💡 12. Sınıf Matematik: Çemberin Antik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Çemberin Antik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
Çemberin standart denklem formu şöyledir:
- Merkezi orijinde olan çember için denklem: \( x^2 + y^2 = r^2 \)
- Burada \( r \), çemberin yarıçapını temsil eder.
Verilen bilgilere göre:
- Merkez: \( (0, 0) \)
- Yarıçap: \( r = 5 \)
Bu değerleri denklemde yerine koyalım:
\[ x^2 + y^2 = 5^2 \] \[ x^2 + y^2 = 25 \]Dolayısıyla, istenen çemberin denklemi \( x^2 + y^2 = 25 \) 'dir. ✅
Merkezi \( C(h, k) \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çemberin standart denklemi şu şekildedir:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]Soruda verilenler:
- Merkez: \( C(h, k) = (2, -3) \), yani \( h = 2 \) ve \( k = -3 \)
- Yarıçap: \( r = 4 \)
Bu değerleri denklemde yerine yerleştirelim:
\[ (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \]Bu, çemberin standart denklemidir. Genel denklemi bulmak için parantezleri açabiliriz:
- \( (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)
- \( (y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9 \)
Denklemde yerine koyarsak:
\[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 16 \]Terimleri düzenleyelim:
\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 16 \] \[ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 - 16 = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \]Dolayısıyla, çemberin genel denklemi \( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \) 'dır. 👉
Verilen çember denklemi genel formdadır: \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \). Bu denklemi standart forma \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) dönüştürmemiz gerekiyor. Bunu tam kareye tamamlama yöntemiyle yapacağız.
Denklemimiz:
\[ x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0 \]x'li terimleri ve y'li terimleri gruplayalım:
\[ (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11 \]Şimdi x'li terimler için tam kare oluşturacağız. \( -6x \) teriminin katsayısı \( -6 \)'dır. Yarısı \( -3 \) ve karesi \( (-3)^2 = 9 \) olur. Bu 9'u hem denklemin soluna hem de sağına eklemeliyiz.
Aynı şekilde, y'li terimler için \( +8y \) teriminin katsayısı \( +8 \)'dır. Yarısı \( +4 \) ve karesi \( 4^2 = 16 \) olur. Bu 16'yı da denklemin her iki tarafına eklemeliyiz.
\[ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 11 + 9 + 16 \]Tam kareleri oluşturalım:
\[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36 \]Bu denklem artık standart formdadır. Buradan:
- Merkez \( C(h, k) \) için \( x - h = x - 3 \) olduğundan \( h = 3 \).
- Ve \( y - k = y + 4 \) olduğundan \( k = -4 \).
- Merkez \( C(3, -4) \) 'tür.
- Yarıçap \( r \) için \( r^2 = 36 \) olduğundan \( r = \sqrt{36} = 6 \) 'dır.
Sonuç olarak, çemberin merkezi \( (3, -4) \) ve yarıçapı 6 birimdir. ✨
Çemberin denklemi \( (x-1)^2 + (y+2)^2 = 25 \) 'tir. Bu denklem, çemberin üzerindeki her noktanın koordinatlarını sağlar.
Bize verilen nokta \( A(4, y_A) \)'dır. Bu noktanın çember üzerinde olması demek, bu noktanın koordinatlarının çember denkleminde yerine konulduğunda denklemi sağlaması demektir.
A noktasının x-koordinatı 4'tür. Bu değeri denklemde yerine koyalım:
\[ (4 - 1)^2 + (y_A + 2)^2 = 25 \]İşlemleri yapalım:
\[ (3)^2 + (y_A + 2)^2 = 25 \] \[ 9 + (y_A + 2)^2 = 25 \]Şimdi \( (y_A + 2)^2 \) terimini yalnız bırakalım:
\[ (y_A + 2)^2 = 25 - 9 \] \[ (y_A + 2)^2 = 16 \]Bu eşitliği sağlayan \( y_A + 2 \) değerlerini bulalım:
- \( y_A + 2 = 4 \) veya
- \( y_A + 2 = -4 \)
Her iki durumu da çözelim:
- Durum 1: \( y_A + 2 = 4 \implies y_A = 4 - 2 \implies y_A = 2 \)
- Durum 2: \( y_A + 2 = -4 \implies y_A = -4 - 2 \implies y_A = -6 \)
Dolayısıyla, A noktasının y-koordinatı 2 veya -6 olabilir. Soruda spesifik bir durum belirtilmediği için her iki değer de geçerlidir. ✅
Bu problemi analitik geometri kullanarak çözebiliriz. Parkın giriş kapısını orijin \( (0,0) \) olarak kabul ediyoruz.
