💡 12. Sınıf Matematik: Çözümleme Çözümlü Örnekler

Bu problemi adım adım çözelim:

• Denklem Kurma: Sayıya \(x\) diyelim. Soruda verilen ifadeyi matematiksel denkleme dökelim: "Bir sayının 3 eksiği" \(x - 3\), "yarısı" ise \( \frac{x-3}{2} \)'dir. Bu ifadenin 5'e eşit olduğu söyleniyor. Yani denklemimiz: \( \frac{x-3}{2} = 5 \). ✅
• Denklemi Çözme:
  • Önce her iki tarafı 2 ile çarpalım: \( 2 \times \frac{x-3}{2} = 5 \times 2 \), bu da \( x-3 = 10 \) olur. ➕
  • Şimdi her iki tarafa 3 ekleyelim: \( x-3+3 = 10+3 \), bu da \( x = 13 \) sonucunu verir. 💡
• Kontrol: Bulduğumuz sayının (13) 3 eksiği 10'dur. 10'un yarısı ise 5'tir. Sonuç doğru. 👍

Cevap: Sayı 13'tür.

Bu problemi oran-orantı prensibiyle çözelim:

• Oranları Belirleme: Kız öğrencilerin sayısının erkek öğrencilerin sayısına oranı \( \frac{Kız}{Erkek} = \frac{3}{5} \)'tir. Bu, her 3 kız öğrenciye karşılık 5 erkek öğrenci olduğu anlamına gelir. 👨‍👩‍👧‍👦
• Toplam Oran Birimi: Oran birimlerini toplarsak, toplam öğrenci sayısı için bir oran elde ederiz: \( 3 + 5 = 8 \) birim. ➕
• Oran Birimini Hesaplama: Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 24'tür. Bu 24 öğrenci, 8 oran birimine karşılık gelmektedir. O halde bir oran biriminin kaç öğrenciye denk geldiğini bulalım: \( \frac{24 \text{ öğrenci}}{8 \text{ birim}} = 3 \text{ öğrenci/birim} \). 📏
• Erkek Öğrenci Sayısını Bulma: Erkek öğrencilerin oranı 5 birimdir. Birim başına 3 öğrenci olduğuna göre, erkek öğrenci sayısı: \( 5 \text{ birim} \times 3 \text{ öğrenci/birim} = 15 \text{ öğrenci} \). 👨‍🦱
• Kız Öğrenci Sayısını Kontrol Etme: Kız öğrencilerin oranı 3 birimdir. \( 3 \text{ birim} \times 3 \text{ öğrenci/birim} = 9 \text{ öğrenci} \). Toplam öğrenci sayısı \( 15 + 9 = 24 \), bu da soruda verilen bilgiyle uyumludur. ✅

Cevap: Sınıfta 15 erkek öğrenci vardır.

Bu problemi denklem kurarak çözeceğiz:

• Değişken Tanımlama: Küçük sayıya \(x\) diyelim. Büyük sayı, küçük sayının 4 katı olduğu için \(4x\) olur. ✍️
• Denklem Kurma: İki sayının toplamı 70'tir. Yani, \( x + 4x = 70 \). ✅
• Denklemi Çözme:
  • Benzer terimleri birleştirelim: \( 5x = 70 \). ➕
  • Her iki tarafı 5'e bölelim: \( \frac{5x}{5} = \frac{70}{5} \), bu da \( x = 14 \) sonucunu verir. 📏
• Sayıları Bulma:
  • Küçük sayı \( x = 14 \).
  • Büyük sayı \( 4x = 4 \times 14 = 56 \). 💡
• Kontrol: İki sayının toplamı \( 14 + 56 = 70 \). Büyük sayı (56), küçük sayının (14) 4 katıdır (\( 14 \times 4 = 56 \)). Sonuçlar doğrudur. 👍

Cevap: Sayılar 14 ve 56'dır.

