💡 12. Sınıf Matematik: Diziler Soru Ve Cevapları Çözümlü Örnekler

Aritmetik dizilerde genel terim formülü \(a_n = a_1 + (n-1)d\) şeklindedir.
Bu soruda verilenler:

• İlk terim: \(a_1 = 5\)
• Ortak fark: \(d = 3\)
• Bulmak istediğimiz terim: \(n = 10\)

Formülde verilen değerleri yerine koyalım:
\(a_{10} = a_1 + (10-1)d\)
\(a_{10} = 5 + (9) \times 3\)
\(a_{10} = 5 + 27\)
\(a_{10} = 32\)
✅ Dolayısıyla, aritmetik dizinin 10. terimi 32'dir.

Genel terimi \(a_n = 2n + 1\) olan dizinin ilk üç terimini bulmak için \(n\) yerine 1, 2 ve 3 değerlerini yazacağız.

• İlk terim (\(n=1\)): \(a_1 = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3\)
• İkinci terim (\(n=2\)): \(a_2 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5\)
• Üçüncü terim (\(n=3\)): \(a_3 = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7\)

Şimdi bu terimleri toplayalım:
Toplam = \(a_1 + a_2 + a_3\)
Toplam = \(3 + 5 + 7\)
Toplam = \(15\)
✅ Bu dizinin ilk üç teriminin toplamı 15'tir.

Geometrik dizilerde genel terim formülü \(a_n = a_1 \times r^{n-1}\) şeklindedir.
Soruda verilenler:

• İlk terim: \(a_1 = 4\)
• Ortak çarpan: \(r = 2\)
• Bulmak istediğimiz terim: \(n = 5\)

Formülde değerleri yerine koyalım:
\(a_5 = a_1 \times r^{5-1}\)
\(a_5 = 4 \times 2^4\)
\(a_5 = 4 \times 16\)
\(a_5 = 64\)
✅ Bu geometrik dizinin 5. terimi 64'tür.

Bu durum, koltuk sayılarının bir aritmetik dizi oluşturduğunu gösterir.

• İlk terim (1. sıra): \(a_1 = 12\)
• Ortak fark (her sıradaki artış): \(d = 2\)
• Bulmak istediğimiz sıra: \(n = 8\)

Aritmetik dizinin genel terim formülünü kullanacağız: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
8. sıradaki koltuk sayısını hesaplayalım:
\(a_8 = 12 + (8-1) \times 2\)
\(a_8 = 12 + (7) \times 2\)
\(a_8 = 12 + 14\)
\(a_8 = 26\)
✅ Sinema salonunun 8. sırasındaki koltuk sayısı 26'dır.

Genel terimi verilen dizinin 4. terimini bulmak için \(n\) yerine 4 yazmalıyız.
Formül: \(a_n = n^2 - 3\)
\(a_4 = 4^2 - 3\)
\(a_4 = 16 - 3\)
\(a_4 = 13\)
✅ Dizinin 4. terimi 13'tür.

Geometrik dizinin genel terimi \(a_n = a_1 \times r^{n-1}\) idi.
Verilenler:

• \(a_3 = a_1 \times r^{3-1} = a_1 \times r^2 = 24\)
• \(a_5 = a_1 \times r^{5-1} = a_1 \times r^4 = 96\)

Bu iki denklemi birbirine bölelim:
\( \frac{a_5}{a_3} = \frac{a_1 \times r^4}{a_1 \times r^2} = \frac{96}{24} \)
\( r^2 = 4 \)
Buradan ortak çarpan \(r\) için \(r=2\) veya \(r=-2\) olabilir. Biz \(r=2\) alalım.
Şimdi \(a_3\) denklemini kullanarak \(a_1\)'i bulalım:
\(a_1 \times r^2 = 24\)
\(a_1 \times 2^2 = 24\)
\(a_1 \times 4 = 24\)
\(a_1 = \frac{24}{4}\)
\(a_1 = 6\)
✅ Bu geometrik dizinin 1. terimi 6'dır.

Bu soru, her yıl sabit bir miktarın eklendiği bir aritmetik dizi örneğidir.

• İlk yılın başındaki para (ilk terim): \(a_1 = 1000\) TL
• Yıllık faiz miktarı (ortak fark): \(1000 \times \frac{10}{100} = 100\) TL. Yani \(d = 100\) TL
• Hesaplanacak yıl sayısı: \(n = 3\)

Aritmetik dizinin genel terim formülünü kullanarak 3 yıl sonraki toplam parayı bulalım: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
Ancak burada dikkat etmemiz gereken, 3 yıl sonraki toplam para, 3. yılın sonundaki paradır. Bu yüzden \(n=4\) gibi düşünebiliriz veya 3 yılın sonunda eklenen faizleri hesaplarız.
Daha basit bir yaklaşımla, 3 yıl sonunda biriken toplam faizi hesaplayalım:
1. yıl sonu: 100 TL faiz 2. yıl sonu: 100 TL faiz 3. yıl sonu: 100 TL faiz
Toplam 3 yılda biriken faiz = \(3 \times 100 = 300\) TL.
3 yıl sonraki toplam para = Başlangıç parası + Toplam faiz
Toplam para = \(1000 + 300 = 1300\) TL.
Alternatif olarak, 3 yılın sonunda hesaptaki para, 4. terim gibi düşünülebilir (başlangıç 0. yıl gibi):
\(a_4 = a_1 + (4-1)d = 1000 + (3) \times 100 = 1000 + 300 = 1300\) TL.
✅ 3 yıl sonra kişinin hesabında 1300 TL olacaktır.

Öncelikle dizinin ortak farkını bulmamız gerekiyor.
Aritmetik dizinin genel terim formülü: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
Verilenler:

• \(a_1 = 7\)
• \(a_6 = 32\)

\(a_6 = a_1 + (6-1)d\)
\(32 = 7 + 5d\)
\(32 - 7 = 5d\)
\(25 = 5d\)
\(d = 5\)
Şimdi dizinin ilk 10 teriminin toplamını bulmak için toplam formülünü kullanabiliriz: \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\)
Burada \(n=10\):
\(S_{10} = \frac{10}{2}(2 \times 7 + (10-1) \times 5)\)
\(S_{10} = 5(14 + 9 \times 5)\)
\(S_{10} = 5(14 + 45)\)
\(S_{10} = 5(59)\)
\(S_{10} = 295\)
✅ Bu aritmetik dizinin ilk 10 teriminin toplamı 295'tir.