- 6 x 17 = 102
- 6 x 18 = 108
- 6 x 19 = 114
- 6 x 20 = 120
- 6 x 21 = 126
- 6 x 22 = 132
- 6 x 23 = 138
- 6 x 24 = 144
- Şimdi 8'in katlarını 150 ile 200 arasında inceleyelim:
- 8 x 19 = 152
- 8 x 20 = 160
- 8 x 21 = 168
- 8 x 22 = 176
- 8 x 23 = 184
- 8 x 24 = 192
- Soruda bizden toplam top sayısının en az kaç olabileceği isteniyor.
- Bu, hem B hem de V için en küçük olası değerleri seçmemiz gerektiği anlamına gelir.
- Basketbol topları için en küçük olası değer 102'dir.
- Voleybol topları için en küçük olası değer 152'dir.
- Toplam top sayısı = B + V
- En az toplam top sayısı = 102 + 152 = 254.
Örnek 4:
Bir grup öğrenci, bir gezi için otobüs kiralayacaktır. Eğer kişi başı 50 TL öderlerse 200 TL eksik kalıyor, kişi başı 60 TL öderlerse 200 TL fazla geliyor. Buna göre, bu gezi için kiralanan otobüsün toplam maliyeti kaç TL'dir? 🚌
Çözüm:
Bu problem, bilinmeyen bir sayıyı iki farklı denklemle ifade etmeyi gerektirir.
- Otobüsün toplam maliyetine M diyelim.
- Gruptaki öğrenci sayısına x diyelim.
- İlk durumda, kişi başı 50 TL ödenirse toplam ödenen para \( 50x \) olur.
- Bu miktar otobüs maliyetinden 200 TL eksik kaldığına göre: \( 50x = M - 200 \).
- Bu denklemden \( M = 50x + 200 \) elde ederiz.
- İkinci durumda, kişi başı 60 TL ödenirse toplam ödenen para \( 60x \) olur.
- Bu miktar otobüs maliyetinden 200 TL fazla geldiğine göre: \( 60x = M + 200 \).
- Bu denklemden \( M = 60x - 200 \) elde ederiz.
- Şimdi iki denklemdeki M değerlerini eşitleyerek öğrenci sayısını bulalım:
- \( 50x + 200 = 60x - 200 \)
- Denklemi düzenlersek: \( 200 + 200 = 60x - 50x \)
- \( 400 = 10x \)
- Her iki tarafı 10'a bölersek, \( x = 40 \) olur.
- Yani grupta 40 öğrenci vardır.
- Şimdi bu öğrenci sayısını denklemlerden birine yerine koyarak otobüsün toplam maliyetini bulalım. İlk denklemi kullanalım:
- \( M = 50x + 200 \)
- \( M = 50 \times 40 + 200 \)
- \( M = 2000 + 200 \)
- \( M = 2200 \) TL.
- İkinci denklemi kullanarak da kontrol edelim:
- \( M = 60x - 200 \)
- \( M = 60 \times 40 - 200 \)
- \( M = 2400 - 200 \)
- \( M = 2200 \) TL.
Örnek 5:
İki pozitif tam sayının EBOB'u 8 ve EKOK'u 120'dir. Bu iki sayının toplamı en az kaç olabilir?
Çözüm:
Bu soru, EBOB ve EKOK arasındaki temel ilişkiyi ve sayılar arasındaki orantıyı kullanmayı gerektirir.
- İki pozitif tam sayıya a ve b diyelim.
- Verilenler: EBOB(a, b) = 8 ve EKOK(a, b) = 120.
- Temel bir kural gereği, iki sayının çarpımı, EBOB'ları ile EKOK'larının çarpımına eşittir: \( a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \).
- Bu durumda, \( a \times b = 8 \times 120 = 960 \) olur.
- Ayrıca, sayılar EBOB'ları ile orantılıdır. Yani, \( a = 8x \) ve \( b = 8y \) şeklinde yazılabilir. Burada x ve y aralarında asal (yani EBOB(x, y) = 1) pozitif tam sayılardır.
- Bu ifadeleri çarpımlarında yerine koyalım: \( (8x) \times (8y) = 960 \).
- Bu denklem \( 64xy = 960 \) haline gelir.
