💡 12. Sınıf Matematik: Çemberin analitik incelenmesi Çözümlü Örnekler

Çemberin standart denklemi şu şekildedir: \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \] Burada (a, b) merkez koordinatları ve r yarıçaptır.

• Verilen merkez koordinatları \( a=2 \) ve \( b=3 \)'tür.
• Verilen yarıçap \( r=5 \)'tir.
• Bu değerleri denklemde yerine koyalım:

\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2 \] \[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \] Bu, istenen çemberin standart denklemidir. ✅

Çemberin standart denklemi \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) formundadır.

• Denklemdeki \( (x+1)^2 \) ifadesini \( (x - (-1))^2 \) şeklinde düşünebiliriz. Bu durumda merkezimizin x koordinatı \( a = -1 \) olur.
• Denklemdeki \( (y-4)^2 \) ifadesi doğrudan \( (y-b)^2 \) ile eşleşir. Bu durumda merkezimizin y koordinatı \( b = 4 \) olur.
• Merkezimiz \( (-1, 4) \) olarak bulunur.
• Denklemdeki \( r^2 = 36 \) ifadesinden yarıçapı bulmak için her iki tarafın karekökünü alırız:

\[ r = \sqrt{36} \] \[ r = 6 \] Yarıçapımız 6 birimdir. 👉

Merkezi orijinde olan bir çemberin yarıçapı, çemberin merkezinden teğet doğrusuna olan uzaklığa eşittir. Noktanın doğruya olan uzaklık formülünü kullanacağız: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Burada \( (x_0, y_0) \) nokta (merkez), \( Ax + By + C = 0 \) ise doğrunun denklemidir.

• Merkezimiz \( (x_0, y_0) = (0, 0) \).
• Doğrunun denklemi \( 3x + 4y - 15 = 0 \), yani \( A=3, B=4, C=-15 \).
• Uzaklığı (yarıçapı) hesaplayalım:

\[ r = \frac{|3(0) + 4(0) - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ r = \frac{|-15|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ r = \frac{15}{\sqrt{25}} \] \[ r = \frac{15}{5} \] \[ r = 3 \] Çemberin yarıçapı 3 birimdir. 🌟

Bu denklem genel çember denklemidir. Standart forma getirmek için tam kareye tamamlama yöntemini kullanacağız.

• x'li terimleri ve y'li terimleri gruplayalım:

\[ (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11 \]

• x'li terimler için: \( (x^2 - 6x + 9) \) ekleyip çıkaralım.
• y'li terimler için: \( (y^2 + 8y + 16) \) ekleyip çıkaralım.

\[ (x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 8y + 16) - 16 = 11 \]

• Tam kare ifadeleri yazalım:

\[ (x-3)^2 + (y+4)^2 - 9 - 16 = 11 \] \[ (x-3)^2 + (y+4)^2 - 25 = 11 \]

• Sabit terimleri sağ tarafa atalım:

\[ (x-3)^2 + (y+4)^2 = 11 + 25 \] \[ (x-3)^2 + (y+4)^2 = 36 \]

• Şimdi standart denklem \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) ile karşılaştıralım:

Merkez: \( a=3, b=-4 \). Merkez \( (3, -4) \).

Yarıçap: \( r^2 = 36 \implies r = 6 \). Yarıçap 6 birim.

✅

Çemberin denklemi \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) şeklindedir. Bu denklemde \( (a, b) \) çemberin merkezini ve \( r \) yarıçapını temsil eder.

• Verilen denklem: \( (x-5)^2 + (y-2)^2 = 49 \)
• Buradan çemberin merkezi \( (5, 2) \) ve yarıçapı \( r^2 = 49 \implies r = 7 \) birimdir.
• Oyuncunun karakterinin ulaşabileceği en uzak mesafe, çemberin merkezinden çember üzerindeki bir noktaya olan maksimum uzaklıktır. Bu da çemberin yarıçapına eşittir.

Dolayısıyla, oyuncunun karakterinin ulaşabileceği en uzak mesafe 7 birimdir. 🎯

Havuzun kenarını temsil eden çemberin denklemi \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 16 \)'dır.

• Bu denklem standart çember denklemi \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) ile karşılaştırıldığında, çemberin merkezinin \( (a, b) = (1, 1) \) olduğu görülür.
• Ayrıca, \( r^2 = 16 \) olduğundan, havuzun yarıçapı \( r = \sqrt{16} = 4 \) metredir.
• Soruda havuzun en geniş çapı sorulmaktadır. Çap, yarıçapın iki katıdır.

Çap = \( 2 \times r \) Çap = \( 2 \times 4 \) Çap = 8 metre Havuzun en geniş çapı 8 metredir. 💧

Çemberin merkezi \( (a, b) \) olsun. Bu nokta \( y = x + 1 \) doğrusu üzerinde olduğundan, \( b = a + 1 \) ilişkisi geçerlidir. Çemberin yarıçapı, merkezden geçen her iki noktaya da eşit uzaklıkta olmalıdır. Yani, \( (a-2)^2 + (b-3)^2 = (a-6)^2 + (b-1)^2 \) olmalıdır. Şimdi \( b = a + 1 \) yerine koyarak \( a \)'yı bulalım:

• \( (a-2)^2 + ((a+1)-3)^2 = (a-6)^2 + ((a+1)-1)^2 \)
• \( (a-2)^2 + (a-2)^2 = (a-6)^2 + a^2 \)
• \( 2(a^2 - 4a + 4) = (a^2 - 12a + 36) + a^2 \)
• \( 2a^2 - 8a + 8 = 2a^2 - 12a + 36 \)
• Her iki taraftan \( 2a^2 \)'yi çıkaralım:

\[ -8a + 8 = -12a + 36 \]

• \( a \)'lı terimleri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım:

\[ 12a - 8a = 36 - 8 \] \[ 4a = 28 \] \[ a = 7 \] Şimdi \( b \)'yi bulalım: \( b = a + 1 = 7 + 1 = 8 \). Merkez \( (7, 8) \)'dir. Şimdi yarıçapı bulmak için merkezden noktalardan birine olan uzaklığı hesaplayalım (örneğin A(2, 3)): \[ r^2 = (7-2)^2 + (8-3)^2 \] \[ r^2 = 5^2 + 5^2 \] \[ r^2 = 25 + 25 \] \[ r^2 = 50 \] Çemberin denklemi \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) formundadır. \[ (x-7)^2 + (y-8)^2 = 50 \] Bu, istenen çemberin denklemidir. ✨

Radyo vericisinin konumu çemberin merkezidir. Bu nedenle merkez \( (0, 0) \)'dır. En uzak sinyal noktası, çemberin üzerindeki bir noktadır. Bu nokta, merkezden çemberin kenarına kadar olan yarıçapı belirler.

• Merkez: \( (a, b) = (0, 0) \)
• Yarıçapı bulmak için merkez ile en uzak nokta arasındaki mesafeyi hesaplayalım:

\[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] \[ r = \sqrt{(8 - 0)^2 + (6 - 0)^2} \] \[ r = \sqrt{8^2 + 6^2} \] \[ r = \sqrt{64 + 36} \] \[ r = \sqrt{100} \] \[ r = 10 \] Yarıçap 10 birimdir. Şimdi çemberin standart denklemini yazalım: \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)

• Değerleri yerine koyalım:

\[ (x-0)^2 + (y-0)^2 = 10^2 \] \[ x^2 + y^2 = 100 \] Kapsama alanını temsil eden çemberin denklemi \( x^2 + y^2 = 100 \)'dür. 📶