Havuzun çapı 8 metre ise, yarıçapı \( r = \frac{8}{2} = 4 \) metredir.
Havuzun merkezinin giriş kapısına (orijine) uzaklığı 10 metredir. Bu, havuzun merkezinin orijine olan uzaklığının 10 birim olduğu anlamına gelir.
Eğer havuzun merkezinin koordinatları \( (h, k) \) ise, orijine olan uzaklığı Pisagor teoremi ile \( \sqrt{h^2 + k^2} \) olarak bulunur. Bu uzaklık 10 birimdir:
\[ \sqrt{h^2 + k^2} = 10 \]Her iki tarafın karesini alırsak:
\[ h^2 + k^2 = 100 \]Bu denklem, havuzun merkezinin (h, k) koordinatlarının, orijin merkezli 10 birim yarıçaplı bir çember üzerinde olduğunu gösterir.
Ancak, bu bilgi tek başına havuzun merkezinin tam konumunu belirlemez. Havuzun kendisinin yarıçapı 4 metredir. Bu, havuzun merkezinin konumu ile ilgili ek bir bilgi sağlamaz, sadece havuzun boyutunu belirtir.
Soruda "havuzun merkezinin koordinatları ne olabilir?" diye sorulduğu için, \( h^2 + k^2 = 100 \) denklemini sağlayan herhangi bir \( (h, k) \) çifti geçerli bir merkez konumu olacaktır.
Örnek olarak:
- Eğer merkez x-ekseni üzerinde ise: \( h = 10, k = 0 \) veya \( h = -10, k = 0 \).
- Eğer merkez y-ekseni üzerinde ise: \( h = 0, k = 10 \) veya \( h = 0, k = -10 \).
- Başka bir örnek: \( h = 6 \) ise, \( 6^2 + k^2 = 100 \implies 36 + k^2 = 100 \implies k^2 = 64 \implies k = \pm 8 \). Yani \( (6, 8) \) veya \( (6, -8) \) olabilir.
- Benzer şekilde \( h = 8 \) ise, \( 8^2 + k^2 = 100 \implies 64 + k^2 = 100 \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6 \). Yani \( (8, 6) \) veya \( (8, -6) \) olabilir.
Dolayısıyla, havuzun merkezinin koordinatları \( h^2 + k^2 = 100 \) denklemini sağlayan herhangi bir \( (h, k) \) noktası olabilir. Örneğin, havuzun merkezi \( (6, 8) \) noktasında olabilir. 🗺️
Verilen çemberin denklemi \( x^2 + y^2 = 16 \) 'dır. Bu çemberin merkezi \( O(0, 0) \) ve yarıçapı \( r = \sqrt{16} = 4 \) 'tür.
Teğet noktası \( P(4, 0) \) olarak verilmiştir. Bu noktanın çember üzerinde olup olmadığını kontrol edelim: \( 4^2 + 0^2 = 16 + 0 = 16 \). Evet, P noktası çember üzerindedir.
Bir çembere çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusu, o noktada çemberin merkezine diktir.
Merkez \( O(0, 0) \) ve teğet noktası \( P(4, 0) \) arasındaki doğrunun eğimini bulalım:
\[ m_{OP} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 0}{4 - 0} = \frac{0}{4} = 0 \]Eğim \( m_{OP} = 0 \) olduğundan, OP doğrusu x-eksenine paraleldir (yatay bir doğrudur). Bu durumda teğet doğrusu bu doğruya dik olacağı için y-eksenine paralel olacaktır.
Y-eksenine paralel olan doğruların denklemi \( x = sabit \) şeklindedir.
Teğet doğrusu P(4, 0) noktasından geçtiği için, x-koordinatı 4 olmalıdır.
Dolayısıyla, teğet doğrunun denklemi \( x = 4 \) 'tür. 📏
Bir \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) denkleminin bir çember belirtmesi için, tam kareye tamamlama sonucunda elde edilen \( r^2 \) değerinin pozitif olması gerekir.
Verilen denklemimiz:
\[ x^2 + y^2 - 8x + 2y + k = 0 \]x'li ve y'li terimleri gruplayarak tam kareye tamamlayalım:
\[ (x^2 - 8x) + (y^2 + 2y) = -k \]x terimleri için: \( -8x \)'in yarısı \( -4 \), karesi \( (-4)^2 = 16 \).
y terimleri için: \( +2y \)'nin yarısı \( +1 \), karesi \( 1^2 = 1 \).