- Her iki tarafı 64'e bölersek, \( xy = \frac{960}{64} = 15 \) elde ederiz.
- Şimdi x ve y'nin aralarında asal olduğu ve çarpımlarının 15 olduğu pozitif tam sayı çiftlerini bulmalıyız:
- (1, 15) çifti aralarında asaldır (EBOB(1, 15) = 1).
- (3, 5) çifti aralarında asaldır (EBOB(3, 5) = 1).
- Bu çiftlere karşılık gelen a ve b sayılarını hesaplayalım:
- Eğer (x, y) = (1, 15) ise, a = 8 1 = 8 ve b = 8 15 = 120 olur. Toplamları: 8 + 120 = 128.
- Eğer (x, y) = (3, 5) ise, a = 8 3 = 24 ve b = 8 5 = 40 olur. Toplamları: 24 + 40 = 64.
- Soruda bizden sayıların toplamının en az kaç olabileceği isteniyor.
Örnek 6:
72 sayısının asal çarpanları nelerdir?
Çözüm:
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için o sayıyı asal sayılara bölerek ilerleriz.
- 72 sayısını en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak bölelim:
- 72 ÷ 2 = 36
- 36 ÷ 2 = 18
- 18 ÷ 2 = 9
- Şimdi 9 sayısını bölemeye devam edelim. 9, 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim:
- 9 ÷ 3 = 3
- 3 ÷ 3 = 1
- Bölme işlemi 1'e ulaştığında tamamlanır.
- 72 sayısının asal çarpanları, böldüğümüz asal sayılardır: 2, 2, 2, 3, 3.
- Bu sayıyı üslü ifade şeklinde yazarsak: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \).
Örnek 7:
Bir çiftçi, tarlasına ektiği domates fidelerini 4'erli sıralar halinde diktiğinde 1 fide artıyor, 5'erli sıralar halinde diktiğinde ise 2 fide artıyor. Çiftçinin diktiği domates fidesi sayısı 100'den az olduğuna göre, çiftçi en fazla kaç fide dikmiş olabilir? 🍅
Çözüm:
Bu problemde, verilen kalanlara göre sayıyı temsil eden denklemler kurulur ve EKOK kullanılarak çözüm bulunur.
- Çiftçinin diktiği domates fidesi sayısına F diyelim.
- Verilen bilgilere göre:
- \( F \equiv 1 \pmod{4} \)
- \( F \equiv 2 \pmod{5} \)
- Bu denklemleri sağlayan ve 100'den küçük en büyük F değerini bulmalıyız.
- İlk denklemi kullanarak F'nin alabileceği değerleri listeleyelim (100'den küçük):
- 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97.
- Şimdi bu listeden ikinci denklemi (\( F \equiv 2 \pmod{5} \)) sağlayanları bulalım. Yani son rakamı 2 veya 7 olanları seçmeliyiz:
- 5, 25, 45, 65, 85.
- Bu değerler hem 4'e bölündüğünde 1 kalanını veren hem de 5'e bölündüğünde 2 kalanını veren sayılardır.
- Soruda çiftçinin en fazla kaç fide dikmiş olabileceği soruluyor.
Örnek 8:
180 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.
- 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- 180 ÷ 2 = 90
- 90 ÷ 2 = 45
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
- Yani, \( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \) şeklinde yazılabilir.
- Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için, asal çarpanlarının üslerini birer artırıp çarparız.
- Üsler sırasıyla 2, 2 ve 1'dir.
- Üsleri birer artıralım: \( (2+1) \), \( (2+1) \), \( (1+1) \).
- Bu yeni üsleri çarpalım: \( (2+1) \times (2+1) \times (1+1) = 3 \times 3 \times 2 = 18 \).
Örnek 9:
Bir kurabiye fabrikası, ürettiği kurabiyeleri paketlemektedir. Eğer kurabiyeleri 12'şerli paketlerse hiç artmıyor, 15'erli paketlerse 7 kurabiye artıyor. Fabrikada üretilen toplam kurabiye sayısı 200'den az olduğuna göre, üretilen kurabiye sayısı en fazla kaç olabilir? 🍪
Çözüm:
Bu problem, bölünebilme kurallarını ve EKOK kavramını bir arada kullanır.
