🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Dönüşümler Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Dönüşümler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(3, -2) noktasının öteleme vektörü \( \vec{v} = (2, 5) \) ile ötelenmesi sonucu oluşan A' noktasının koordinatlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
Öteleme, bir noktanın veya şeklin koordinatlarına belirli bir vektörün eklenmesiyle gerçekleşir.
- Orijinal noktanın koordinatları \( A(x, y) \) ve öteleme vektörü \( \vec{v} = (a, b) \) olsun.
- Ötelenen noktanın A' koordinatları \( A'(x+a, y+b) \) olur.
- Bu örnekte, \( A(3, -2) \) ve \( \vec{v} = (2, 5) \).
- A' noktasının x koordinatı: \( 3 + 2 = 5 \).
- A' noktasının y koordinatı: \( -2 + 5 = 3 \).
- Dolayısıyla, A' noktasının koordinatları \( A'(5, 3) \) olur. ✅
Örnek 2:
Orijin etrafında pozitif yönde \( 90^\circ \) döndürülen B(4, 1) noktasının görüntüsü olan B' noktasının koordinatlarını bulunuz. 📌
Çözüm:
Bir \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \( 90^\circ \) döndürülmesiyle oluşan noktanın koordinatları \( (-y, x) \) olur.
- Orijinal noktanın koordinatları \( B(4, 1) \).
- Burada \( x = 4 \) ve \( y = 1 \).
- Döndürme sonrası B' noktasının x koordinatı: \( -y = -1 \).
- Döndürme sonrası B' noktasının y koordinatı: \( x = 4 \).
- Dolayısıyla, B' noktasının koordinatları \( B'(-1, 4) \) olur. 👉
Örnek 3:
Analitik düzlemde \( y = x \) doğrusuna göre simetriği \( C'(5, 2) \) olan C noktasının koordinatlarını bulunuz. 🔄
Çözüm:
Bir \( (x, y) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği \( (y, x) \) noktasıdır.
- C noktasının koordinatları \( C(x, y) \) olsun.
- \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alındığında \( C'(y, x) \) olur.
- Bize verilen \( C'(5, 2) \) noktasıdır.
- Bu durumda, \( y = 5 \) ve \( x = 2 \) olmalıdır.
- Dolayısıyla, C noktasının koordinatları \( C(2, 5) \) olur. ✅
Örnek 4:
\( y = -x \) doğrusuna göre simetriği \( D'(-3, 4) \) olan D noktasının koordinatlarını bulunuz. 🪞
Çözüm:
Bir \( (x, y) \) noktasının \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği \( (-y, -x) \) noktasıdır.
- D noktasının koordinatları \( D(x, y) \) olsun.
- \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği alındığında \( D'(-y, -x) \) olur.
- Bize verilen \( D'(-3, 4) \) noktasıdır.
- Bu durumda, \( -y = -3 \) ve \( -x = 4 \) olmalıdır.
- \( -y = -3 \) denkleminden \( y = 3 \) bulunur.
- \( -x = 4 \) denkleminden \( x = -4 \) bulunur.
- Dolayısıyla, D noktasının koordinatları \( D(-4, 3) \) olur. 💡
Örnek 5:
Orijin noktası etrafında \( 180^\circ \) döndürüldüğünde \( E'(-5, 6) \) noktasını elde eden E noktasının koordinatlarını bulunuz. 🧭
Çözüm:
Bir \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında \( 180^\circ \) döndürülmesiyle oluşan noktanın koordinatları \( (-x, -y) \) olur.
- E noktasının koordinatları \( E(x, y) \) olsun.
- Orijin etrafında \( 180^\circ \) döndürüldüğünde \( E'(-x, -y) \) elde edilir.
- Bize verilen \( E'(-5, 6) \) noktasıdır.
- Bu durumda, \( -x = -5 \) ve \( -y = 6 \) olmalıdır.
- \( -x = -5 \) denkleminden \( x = 5 \) bulunur.
- \( -y = 6 \) denkleminden \( y = -6 \) bulunur.