Denklemin her iki tarafına bu değerleri ekleyelim:
\[ (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) = -k + 16 + 1 \]Tam kareleri oluşturalım:
\[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 17 - k \]Bu denklemin bir çember belirtmesi için, sağ taraf yani \( r^2 \) değeri pozitif olmalıdır:
\[ 17 - k > 0 \]Bu eşitsizliği \( k \) için çözelim:
\[ 17 > k \]Veya \( k < 17 \).
Ayrıca, bir çemberin yarıçapı reel bir sayı olmalıdır. Eğer \( 17 - k = 0 \) olursa, denklem \( (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 0 \) olur ki bu sadece \( (4, -1) \) noktasını temsil eder, bir çemberi değil. Bu yüzden \( r^2 \) kesinlikle sıfırdan büyük olmalıdır.
Dolayısıyla, \( k \) 'nın alabileceği değerler \( k < 17 \) aralığıdır. 📉
Birim çemberin tanımı gereği, merkezi orijinde \( (0,0) \) ve yarıçapı \( r = 1 \) olan çemberdir.
Merkezi orijinde olan bir çemberin standart denklemi \( x^2 + y^2 = r^2 \) şeklindedir.
Birim çember için yarıçap \( r = 1 \) olduğundan, denklemimiz şu şekilde olur:
\[ x^2 + y^2 = 1^2 \] \[ x^2 + y^2 = 1 \]Bu denklem, birim çember üzerindeki herhangi bir \( P(x, y) \) noktasının koordinatlarının bu eşitliği sağladığını ifade eder.
Soruda, bir \( P(x, y) \) noktası birim çember üzerindeyse, \( x^2 + y^2 \) ifadesinin değerinin ne olduğu soruluyor.
Yukarıda elde ettiğimiz birim çember denkleminden doğrudan görüleceği üzere:
\[ x^2 + y^2 = 1 \]Dolayısıyla, birim çember üzerindeki herhangi bir nokta için \( x^2 + y^2 \) ifadesinin değeri 1'dir. Bu, trigonometride birim çemberin temelini oluşturur. 💯
Bu problemi analitik geometri kullanarak çözebiliriz. Vericinin bulunduğu noktayı \( V(3, 4) \) olarak alalım.
Kapsama alanının yarıçapı \( r = 5 \) km'dir.
Bu durumda, vericinin kapsama alanı \( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2 \) denklemi ile temsil edilen çemberin içini ve çevresini kapsar.
Bir evin sinyali alabilmesi için, evin konumu bu çemberin içinde veya çemberin üzerinde olmalıdır. Yani, evin koordinatları \( (x_E, y_E) \) ise, \( (x_E - 3)^2 + (y_E - 4)^2 \le 25 \) eşitsizliğini sağlamalıdır.
Soruda, vericinin bulunduğu noktadan 8 km uzaklıktaki bir evden bahsediliyor. Bu, evin konumu tam olarak belirtilmemiş olsa da, evin vericiye olan uzaklığının 8 km olduğu anlamına gelir.
Eğer ev \( E(x_E, y_E) \) noktasında ise, vericiye olan uzaklığı \( d(V, E) = \sqrt{(x_E - 3)^2 + (y_E - 4)^2} \) 'dir.
Bize verilen bilgiye göre bu uzaklık 8 km'dir:
\[ \sqrt{(x_E - 3)^2 + (y_E - 4)^2} = 8 \]Her iki tarafın karesini alırsak:
\[ (x_E - 3)^2 + (y_E - 4)^2 = 8^2 \] \[ (x_E - 3)^2 + (y_E - 4)^2 = 64 \]Şimdi bu değeri kapsama alanı eşitsizliği ile karşılaştıralım:
- Kapsama alanı için gereken koşul: \( (x_E - 3)^2 + (y_E - 4)^2 \le 25 \)
- Evin vericiye olan uzaklığından elde ettiğimiz değer: \( (x_E - 3)^2 + (y_E - 4)^2 = 64 \)
Görüldüğü gibi, \( 64 > 25 \) 'tir. Bu, evin konumu için hesaplanan uzaklık (veya uzaklığın karesi), kapsama alanı yarıçapının (veya yarıçapının karesinin) değerinden büyüktür.
Dolayısıyla, vericinin bulunduğu noktadan 8 km uzaklıktaki bir ev, bu radyo sinyalini alamaz. ❌
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-cemberin-antik-incelenmesi/sorular