- Fabrikada üretilen kurabiye sayısına K diyelim.
- Verilen bilgilere göre:
- K sayısı 12'ye tam bölünür. Yani \( K = 12n \) şeklinde yazılabilir, burada n bir tam sayıdır.
- K sayısı 15'e bölündüğünde 7 kalanını verir. Yani \( K \equiv 7 \pmod{15} \).
- İlk koşuldan K'nın alabileceği değerler: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192.
- Şimdi bu listeden 15'e bölündüğünde 7 kalanını verenleri bulalım. Bu, sayının son rakamının 7 veya 2 olması ve 15'e bölündüğünde 7 kalanı vermesi anlamına gelir.
- Listeyi inceleyelim:
- 12 (12 mod 15 = 12)
- 24 (24 mod 15 = 9)
- 36 (36 mod 15 = 6)
- 48 (48 mod 15 = 3)
- 60 (60 mod 15 = 0)
- 72 (72 mod 15 = 12)
- 84 (84 mod 15 = 9)
- 96 (96 mod 15 = 6)
- 108 (108 mod 15 = 3)
- 120 (120 mod 15 = 0)
- 132 (132 mod 15 = 12)
- 144 (144 mod 15 = 9)
- 156 (156 mod 15 = 6)
- 168 (168 mod 15 = 3)
- 180 (180 mod 15 = 0)
- 192 (192 mod 15 = 12)
- Bu listede doğrudan 7 kalanını veren bir sayı yok. Bu, K'nın 12'nin katı olduğu ve aynı zamanda 15'e bölündüğünde 7 kalanını verdiği anlamına gelir.
- Alternatif bir yaklaşım: \( K = 15m + 7 \) şeklinde yazalım.
- Bu K değerlerinin 12'ye tam bölünebilmesi gerekir.
- m=1 için K = 15(1) + 7 = 22 (12'ye bölünmez)
- m=2 için K = 15(2) + 7 = 37 (12'ye bölünmez)
- m=3 için K = 15(3) + 7 = 52 (12'ye bölünmez)
- m=4 için K = 15(4) + 7 = 67 (12'ye bölünmez)
- m=5 için K = 15(5) + 7 = 82 (12'ye bölünmez)
- m=6 için K = 15(6) + 7 = 97 (12'ye bölünmez)
- m=7 için K = 15(7) + 7 = 112 (12'ye bölünmez)
- m=8 için K = 15(8) + 7 = 127 (12'ye bölünmez)
- m=9 için K = 15(9) + 7 = 142 (12'ye bölünmez)
- m=10 için K = 15(10) + 7 = 157 (12'ye bölünmez)
- m=11 için K = 15(11) + 7 = 172 (12'ye bölünmez)
- m=12 için K = 15(12) + 7 = 187 (12'ye bölünmez)
- m=13 için K = 15(13) + 7 = 202 (200'den büyük)
- Şimdi tekrar kontrol edelim. K, 12'nin katı olmalı.
- K = 12n
- 12n ≡ 7 (mod 15)
- Burada n'yi bulmamız gerekiyor.
- 12n = 15m + 7
- Bu denklemde n ve m tam sayı olmalı.
- 12n - 15m = 7
- Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur, çünkü sol taraf 3'e bölünürken sağ taraf bölünmez.
- Soruda bir hata olabilir mi? Tekrar kontrol edelim.
- "Eğer kurabiyeleri 12'şerli paketlerse hiç artmıyor" -> K = 12n
- "15'erli paketlerse 7 kurabiye artıyor" -> K = 15m + 7
- EKOK(12, 15) = 60.
- K sayısının 12'nin katı olması, K'nın 60'ın da katı olmasını gerektirir (çünkü 12, 60'ın bölenidir).
- Yani K = 60p şeklinde yazılabilir.
- Şimdi K = 60p ifadesini ikinci koşulda yerine koyalım:
- 60p ≡ 7 (mod 15)
- 60p = 15q + 7
- 60p - 15q = 7
- Yine aynı denklemle karşılaşıyoruz. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur.
- Sorunun orijinal metninde bir yazım hatası olabilir. Eğer "15'erli paketlerse 6 kurabiye artıyor" olsaydı:
- K = 12n
- K = 15m + 6
- EKOK(12, 15) = 60.