Bu problemi iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak çözeceğiz:

• Değişken Tanımlama: Satılan elma miktarına \(e\) (kilogram) ve satılan portakal miktarına \(p\) (kilogram) diyelim. ✍️
• Denklem Sistemi Kurma:
  • Toplam Ağırlık Denklemi: Toplam 50 kilogram meyve satılmış: \( e + p = 50 \). ⚖️
  • Toplam Gelir Denklemi: Elmalardan elde edilen gelir \( 10e \), portakallardan elde edilen gelir \( 8p \)'dir. Toplam gelir 440 TL'dir: \( 10e + 8p = 440 \). 💰
• Denklem Sistemini Çözme (Yerine Koyma Yöntemi):
  • İlk denklemden \( p \)'yi çekelim: \( p = 50 - e \).
  • Bu ifadeyi ikinci denklemdeki \( p \) yerine yazalım: \( 10e + 8(50 - e) = 440 \). ➕
  • Denklemi çözelim:
    • Parantezi dağıtalım: \( 10e + 400 - 8e = 440 \).
    • Benzer terimleri birleştirelim: \( 2e + 400 = 440 \).
    • Her iki taraftan 400 çıkaralım: \( 2e = 400 \).
    • Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( e = 200 \). 💡
• Sonucu Bulma: Manav 200 kilogram elma satmıştır.
• Kontrol: Eğer 200 kg elma satıldıysa, \( p = 50 - 200 = -150 \) olur ki bu mantıksızdır. Burada bir hata var. Denklem sistemini tekrar gözden geçirelim.

Düzeltme ve Tekrar Çözüm:

• Değişken Tanımlama: Satılan elma miktarına \(e\) (kilogram) ve satılan portakal miktarına \(p\) (kilogram) diyelim. ✍️
• Denklem Sistemi Kurma:
  • Toplam Ağırlık Denklemi: Toplam 50 kilogram meyve satılmış: \( e + p = 50 \). ⚖️
  • Toplam Gelir Denklemi: Elmalardan elde edilen gelir \( 10e \), portakallardan elde edilen gelir \( 8p \)'dir. Toplam gelir 440 TL'dir: \( 10e + 8p = 440 \). 💰
• Denklem Sistemini Çözme (Yok Etme Yöntemi):
  • İlk denklemi 8 ile çarpalım: \( 8(e + p) = 8 \times 50 \Rightarrow 8e + 8p = 400 \).
  • Bu yeni denklemi, ikinci denklemden çıkaralım:

    \( (10e + 8p) - (8e + 8p) = 440 - 400 \)

    \( 10e + 8p - 8e - 8p = 40 \)

    \( 2e = 40 \)

    \( e = 20 \). 💡

• Portakal Miktarını Bulma: \( e + p = 50 \) denkleminde \( e = 20 \) yerine koyalım: \( 20 + p = 50 \Rightarrow p = 30 \).
• Kontrol:
  • Toplam ağırlık: \( 20 \text{ kg elma} + 30 \text{ kg portakal} = 50 \text{ kg} \). ✅
  • Toplam gelir: \( (20 \text{ kg} \times 10 \text{ TL/kg}) + (30 \text{ kg} \times 8 \text{ TL/kg}) = 200 \text{ TL} + 240 \text{ TL} = 440 \text{ TL} \). ✅

Cevap: Manav 20 kilogram elma satmıştır.

Bu tür problemler işçi problemleri olarak bilinir ve iş miktarı, işçi sayısı, gün sayısı ve işin niteliği arasındaki ilişkiyi inceler. İş miktarı, işçi sayısı ile doğru orantılı ve gün sayısı ile doğru orantılıdır. İşçi sayısı ve gün sayısı çarpımı, iş miktarını belirler.

• İş Miktarını Belirleme:
  • Durum 1: 2 işçi, 5 gün çalışıyor ve işin \( \frac{1}{3} \)'ünü bitiriyor.
  • Bu durumda yapılan iş miktarı \( \text{İş}_1 = \frac{1}{3} \) 'tür.
  • İşçi sayısı ile gün sayısının çarpımı, yapılan işin bir ölçüsüdür: \( \text{İşçi} \times \text{Gün} = 2 \times 5 = 10 \) birimlik iş yapılmış.
  • Yani, 10 birimlik iş, işin \( \frac{1}{3} \)'üne denk geliyor.
• Toplam İş Miktarını Hesaplama: Eğer 10 birimlik iş \( \frac{1}{3} \) ise, tamamı (1 birim) \( 10 \times 3 = 30 \) birimdir.
• Durum 2: 4 işçi, 3 gün çalışıyor.
• Bu durumda yapılacak iş miktarı: \( \text{İşçi} \times \text{Gün} = 4 \times 3 = 12 \) birimdir.
• Bitirilen İşin Oranını Bulma: Toplam iş 30 birim ve bu durumda 12 birimlik iş yapılıyor. Yapılan işin oranı: \( \frac{12 \text{ yapılan iş}}{30 \text{ toplam iş}} \).
• Bu oranı sadeleştirelim: \( \frac{12}{30} = \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{2}{5} \). ✅

Cevap: 4 işçi 3 gün çalışırsa, işin \( \frac{2}{5} \)'i biter.

