🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Çemberin standart denklemi Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Çemberin standart denklemi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Merkezi orijinde (0,0) olan ve yarıçapı 5 birim olan çemberin standart denklemini yazınız. 📍
Çözüm:
- Bir çemberin standart denklemi, merkez koordinatları \((h, k)\) ve yarıçapı \(r\) olmak üzere genel olarak \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) şeklinde ifade edilir.
- Bu soruda çemberin merkezi orijinde, yani \((h, k) = (0, 0)\) olarak verilmiştir.
- Yarıçapı ise \(r = 5\) birimdir.
- Bu değerleri standart denklemde yerine koyarsak: \[ (x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^2 \]
- Denklemi sadeleştirdiğimizde çemberin standart denklemini elde ederiz: \[ x^2 + y^2 = 25 \]
Örnek 2:
Merkezi \(A(3, -2)\) noktası olan ve yarıçapı 4 birim olan çemberin standart denklemini bulunuz. 🎯
Çözüm:
- Çemberin standart denklemi \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) formülü ile bulunur.
- Merkez koordinatları \((h, k) = (3, -2)\) olarak verilmiştir.
- Yarıçapı \(r = 4\) birimdir.
- Bu değerleri denklemde yerine yazalım: \[ (x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 4^2 \]
- İfadeyi düzenlediğimizde: \[ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 \]
Örnek 3:
Denklemi \( (x+1)^2 + (y-5)^2 = 36 \) olan çemberin merkezinin koordinatlarını ve yarıçapını belirleyiniz. 🔍
Çözüm:
- Çemberin standart denklemi \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) şeklindedir.
- Verilen denklem \((x+1)^2 + (y-5)^2 = 36\) ile bu genel formu karşılaştıralım.
- \(x+1\) ifadesi \((x-(-1))\) şeklinde yazılabileceğinden, \(h = -1\) olur.
- \(y-5\) ifadesi zaten genel formdadır, bu yüzden \(k = 5\) olur.
- Merkezin koordinatları \((h, k) = (-1, 5)\)'tir.
- Denklemdeki \(r^2 = 36\) olduğundan, yarıçap \(r = \sqrt{36} = 6\) birimdir.
Örnek 4:
Merkezi \(C(2, 1)\) olan ve \(A(5, 5)\) noktasından geçen çemberin standart denklemini yazınız. ✍️
Çözüm:
- Çemberin standart denklemi \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) formülü ile bulunur.
- Çemberin merkezi \((h, k) = (2, 1)\) olarak verilmiştir.
- Çemberin yarıçapı \(r\), merkez ile üzerindeki bir nokta arasındaki uzaklıktır. Bu uzaklığı iki nokta arasındaki uzak formülü ile bulabiliriz: \(r = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).
- Merkez \(C(2, 1)\) ve nokta \(A(5, 5)\) olduğundan, yarıçapı hesaplayalım: \[ r = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} \] \[ r = \sqrt{3^2 + 4^2} \] \[ r = \sqrt{9 + 16} \] \[ r = \sqrt{25} \] \[ r = 5 \]
- Yarıçap \(r=5\) birimdir.
- Şimdi bu değerleri standart denklemde yerine koyalım: \[ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 5^2 \] \[ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 25 \]
Örnek 5:
Denklemi \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) olan çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bu denklem çemberin genel denklemidir. Standart denkleme çevirmek için tam kareye tamamlama yöntemini kullanacağız.
- Denklemi \(x\) terimleri ve \(y\) terimleri olarak gruplayalım: \[ (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
- \(x^2 - 6x\) ifadesini tam kare yapmak için \((-6/2)^2 = (-3)^2 = 9\) ekleyip çıkaralım.
- \(y^2 + 4y\) ifadesini tam kare yapmak için \((4/2)^2 = (2)^2 = 4\) ekleyip çıkaralım. \[ (x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 12 \]
- Tam kare ifadeleri oluşturalım: \[ (x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 = 12 \]
- Sabit terimleri sağ tarafa toplayalım: \[ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 12 + 9 + 4 \] \[ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25 \]
- Bu denklem standart formdadır.
- Merkez \((h, k) = (3, -2)\) ve yarıçap \(r^2 = 25 \implies r = 5\) birimdir.
Örnek 6:
Bir otoparkın girişinde bulunan kameralardan biri, otoparkın zeminine çizilmiş dairesel bir park alanını izlemektedir. Bu park alanının merkezinin koordinatları \((-4, 3)\) ve park alanının yarıçapı 7 metre olarak belirlenmiştir. Kameranın izlediği park alanının kapladığı alanı gösteren çemberin standart denklemini oluşturunuz. 🚗
Çözüm:
- Çemberin standart denklemi \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) formülü ile ifade edilir.
- Soruda park alanının merkezi \((h, k) = (-4, 3)\) olarak verilmiştir.
- Park alanının yarıçapı \(r = 7\) metre olarak belirtilmiştir.
- Bu değerleri standart denklemde yerine koyarak park alanını temsil eden çemberin denklemini yazalım: \[ (x - (-4))^2 + (y - 3)^2 = 7^2 \]
- Denklemi sadeleştirdiğimizde: \[ (x+4)^2 + (y-3)^2 = 49 \]
Örnek 7:
Bir radyo istasyonu, yayın yaptığı bölgeyi dairesel bir alan olarak düşünmektedir. İstasyonun merkezi, koordinat sisteminde \(B(1, 2)\) noktasıdır ve yayın yarıçapı 10 kilometre olarak belirlenmiştir. Bu yayın alanını temsil eden çemberin standart denklemini oluşturunuz. 📻
Çözüm:
- Çemberin standart denklemi \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) formülü ile bulunur.
- Radyo istasyonunun merkezi \((h, k) = (1, 2)\) olarak verilmiştir.
- Yayın yarıçapı \(r = 10\) kilometre olarak belirtilmiştir.
- Bu bilgileri standart denklemde yerine koyarak yayın alanını temsil eden çemberin denklemini yazalım: \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 10^2 \]
- Denklemi sadeleştirdiğimizde: \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 100 \]
Örnek 8:
Denklemi \(2x^2 + 2y^2 + 8x - 12y + 10 = 0\) olan çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz. ⚙️
Çözüm:
- Verilen denklemdeki \(x^2\) ve \(y^2\) terimlerinin katsayıları 2'dir. Bu katsayıları 1 yapmak için denklemin tamamını 2'ye bölelim: \[ x^2 + y^2 + 4x - 6y + 5 = 0 \]
- Şimdi tam kareye tamamlama yöntemini kullanarak denklemi standart forma getirelim.
- \(x\) ve \(y\) terimlerini gruplayalım: \[ (x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = -5 \]
- \(x^2 + 4x\) için \((4/2)^2 = 2^2 = 4\) ekleyip çıkaralım.
- \(y^2 - 6y\) için \((-6/2)^2 = (-3)^2 = 9\) ekleyip çıkaralım. \[ (x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 = -5 \]
- Tam kare ifadeleri oluşturalım: \[ (x+2)^2 - 4 + (y-3)^2 - 9 = -5 \]
- Sabit terimleri sağ tarafa toplayalım: \[ (x+2)^2 + (y-3)^2 = -5 + 4 + 9 \] \[ (x+2)^2 + (y-3)^2 = 8 \]
- Bu denklem standart formdadır.
- Merkez \((h, k) = (-2, 3)\) ve yarıçap \(r^2 = 8 \implies r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) birimdir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-cemberin-standart-denklemi/sorular