- K = 60p
- 60p ≡ 6 (mod 15)
- 60p = 15q + 6
- 60p - 15q = 6
- Bu denklemin tam sayı çözümü vardır.
- Her iki tarafı 3'e bölersek: 20p - 5q = 2.
- Bu denklemin tam sayı çözümü de yoktur.
- Eğer "15'erli paketlerse 3 kurabiye artıyor" olsaydı:
- K = 12n
- K = 15m + 3
- EKOK(12, 15) = 60.
- K = 60p
- 60p ≡ 3 (mod 15)
- 60p = 15q + 3
- 60p - 15q = 3
- Her iki tarafı 3'e bölersek: 20p - 5q = 1. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur.
- Eğer "15'erli paketlerse 12 kurabiye artıyor" olsaydı:
- K = 12n
- K = 15m + 12
- EKOK(12, 15) = 60.
- K = 60p
- 60p ≡ 12 (mod 15)
- 60p = 15q + 12
- 60p - 15q = 12
- Her iki tarafı 3'e bölersek: 20p - 5q = 4. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur.
- Soruda verilen "7 kurabiye artıyor" ifadesi, 12 ve 15'in EKOK'u olan 60'ın katları ile uyumlu değildir.
- Bu tür sorularda genellikle \( K = \text{EKOK}(a,b) \times n + \text{kalan} \) şeklinde bir yapı beklenir. Ancak burada 12'ye tam bölünme koşulu var.
- Eğer K, 12'nin katı ise, K'nın 15'e bölümünden kalan da 12'nin katlarının 15'e bölümünden kalanlarla uyumlu olmalıdır.
- 12 mod 15 = 12
- 24 mod 15 = 9
- 36 mod 15 = 6
- 48 mod 15 = 3
- 60 mod 15 = 0
- 72 mod 15 = 12
- ...
- Görüldüğü gibi 7 kalanını veren bir durum oluşmuyor.
- Sorunun matematiksel olarak çözülebilir olması için, kalanların EKOK ile uyumlu olması gerekir.
- Varsayalım ki soruda bir hata var ve "15'erli paketlerse 3 kurabiye artıyor" denseydi:
- K = 12n
- K = 15m + 3
- EKOK(12, 15) = 60.
- K = 60p + 3 (Bu, 15'e bölündüğünde 3 kalanını verir ve 12'ye bölündüğünde de kalanları kontrol etmemiz gerekir)
- 60p + 3 ≡ 3 (mod 15) (Bu doğru)
- 60p + 3 ≡ 3 (mod 12)
- 60p ≡ 0 (mod 12) (Bu doğru)
- Yani K = 60p + 3 formundaki sayılar hem 15'e bölündüğünde 3 kalanını verir hem de 12'ye tam bölünür.
- Şimdi 200'den az en büyük K değerini bulalım:
- p=1 -> K = 63
- p=2 -> K = 123
- p=3 -> K = 183
- p=4 -> K = 243 (200'den büyük)
- Bu durumda en fazla 183 kurabiye olabilir.
- Ancak soruda verilen 7 kalanına göre çözüm mümkün değildir. Bu nedenle, sorunun orijinal halini düzelterek bir çözüm sunuyorum.
- Varsayım: Soruda "15'erli paketlerse 3 kurabiye artıyor" ifadesi doğru olsaydı çözüm şöyle olurdu:
- K = 12n
- K = 15m + 3
- EKOK(12, 15) = 60.
- K sayısı 60'ın bir katı artı 3 olmalıdır. Yani \( K = 60p + 3 \).
- Bu ifade hem 15'e bölündüğünde 3 kalanını verir hem de 12'ye tam bölünür (çünkü 60p, 12'ye tam bölünür ve 3 eklenince de kalan 3 olur).
- K < 200 koşulunu sağlayan en büyük K değerini bulalım:
- p=1 için K = 60(1) + 3 = 63
- p=2 için K = 60(2) + 3 = 123
- p=3 için K = 60(3) + 3 = 183
- p=4 için K = 60(4) + 3 = 243 (200'den büyük)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-ebob-ekok-bolunebilme/sorular