Bu problemi, ürünün tamamının değerini bir bütün olarak ele alarak çözeceğiz:

• Ürünün Tamamını Temsil Etme: Ürünün tamamını 1 bütün olarak kabul edelim.
• Satılan ve Kalan Miktarlar:
  • Satılan miktar: \( \frac{2}{5} \)
  • Kalan miktar: \( 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \)
• Para Miktarları Arasındaki İlişki: Soruda, elinde kalan paranın (yani \( \frac{3}{5} \)'lik kısmın parası) sattığı paranın (yani \( \frac{2}{5} \)'lik kısmın parası) 120 TL eksiği olduğu söyleniyor.
• Bu durumu denklemle ifade edelim: \( \text{Kalan Para} = \text{Satılan Para} - 120 \text{ TL} \).
• Kesirler üzerinden bu ilişkiyi kuralım: \( \frac{3}{5} \text{ (değer)} = \frac{2}{5} \text{ (değer)} - 120 \text{ TL} \).
• Bu denklemde bir tutarsızlık var. "Kalan para, sattığı paranın 120 TL eksiğidir" ifadesi, kalan paranın daha az olduğunu gösterir. Oysa \( \frac{3}{5} > \frac{2}{5} \). Bu nedenle ifadeyi doğru yorumlamak önemlidir.

Düzeltme ve Tekrar Çözüm: Soruyu şu şekilde yorumlayalım: Çiftçi ürünün \( \frac{2}{5} \)'ini sattığında elde ettiği para ile, ürünün kalan \( \frac{3}{5} \)'lik kısmının parasını karşılaştırıyoruz.

• Satılan ve Kalan Kesirler: Satılan: \( \frac{2}{5} \), Kalan: \( \frac{3}{5} \).
• Farkın Kesir Değeri: Kalan kısım ile satılan kısım arasındaki fark: \( \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5} \).
• Sorunun Yorumu: "Elinde kalan para, sattığı paranın 120 TL eksiğidir" ifadesi, aslında satılan miktarın parasının, kalan miktarın parasından 120 TL daha fazla olduğunu belirtir. Dolayısıyla, bu \( \frac{1}{5} \) kesirlik fark, 120 TL'ye eşittir.
• Denklem: \( \frac{1}{5} \text{ (ürünün tamamının değeri)} = 120 \text{ TL} \). ✅
• Tamamının Değerini Bulma: Ürünün tamamının değeri (1 bütün) \( 120 \text{ TL} \times 5 = 600 \text{ TL} \)'dir. 💡
• Kontrol:
  • Satılan miktar: \( \frac{2}{5} \times 600 \text{ TL} = 2 \times 120 \text{ TL} = 240 \text{ TL} \).
  • Kalan miktar: \( \frac{3}{5} \times 600 \text{ TL} = 3 \times 120 \text{ TL} = 360 \text{ TL} \).
  • Kalan para (360 TL), satılan paranın (240 TL) 120 TL eksiği midir? Hayır, 120 TL fazlasıdır. Sorunun ifadesi "elinde kalan para, sattığı paranın 120 TL eksiğidir" şeklinde olsaydı, bu \( 360 = 240 - 120 \) olurdu ki bu da yanlıştır.

Sorunun İfadesini Tekrar Gözden Geçirme: Eğer ifade "Satılan para, elinde kalan paranın 120 TL fazlasıdır" şeklinde olsaydı, o zaman \( 240 = 360 - 120 \) olurdu ki bu da yanlıştır. Sorunun doğru yorumu şu olmalı: Satılan para ile kalan paranın farkı 120 TL'dir ve kalan para daha fazladır. Yani, \( \text{Kalan Para} - \text{Satılan Para} = 120 \text{ TL} \).