- Dolayısıyla, E noktasının koordinatları \( E(5, -6) \) olur. ✅
Örnek 6:
Bir aracın navigasyon ekranında, başlangıç noktası \( P(1, 2) \) olarak işaretlenmiştir. Araç önce \( \vec{u} = (-3, 4) \) vektörü kadar ötelendikten sonra, oluşan yeni noktanın orijin etrafında pozitif yönde \( 90^\circ \) döndürülmesiyle varış noktası \( Q \) belirleniyor. Son varış noktası \( Q \) nun koordinatlarını bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Bu soruda iki dönüşüm ardışık olarak uygulanacaktır: öteleme ve döndürme.
- Adım 1: Öteleme
- Başlangıç noktası \( P(1, 2) \) ve öteleme vektörü \( \vec{u} = (-3, 4) \).
- Öteleme sonrası oluşan noktanın koordinatları \( P'(1 + (-3), 2 + 4) = P'(-2, 6) \) olur.
- Adım 2: Döndürme
- Şimdi \( P'(-2, 6) \) noktasını orijin etrafında pozitif yönde \( 90^\circ \) döndüreceğiz.
- \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \( 90^\circ \) döndürülmesiyle oluşan nokta \( (-y, x) \) olur.
- Burada \( x = -2 \) ve \( y = 6 \).
- Döndürme sonrası varış noktası \( Q \) nun koordinatları \( (-6, -2) \) olur. 👉
Örnek 7:
Bir fotoğraf düzenleme uygulamasında, bir nesne önce yatayda 5 birim sağa öteleniyor, ardından dikeyde 3 birim aşağı kaydırılıyor. Eğer nesnenin başlangıçtaki merkezi \( M(4, 7) \) ise, son konumdaki merkezinin koordinatlarını bulunuz. 🖼️
Çözüm:
Bu problem, ardışık öteleme dönüşümlerini içerir.
- Adım 1: Yatay Öteleme
- Nesnenin merkezi \( M(4, 7) \) ve yatay öteleme vektörü \( \vec{v_1} = (5, 0) \) (sağa 5 birim).
- Yatay öteleme sonrası oluşan noktanın koordinatları \( M'(4 + 5, 7 + 0) = M'(9, 7) \) olur.
- Adım 2: Dikey Öteleme
- Şimdi \( M'(9, 7) \) noktasını dikeyde 3 birim aşağı öteleyeceğiz. Dikey öteleme vektörü \( \vec{v_2} = (0, -3) \) (aşağı 3 birim).
- Son konumdaki merkezinin koordinatları \( M''(9 + 0, 7 + (-3)) = M''(9, 4) \) olur. ✅
Örnek 8:
Bir \( ABC \) üçgeninin köşe noktaları \( A(1, 1) \), \( B(3, 1) \) ve \( C(2, 3) \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin önce \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alınıyor, ardından oluşan yeni üçgenin her bir köşesi orijin etrafında pozitif yönde \( 90^\circ \) döndürülüyor. Son durumda elde edilen \( A''B''C'' \) üçgeninin köşe noktalarının koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruda önce simetri, ardından döndürme dönüşümleri uygulanacaktır.
- Adım 1: \( y = x \) Doğrusuna Göre Simetri
- \( A(1, 1) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği \( A'(1, 1) \) olur.
- \( B(3, 1) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği \( B'(1, 3) \) olur.
- \( C(2, 3) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği \( C'(3, 2) \) olur.
- Simetri sonrası oluşan üçgenin köşe noktaları \( A'(1, 1) \), \( B'(1, 3) \), \( C'(3, 2) \).
- Adım 2: Orijin Etrafında \( 90^\circ \) Döndürme
- \( A'(1, 1) \) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \( 90^\circ \) döndürülmesiyle \( A''(-1, 1) \) elde edilir.
- \( B'(1, 3) \) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \( 90^\circ \) döndürülmesiyle \( B''(-3, 1) \) elde edilir.
- \( C'(3, 2) \) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \( 90^\circ \) döndürülmesiyle \( C''(-2, 3) \) elde edilir.
- Dolayısıyla, son durumda elde edilen \( A''B''C'' \) üçgeninin köşe noktaları \( A''(-1, 1) \), \( B''(-3, 1) \) ve \( C''(-2, 3) \) olur. 🚀
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-donusumler/sorular