\( \frac{3}{5} \text{ (değer)} - \frac{2}{5} \text{ (değer)} = 120 \text{ TL} \)

\( \frac{1}{5} \text{ (değer)} = 120 \text{ TL} \)

Bu durumda daha önce yaptığımız hesap doğrudur. Cevap: Çiftçinin tarlasındaki ürünün tamamından elde edeceği gelir 600 TL'dir.

Bu problemi oran-orantı ile çözeceğiz:

• Oranları Belirleme: Elma sayısının çilek sayısına oranı \( \frac{Elma}{Çilek} = \frac{2}{3} \)'tür. Bu, her 2 elmaya karşılık 3 çilek olduğu anlamına gelir. 🍎🍓
• Toplam Oran Birimi: Oran birimlerini toplarsak, toplam meyve sayısı için bir oran elde ederiz: \( 2 + 3 = 5 \) birim. ➕
• Oran Birimini Hesaplama: Sepette toplam 15 meyve var. Bu 15 meyve, 5 oran birimine karşılık geliyor. O halde bir oran biriminin kaç meyveye denk geldiğini bulalım: \( \frac{15 \text{ meyve}}{5 \text{ birim}} = 3 \text{ meyve/birim} \). 📏
• Çilek Sayısını Bulma: Çileklerin oranı 3 birimdir. Birim başına 3 meyve olduğuna göre, çilek sayısı: \( 3 \text{ birim} \times 3 \text{ meyve/birim} = 9 \text{ çilek} \). 🍓
• Elma Sayısını Kontrol Etme: Elmaların oranı 2 birimdir. \( 2 \text{ birim} \times 3 \text{ meyve/birim} = 6 \text{ elma} \). Toplam meyve sayısı \( 9 + 6 = 15 \), bu da soruda verilen bilgiyle uyumludur. ✅

Cevap: Sepette 9 adet çilek vardır.

Bu problemi adım adım kesirleri kullanarak çözeceğiz:

• İlk Gidilen Yol: Otobüs yolun \( \frac{1}{4} \)'ünü gitmiştir. 🛣️
• Kalan Yol (İlk Gidişten Sonra): Yolun tamamı 1 bütün ise, ilk gidişten sonra kalan yol: \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)'tür. ⏳
• İkinci Gidilen Yol: Otobüs, kalan yolun (yani \( \frac{3}{4} \)'ün) \( \frac{1}{3} \)'ünü gitmiştir. Bu miktar: \( \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \). 🗺️
• Toplam Gidilen Yol: Otobüsün gittiği toplam yol, ilk gidilen yol ile ikinci gidilen yolun toplamıdır: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). ⬆️
• Kalan Yol: Yolun tamamı 1 bütün ise, kalan yol: \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). ✅
• Yüzdeye Çevirme: Kalan yolun \( \frac{1}{2} \)'sini yüzde olarak ifade edersek: \( \frac{1}{2} \times 100% = 50% \). 💯

Cevap: Otobüsün gitmesi gereken toplam yolun %50'si kalmıştır.

Bu problemi adım adım indirimleri uygulayarak çözeceğiz:

• İlk İndirim Miktarı: Ceketin ilk fiyatı 500 TL'dir. İlk indirim %20'dir.
  • İndirim miktarı: \( 500 \text{ TL} \times \frac{20}{100} = 500 \times 0.20 = 100 \text{ TL} \). 💸
• İlk İndirimli Fiyat: İlk indirimden sonraki fiyat: \( 500 \text{ TL} - 100 \text{ TL} = 400 \text{ TL} \). 🏷️
• İkinci İndirim Miktarı: İkinci indirim, ilk indirimli fiyat üzerinden (%400 TL) %10 olarak uygulanır.
  • İkinci indirim miktarı: \( 400 \text{ TL} \times \frac{10}{100} = 400 \times 0.10 = 40 \text{ TL} \). 📉
• Son Satış Fiyatı: İkinci indirimden sonraki son satış fiyatı: \( 400 \text{ TL} - 40 \text{ TL} = 360 \text{ TL} \). ✅
• Alternatif Yöntem (Kesirler):
  • İlk indirim sonrası fiyat: \( 500 \times (1 - 0.20) = 500 \times 0.80 = 400 \text{ TL} \).
  • Son satış fiyatı: \( 400 \times (1 - 0.10) = 400 \times 0.90 = 360 \text{ TL} \). 💡

Cevap: Ceketin son satış fiyatı 360 TL'dir.